11. O espaço quociente 11.1. Proposiç˜ao. Seja X um espaço

11. O espaço quociente
11.1. Proposição. Seja X um espaço topológico, seja Y um conjunto, e
seja π : X → Y uma aplicação sobrejetiva. Então a coleção
τπ = {V ⊂ Y : π −1 (V ) é aberto em X}
é uma topologia em Y , que chamaremos de topologia quociente definida por π.
A demonstração é simples e é deixada como exercı́cio.
11.2. Definição. Diremos que π : X → Y é uma aplicação quociente se
X é um espaço topológico, π : X → Y é uma aplicação sobrejetiva e Y tem a
topologia quociente definida por π.
11.3. Proposição. Seja π : X → Y uma aplicação quociente. Então
a topologia quociente é a topologia mais fina em Y tal que a aplicação π é
contı́nua.
A proposição é conseqüência imediata da definição de τπ .
11.4. Proposição. Seja π : X → Y uma aplicação quociente e seja Z um
espaço topológico. Então uma função g : Y → Z é contı́nua se e só se a função
composta g ◦ π : X → Z é contı́nua.
Demonstração. A implicação ⇒ é imediata. Para provar a implicação
oposta, seja W um aberto de Z. Como g◦π é contı́nua, temos que (g◦π)−1 (W ) =
π −1 (g −1 (W )) é aberto em X. Segue que g −1 (W ) é aberto em Y .
11.5. Proposição. Sejam X e Y espaços topológicos, e seja π : X → Y
uma aplicação sobrejetiva e contı́nua. Se π é aberta ou fechada, então a topologia
τ de Y coincide com a topologia quociente τπ .
Demonstração. Suponhamos que π seja aberta. Como π é contı́nua, é
claro que τ ⊂ τπ . Para provar que τπ ⊂ τ , seja V ∈ τπ . Então π −1 (V ) é aberto
em X. Como π é aberta e sobrejetiva, segue que V = π(π −1 (V )) ∈ τ .
Quando π é fechada, a demonstração é parecida.
11.6. Exemplo. Seja
S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}
e seja
π : t ∈ [0, 2π] → (cost, sent) ∈ S 1 .
Claramente π é sobrejetiva e contı́nua. Usando resultados de compacidade em
Rn não é difı́cil provar que π é fechada. Logo S 1 tem a topologia quociente
definida por π.
11.7. Proposição. Seja X um espaço topológico. Seja D uma famı́lia de
subconjuntos disjuntos de X cuja união é X. Seja
[
τD = {A ⊂ D : {A : A ∈ A} é aberto em X}.
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Então τD é uma topologia em D. Diremos que D é uma decomposição de X.
Dado x ∈ X seja P (x) o único elemento de D que contém x. A aplicação
P : X → D assim definida é chamada de aplicação decomposição.
Demonstração. É claro que ∅, D S
∈ τD .
Se Ai ∈ τD para cada i ∈ I, então i∈I Ai ∈ τD , pois
[
[
[[
{A : A ∈
Ai } =
{A : A ∈ Ai }
i∈I
i∈I
é aberto em X.
Se A, B ∈ τD , então A ∩ B ∈ τD , pois
[
[
[
{C : C ∈ A ∩ B} = ( {A : A ∈ A}) ∩ ( {B : B ∈ B})
é aberto em X. Para provar a igualdade anterior é necessário observar que se
A, B ∈ D e A ∩ B 6= ∅, então A = B.
11.8. Proposição. Toda aplicação decomposição P : X → D é uma
aplicação quociente.
Demonstração. Se A ⊂ D, é claro que
P −1 (A) = {x ∈ X : P (x) ∈ A} =
[
{A : A ∈ A}.
Segue que
τD = {A ⊂ D : P −1 (A) é aberto em X}.
Logo τD é a topologia quociente definida por P .
Reciprocamente temos o resultado seguinte.
11.9. Proposição. Seja π : X → Y uma aplicação quociente. Então existe
uma aplicação decomposição P : X → D e existe um homeomorfismo f : Y → D
tal que f ◦ π = P .
Demonstração. Seja
D = {π −1 (y) : y ∈ Y }.
Como π é sobrejetiva, é claro que D é uma decomposição de X. Seja P : X → D
a aplicação canônica. Seja f : Y → D definida por f (y) = π −1 (y) para cada
y ∈ Y . É claro que f é bijetiva. Como f (π(x)) = π −1 (π(x)) contém x, segue
que f (π(x)) = P (x) para cada x ∈ X.
Como f ◦ π = P é contı́nua, segue que f é contı́nua. E como f −1 ◦ P = π é
contı́nua, segue que f −1 é contı́nua.
11.10. Definição. Seja X um espaço topológico, e seja ∼ uma relação de
equivalência em X. A decomposição D formada pelas classes de equivalência
definidas pela relação ∼ é denotada por X/ ∼ e é chamada de espaço de identificação de X módulo ∼.
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11.11. Exemplos.
(a) Já vimos que o cı́rculo unitário S 1 é um quociente do intervalo [0, 2π].
Aqui
D = {{x} : 0 < x < 2π} ∪ {{0, 2π}}.
Para x, y ∈ [0, 2π], tem-se que x ∼ y se x − y é um múltiplo inteiro de 2π.
(b) Seja X = [0, 2π] × [0, 2π]. Dados (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X, definamos
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) se x1 − x2 é um múltiplo inteiro de 2π e y1 = y2 . