Faculdade de Tecnologia e Ciências - FTC

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FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências
Curso: Engenharias
Disciplina: Equações Diferenciais
Profª: Maria Lúcia
1a Lista de Exercícios
1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais ao lado.
Funções:
a) y = C e 3x
b) y = C cosx
Equações Diferenciais:
y´+3y = 0
y´ + y tgx = 0
dy
1
 y cosx   sen2x 
dx
2
y´´ + 9y = 0
xy´= y
y´´ = ex
c) y  senx   1  Ce  senx 
d) y = C1 cos3x + C2 sen3x.
e) y = Cx3
f) y = ex + C1x + C2
2. Resolva as seguintes equações diferenciais.
a) y´+ y = 1
b) x y´= 3y
dy 2x  xy 2

dx 4y  x 2 y
i) tg(x) y´ = y
c) y´= 2xy
j) tg(x) sen2(y) dx + cos2(x) cotg(y) dy = 0
dy
d) e y
 t  t3  0
dt
di i
e) 2   4
dt 2
k) 3 ex tg(y) dx + (1 – ex) sec2(y) dy = 0
n)
h)
 
f)
y
dy  sen x 2 dx  0
x
g)
dy
 ex  y
dx
du
 2  2u  t  tu
dt
0) 2y(x+1)dy = x dx
 x 4  2x 2  1  y  y 3 

0
p) y'

 y 
x



2
2
q) (y + yx ) dy + ( x + xy ) dx = 0
l) x y y´= 1  x2
r) y´ = x – 1 + xy  y
s) (x + 1 ) dy – ( x + 6 ) dx = 0
m) ex dy = 2x dx
t) x2 y´  yx2 = y
3. Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem as condições iniciais.
a) xy´= 2y
y(  2) = 1
x
b) (1 + e )y y´= ex, y(0) = 1
c) (xy2 + x) dx + ( x2y – y ) dy = 0; y(2) =1
d) y' sen x   yln y , yπ 2  e
dy
e) 1  x 2
 y 3  0, y1  1
dx


f) ysenx dx  y 2  1 e cosx dy  0, yπ 2  1
2
4. Para a família de curvas a seguir, onde C é uma constante arbitrária real, determine
i) a equação diferencial ( derive uma vez e elimine a constante C )
ii) as trajetórias ortogonais.
a) y = 2x + C
b) y = ln( x3 + C )
c) y = C ex
d) y2 = Cx
e) x2  y2 = C
f) y2 = Cx3
g) xy = C
h) y = C / e2x
5.
a) Determine a equação da curva que passa pelo ponto P(1,0) e corta ortogonalmente as hipérboles x 2  Cy 2  1 .
b) Encontre a trajetória ortogonal da família de curvas y = C ( x 1) que passa pelo ponto ( 2, 2)
3
c) Encontre a curva que passa pelo ponto (1,0) e corta ortogonalmente a família de curvas y  Ce x .
d) Encontre a trajetória ortogonal da família de curvas x2  y2 = C que passa pelo ponto (1, 1)
6. Determine a equação das curvas tais que:
a) a inclinação da reta tangente num ponto ( x, y ) qualquer é 2x/y.
b) a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva é metade da inclinação da reta que liga a origem ao ponto de
tangência.
7. Verifique se as funções abaixo são homogêneas e, em caso afirmativo, determine o grau.
 3x  x 2
a) f x, y   xsen  
 y  2y
 x  4y 
b) f x, y   6cos

 x 
c) f( x, y ) = x ln(y) + y ex
d) f ( x, y ) = 3x2 + 2y2
e) f x, y   3 x 3  y 3
f) f( x, y ) = xy  y3
x 2  y2
5xy
h) f( x, y ) = 3x3 + 4y2x
g) f x, y  
8. Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas
 y 
dy
 y ln    1  0 .
dx
 x 
b) x y´= y  x.
a) x
c) ( 2x + y ) ydx x2 dy = 0
d). xy´  y xtg(y/x) = 0
e) y  
xy
xy
3
9. Resolva as seguintes equações diferenciais que podem ser variáveis separáveis ou homogêneas
a) exdy = 2xdx
du
 2  2u  t  tu
dt
 x 4  2x 2  1  y  y 3 

0
j) y'

