Variáveis Aleatórias Exercícios

Variáveis Aleatórias
Exercícios
1.
Considere uma fonte de informação contendo 16 símbolos
Ω = {S0 , S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S7 , S8 , S9 , S1 0, S1 1, S1 2, S1 3, S1 4, S1 5} que são enviados aleatoriamente. Esses símbolos são codificados com sequências de 00 s e 10 s. As probabilidades de ocorrência desses símbolos e a codificação desses símbolos em binário
é dada pela seguinte tabela:
Sj P (Sj )
S0
1/8
S1
1/8
S2
1/8
S3
1/8
S4 1/16
S5 1/16
S6 1/16
S7 1/16
S8 1/16
S9 1/16
S10 1/16
S11 1/32
S12 1/64
S13 1/64
S14 1/64
S15 1/64
Código
001
000
011
010
1111
1110
1001
1000
1011
1010
11011
11010
110001
110000
110011
110010
Vamos definir uma variável aleatória X como sendo o número de bits da palavracódigo.
(a) Qual é o espaço de amostras de X
(b) Considerando que a sequência dos símbolos é independente, calcule as seguintes probabilidades: P (X ≥ 3), P (X ≤ 2), P (X ≤ 4)?
(c)
Qual a probabilidade de X ser ímpar?
(d) Dado que X ≥ 5, qual a probabilidade de X ser ímpar.
2.
Considere um amperímetro de precisão de um dígito (mede somente valores inteiros), que mede de −5A a +5A. Determine a probabilidade de o erro ser superior
a 0,2 Ampère. A função de densidade de probabilidade da corrente na entrada do
amperímetro é dada pela Figura 1:
Figura 1: Função de densidade de probabilidade da corrente
3.
Uma função é definida como p(x) = cx2 , 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Determine a constante c para que essa função se torne a função de densidade
de probabilidade de uma variável aleatória X.
(b) Encontre a função de distribuição de probabilidade de X e calcule P (X > 0.5)
√
(c) Definido Y = X, calcule a f dp de Y .
4.
Qual das das seguintes funções pode ser consideras funções de densidade de probabilidade. Para as funções que são funções de densidade de probabilidade, calcule
a função de distribuição acumulada de probabilidade.
(a) f (x) = |x|, −1 ≤ x ≤ 1
(c) f (x) = 1, −1 ≤ x ≤ 0
5.
(b) f (x) = 32 x2 − 1 , 0 ≤ x ≤ 2
(d) f (x) = 1/x2 , x ≥ 1
Suponha que X tenha a distribuição N (2; 0, 16). Empregando a tabela da função Q,
calcule as seguintes probabilidades:
(a) P (X ≥ 2, 3)
(d) P (1, 8 ≤ X ≤ 2, 1)
6.
Considere o diâmetro de um cabo elétrico uma V.A. de distribuição normal de média
0,8 e variância 0,0004. Quando o diâmetro diferir 0,025 de sua média ele é considerado defeituoso. Qual é a probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso.
7.
Em um jogo de roleta, tem-se os números 1 − 36 e os números 0 e 00. Em uma aposta
de rua, você aposta em 3 números. Quando você acerta um número ganha R$11.
Quando se erra perde R$1. Sendo X a variável aleatória que representa seu ganho
ou perda no jogo, defina.
(a) Qual o valor esperado de ganho?
(b) Qual a variância de ganho?
8.
Dado que o tempo de vida de uma lâmpada segue a distribuição exponencial, e que
após 50h, 75% das lâmpadas estão queimadas. Qual a probabilidade de uma lâmpada
durar mais que 110h?
ii
9.
Dada a função representada pela 2, calcule:
(a) b em função de a para que a função seja uma função de densidade de probabilidade.
(b) A função de densidade de probabilidade obtida.
(c)
A função de distribuição de probabilidade de x
(d) A esperança da variável x.
(e) A variância de x
Figura 2: Função de densidade de probabilidade de x
10.
Considere X uma variável aleatória discreta com gama {0, 1, 2, . . .}. A função de taxa
da falha discreta é dada por:
r(k) =
P (X = k)
P ≥k
(a) Mostre que r(k) = P (X = k|X ≥ k)
(b) Sendo X o número que você obtém quando se joga um dado. Encontre a função
de taxa de falha de X.
11.
Encontre a função de taxa de falha das seguintes funções de densidade de probabildade. Existe um processo de envelhecimento nessas funções?
(a) pt (T ) = 2t, 0 ≤ t ≤ 1
(b) pt (T ) = 1/t2 , t ≥ 1
2
(c) pt (T ) = 2te(−t ) , t ≥ 0
12.
Considere o experimento de jogar dois dados.
(a) Qual a probabilidade de que se precise menos de 6 jogadas para se obter um 7.
(b) Qual a probabilidade de que se precise mais que 6 jogadas para se obter um 7.
Respostas
iii
1. (a) Dica: evento com 4 elementos.
(b) 100% / 0 / 88%
(c) 56%
(d) 6%
2. 60%
3. (a) c=3
(b) 87,5%
(c) py (Y ) = 6Y 5
4. (a) Fx (X) = −x2 /2 + 1/2 para x ≤ 0 e Fx (X) = x/ 2 + 1/2 para x > 0
(b) Fx (X) = x3 /2 − 3x/2
(c) x + 1
(d) −1/x + 1
5. (a) 22,66%
(b) 29%
6. 21,13%
7. (a) -1/19
(b) 10,473
8. 4,6%
9. (a) b = 1/a
(b) 1/(2a2 ) + 1/(2a)
(c) (ax2 + 2x)/4a
(d) a/3
(e) (2a2 )/9
10. (a) Dica: Aplicar o teorema de Bayes sabendo que X ≥ k ⊃ X = k
(b) 1/(7 − k)
11. (a) 2t/(1 − t2 )
(b) 1/t
2
(c) 1 − e−t
12. (a) 59,8%
(b) 33,5%
iv