Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral 2

Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Diretoria de Graduação e Educação Prossional
Departamento Acadêmico de Matemática
Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral 2
Data de Entrega: 13/07/2015
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Turma:
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justique sua resposta.
1. Use coordenadas esféricas para calcular o limite.
1
(a)
lim
arctg
.
(x,y,z)→(0,0,0)
x2 + y 2 + z 2
xyz
.
(b)
lim
2
(x,y,z)→(0,0,0) x + y 2 + z 2

xy (x2 − y 2 )



 x2 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0)
2. Considere a função f : R2 → R denida por por f (x, y) =
.



0,
(x, y) = (0, 0)
(a) Ache fx (x, y)e fy (x, y) para (x, y) 6= (0, 0).
(b) Use a denição de derivadas parciais para calcular fx (0, 0) e fy (0, 0).
(c) Use a denição de derivadas parciais para calcular fxy (0, 0) e fyx (0, 0).
3. Encontre o volume da esfera quadridimensional x2 + y 2 + z 2 + w2 = a2 , calculando
ˆ
a
ˆ
√
a2 −x2
ˆ √a2 −x2 −y2 ˆ √a2 −x2 −y2 −z2
24 ·
dw dz dy dx
0
0
0
0
4. Use coordenadas esféricas para mostrar que
ˆ
+∞
−∞
ˆ
+∞
−∞
ˆ
+∞ p
x2 + y 2 + z 2 e−(x
2 +y 2 +z 2
) dx dy dz = 2π
−∞
5. Considere Ω ⊂ R3 o sólido limitado pelo parabolóide z = x2 +y 2 e pelo plano z = 4. Use coordenadas
cilíndricas para calcular
˚
x2 + y 2
Ω
p
x2 + y 2 dV .
∂ (x, y, z)
para a mudança de variáveis indicada.
∂ (u, v, w)
6. Calcule o jacobiano
(a) x = u (1 − v), y = uv (1 − w), z = uvw.
(b) x = 4u − v , y = 4v − w, z = u + w.
√
x2
x2
2x, y =
e y = . Use a
3
4
para calcular a área da região D.
7. Considere D a região do plano limitada pelas curvas y =
mudança de variáveis x = u1/3 v 2/3 e y = u2/3 v 1/3
√
x, y =
8. Utilize a fórmula de mudança de variáveis e a transformação apropriada para calcular
¨
xy dA
D
onde D é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 1), (2, 0) e (1, −1).
2
2
2
9. Utilize a transformação
√
√ x = u , y = v , z = w para determinar o volume da região limitada pela
√
superfície x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.
10. Considere U ⊂ R2 a região cuja fronteira é formada por xy = π , xy = 2π , xy 4 = 1 e xy 4 = 2. Ache
¨
sen (xy) dA .
U
11. Calcule a integral iterada.
(a)
ˆ
+2 ˆ
4−x2 ˆ
(x2 +y2 )/2
√
ˆ 5ˆ
0
(x2 + y 2 ) dz dy dx.
− 4−x2 0
√
√
25−x2 ˆ
25−x2 −y 2
−2
(b)
√
0
0
1
dz dy dx.
1 + x2 + y 2 + z 2
12. Dê uma interpretação geométrica para a integral iterada.
(a)
ˆ
2π
0
(b)
ˆ
0
ˆ πˆ
0
π
ˆ 2ˆ
0
6 sen φ
ρ2 sen φ dρ dφ dθ .
0
1+r2
r dz dr dθ .
0
13. Seja u = f (x, y), x = es cos t e y = es sen t.
∂u ∂ 2 u
(a) Determine
e
.
∂t ∂t2
(b) Mostre que e−2s (utt + uss ) = uxx + uyy .
2
14. Se z = f (x, y), onde x = r cos θ, y = r sen θ, mostre que
∂ 2z ∂ 2z
∂ 2z
1 ∂ 2 z 1 ∂z
+
=
+
+
∂x2 ∂y 2
∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r
15. Calcule a integral dupla.
ˆ
ln 10
ˆ
10
1
dy dx.
ex ln y
0
ˆ 1 ˆ arccos y
√
sen x 1 + sen2 x dx dy .
(b)
(a)
0
0
16. Calcule
ˆ
+∞ −x
e
0
− e−2x
dx. Sugestão : calcule
x
ˆ
2
e−xy dy.
1
17. Use um argumento geométrico para mostrar que
ˆ
0
3
ˆ √9−y2 p
9π
9 − x2 − y 2 dx dy =
2
0