 y 
x



i)
b) 2y(x+1)dy = xdx
c) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0
dy
k) x 2
 xy  x 2 e  y / x
dx
l) xyy´ = 2y2 + x2
m) (x + 1 ) dy – ( x + 6 ) dx = 0
d) (x + 2y) dx  (2x  y ) dy = 0
e) y´ = x – 1 + xy  y
f) xy´ y x sec(y/x) = 0
g) x y  y  x y
h) x2 y´  yx2 = y
Algumas aplicações de E.D.O.’s de 1a ordem.
10. Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela resistência do ar
proporcional à velocidade do corpo. Admitamos que tanto a gravidade como a massa permaneçam constantes e, por
conveniência, escolhemos o sentido “para baixo” como sentido positivo.
Segunda Lei de Newton do Movimento: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da
quantidade de movimento do corpo: F  m
dv
, onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade
dt
do corpo, ambas consideradas no instante t.
No problema em foco, há duas forças atuando sobre o corpo: (1) a força devido à gravidade, dada pelo peso do corpo
que é igual a mg; e (2) a força devido à resistência do ar, dada por kv, onde k  0 é uma constante de
proporcionalidade. O sinal negativo se torna necessário por que esta se opõe à velocidade; isto é, atua no sentido “para
cima”, ou seja, no sentido negativo. Desta forma, a força resultante é F  mg  kv . Obtemos então:
mg  kv  m
dv
dt
ou
dv k
 vg
dt m
como equação diferencial do movimento do corpo.
Aplicação: Um homem usando pára-quedas salta de uma grande altura. A massa do conjunto do homem e do páraquedas é de 80Kg. Seja v(t) sua velocidade no instante t (segundos) depois de começar a queda. Durante os primeiros
16 segundos, a resistência do ar é de v/2. Posteriormente, enquanto o pára-quedas está aberto, a resistência do ar é de
8v. Encontre uma expressão para v(t) em qualquer instante t maior que 16s. (use g=10m/s²).
11. Lança-se uma pedra do solo, verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20m/s. (considere nula a
resistência do ar e g=10m/s2).
a) Quanto tempo levará e qual será sua velocidade quando a pedra atingir novamente o solo?
b) Quanto tempo levará a pedra para atingir altura máxima e qual será essa altura?
4
12. Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radio carbono. Este é o modo
de determinar a idade de certos restos de madeira, plantas, ossos humanos ou de animais, artefatos, etc. O
procedimento foi desenvolvido pelo químico W. Libby (1908-1980) no início dos anos 50 e isso lhe deu o prêmio
Nobel de Química em 1960. A determinação de idade por radio carbono está baseada no fato de que alguns restos de
madeira ou plantas contém quantidades residuais de carbono 14 – C14, isótopo radioativo de carbono. Este isótopo é
acumulado durante a vida da planta e começa a decair com a sua morte. A meia vida de um isótopo radioativo significa
o tempo em que a metade da quantidade original se decompõe. Como a meia vida do carbono 14 é longa
(aproximadamente 5745 anos), quantidades mensuráveis de carbono 14 estão presentes após milhares de anos. Libby
mostrou que se aproximadamente 0,002 ou mais da quantidade original de carbono 14 ainda está presente, então podese determinar precisamente a proporção de quantidade original de carbono 14 que resta, por dosagem de laboratório
adequada. Em outros termos:
Q( t )
Se Q(t) é a quantidade de carbono 14 no tempo t e Q0 é a quantidade original, então a razão
poderá ser
Q0
determinada, pelo menos se esta quantidade não for muito pequena.
dQ
a) Supondo que Q(t) satisfaça a equação
 kQ , determine a constante k de decaimento para o carbono 14.
dt
b) Encontre a expressão Q(t) em qualquer tempo, se Q0  Q o .
c) Suponha que se descubram certos restos arqueológicos em que a quantidade residual de carbono 14 seja de 20% da
quantidade original. Determine a idade desses restos.
13. Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos afirmam ser a famosa Távola Redonda
do Rei Arthur. Por meio de um contador Geiger (instrumento que mede a radioatividade) constatou-se que a massa M,
atualmente existente na mesa, é de 0,894 vezes a massa M0 de C14 que existe num pedaço de madeira viva com o
mesmo peso da mesa. M0 é também a massa de C14 que existia na mesa quando esta foi feita a t anos. A mesa pode ser
a famosa Távola Redonda ? (As lendas do Rei Arthur remontam os séculos 11-12).
14. Numa caverna da França, famosa pelas pinturas pré-históricas, foram encontrados pedaços de carvão vegetal nos
quais a radioatividade do C14 era 0,145 vezes a radioatividade normalmente encontrada num pedaço de carvão feito
hoje. Calcule a idade do carvão encontrado e com isto dê uma estimativa para a época em que as pinturas foram feitas.
15. Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nível de radiação por cobalto, em uma certa região, a
100 vezes o nível aceito para a habitação humana, isto é, Qo = 100Qa, sendo Qa o nível aceito para a
habitação humana. Ignorando a presença provável de outros elementos radioativos, determine quanto tempo
deverá passar para que a região seja novamente habitável, sabendo que a meia-vida do cobalto radioativo é
5,27 anos.
16. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora
obervam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário t.
b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.
17. Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa
proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei do resfriamento de Newton.
Portanto, se T(t) é a temperatura do objeto no tempo t e Ta é a temperatura ambiente constante, temos a relação
dT
 kT  Ta , k   depende do material de que é constituída a superfície do objeto.
dt
Aplicação: Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30oC e
resfriando a substância de 100oC para 70oC em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância
será de 40oC.
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18. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h da madrugada e,
imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a
temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20oC. Use a lei
do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma
pessoa viva é 36,5oC.
19. Um jarro de leite, inicialmente a 25oC, é deixado para esfriar na varanda onde a temperatura é 0oC. Suponha que a
temperatura do leite tenha caído para 15oC após 20 minutos. Quando a mesma será de 5oC?
20. Um objeto com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura
constante igual a 20C. Se, após 10 minutos, a temperatura do objeto é de 30C e após 20 minutos a
temperatura é de 25C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo válida a Lei do Resfriamento de
Newton:
Utilize os resultados do texto abaixo para resolver as questões 21 e 22.
A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do tipo RL (figura
1), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henryes) e uma força eletromotriz (fem) E (em
volts) é
dI R
E
 I .
dt L
L
Para um circuito do tipo RC (figura 2) consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força
eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é
dq
1
E
dq
e a relação entre q e I é dada por I 
.