xy 3



 x2 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0)
18. Considere a aplicação f : R2 → R dada por f (x, y) =
.



0,
(x, y) = (0, 0)
∂f
∂f
(x, y) e
(x, y).
∂x
∂y
(b) Mostre que fxy (0, 0) 6= fyx (0, 0).
(a) Determine as funções
(c) É f uma função de classe C 2 no plano? Justique.
19. Considere uma elipse
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
que engloba o círculo x2 + y 2 = 2x. Encontre os valores de a e b para os quais a área da elipse seja
mínima.
20. Calcule a derivada direcional da função em P na direção de v .
(a) f (x, y, z) = y 2 + xz , P = (1, 2, 2), v = 2e1 − e2 + 2e3 .
(b) f (x, y, z) = 6x2 + 3xy − y 2 z , P = (1, 0, 1), v = 2e1 + e2 − e3 .
21. Calcule
ˆ
2
0
22. Calcule
ˆ
0
1
[arctg (πx) − arctg x] dx. Sugestão : Transforme esta integral em um integral dupla.
ˆ
1
y2
y sen (x2 ) dx dy .
3
23. Calcule o limite e discuta a continuidade da função.
(a)
−4x2 y
.
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lim
2
y + xe−y
(b)
lim
.
(x,y)→(0,0) 1 + x2
24. Combine a soma das duas integrais iteradas em uma única integral iterada mudando para coordenadas
polares. Calcule a integral iterada resultante.
(a)
ˆ
0
(b)
ˆ
2
ˆ xp
0
√
5 2/2
ˆ
x2
ˆ
+
y2
0
ˆ
ˆ
√
dy dx +
ˆ
x
xy dy dx +
0
√
2 2
2
5
√
5 2/2
√
8−x2 p
x2 + y 2 dy dx.
0
25−x2
xy dy dx.
0
25. Encontre o valor máximo de f (x, y) = 4xy , onde x > 0 e y > 0, restrito ao vínculo
x2 y 2
+
= 1.
9
16
26. Considere Ω ⊂ R3 o sólido limitado pela folha superior do cone z 2 = x2 + y 2 e acima pela esfera
x2 + y 2 + z 2 = 9. Use coordenadas esféricas para calcular
˚
z dV .
Ω
27. Encontre os extremos relativos de f (x, y) = x2 y 2 , (x, y) ∈ R2 .
28. Encontre os valores extremos de f (x, y) = x2 + 2y 2 − 2x + 3 restritos ao vínculo x2 + y 2 ≤ 10.
29. Seja T (x, y, z) = 20+2x+2y +z 2 a temperatura em cada ponto da esfera x2 +y 2 +z 2 = 11. Encontre
os extremos da temperatura na curva formada pela intersecção do plano x + y + z = 3 e da esfera.
30. Seja f (x, y) = (x2 + 4y 2 ) e1−x
2 −y 2
, (x, y) ∈ R2 . Determina-se, após alguns cálculos, que
2
2
fxx (x, y) = 2 1 − 4x2 e1−x −y − 2 1 − 2x2 f (x, y) ,
2
2
fxy (x, y) = −20xye1−x −y + 4xyf (x, y) ,
2
2
fyy (x, y) = 8 1 − 4y 2 e1−x −y − 2 1 − 2y 2 f (x, y) .
Encontre:
(a) Os pontos críticos de f .
(b) Se existirem, os pontos de sela, os pontos de máximo local e de mínimo local de f .
4