q
dt RC
R
dt
Figura 1: circuito RL
Figura 2: circuito RC
21. Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero.
Determine a corrente no circuito no instante t.
22. Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10-2 farads e inicialmente uma carga de
5 coulombs no capacitor. Determine:
a) A corrente transitória;
b) A corrente estacionária.
Respostas
1.
a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. e) não. f) sim
2. a) y = 1  Cex.
b) x3 = Cy.
c) y  Ce  x
2
t2 t4
d) e y 

 C . e) i  8  Ce  t/4
2
4
f) y2 + cos(x2) = C. g) e x  y  Ce y  1  0 . h) 2 + y2 = C ( 4 + x2 )
j) tg2(x) cotg2(y) = C

k) 1  e

x 3
i) y = C sen(x)
 Ctgy l) y  ln x   x  C m) y  2xe  x  2e  x  C
2
2
2
6
0) y  x  ln x  1  C
2
2
n ) 2 ln(1+u) = 4t + t + C
q) (1+y2) = C(1+x2)–1
p) 4 arctgy = x 4x +4lnx + C
4
2
s) y  x  5 ln x  1  C
r) ln( 1+y)2 = x2 2x + C


2
e
b) y 2  ln  1  e x 
c) (x2 1)(y2 +1) = 6.
4


1
1 π
e)
.
f) 2e cosx   y 2  2ln y  3 .
 arcsenx  
2
2
2y
3.
a) y = x2/4.
4.
a) i) y´=  2 ; ii) y = (x/2) + K .
c) i) y´+ y = 0 ii) y2 = 2x + K.
e) i) y y´= x
ii) y = K / x.
g) i) x y´+ y = 0 ii) y2  x2 = K.
5. a)
x2 + y2  ln(x2) = 1.
b)
d)
f)
h)
d) sim, 2.
c)
e) sim, 1.
b) y = x ln(x)  kx.
8. a) y = x e kx .
d) lny = cossecx – cotgx
i) y´ey = 3x2 ii) e  y   1 3x   K .
i) 2xy´= y
ii) y2 + 2x2 = K.
i) 2xy´= 3y
ii) 3y2 + 2x2 = K.
i) y´+ 2y = 0 ii) x  y2 = K..
b) y 2  ( x  1) 2  5
6. a) y2 + 2x2 = C. b) y2 = Cx
7. a) sim, 1. b) sim, 0. c) não.
t) lny = 1/x + x + C
y2
1 1


2 3x 3
f) não. g) sim, 0.
d) xy = 1
h) sim,
c) y = k(xy + x2 )
9. a); y  2xe  x  2e  x  C b) y 2  x  ln x  1  C ;
c) (1+y2) = C(1+x2)–1
d) 4arctg(y/x) = lnC(x2+y2);
e) ln( 1+y)2 = x2 2x + C;
f) lnx = sen(y/x) + C;
2
g) 2 y  2 x  x x  C ; h) lny = 1/x + x + C; i) 2ln(1+u) = 4t + t2 + C;
3
j) 4 arctgy = x4 4x2 +4lnx + C; k) y = xln( lnx + C ); l) ln(x2+y2) –2lnx2 = C;
m) y  x  5 ln x  1  C ;
1   t



10
10. vt   100  1500  1600e e 10 .




11. a) t = 4s; v = 20m/s; b) t = 2s; smax = 20m
  ln 2 

t
ln 5
 ln 2
5745  anos;
12. a) k 
; b) Qt   Qoe 5745  ; c) t 
2
ln
5745
13 t  928 anos, a mesa pode ser a famosa Távola Redonda.
ln 0,145 
(5,27) ln 100
.5745 (aproximadamente 16000 anos atrás).
14. t  
15. t 
 35 anos
ln 2 
ln 2
16. a) Nt   694e 0,366t . b) 694;
19. Após 63 minutos.
20. 40 C;
Comentário: A quantidade
t. A quantidade
17. t 
21. Resp.: I( t ) 
18. t  2,24 horas, tome t e subtraia de 1 hora.
 1  50 t 1
amp.
e

10
10
 1 50 t
é chamada corrente transitória, pois tende a zero (se desvanece) quando
e
10
1
é chamada corrente estacionária. Quando t a corrente I(t) tende para a corrente
10
estacionária.
22. Resp.: (a)
ln 7 
.15 ;
0,56
 99 10 t
amp.; (b) 0 amp.
e
2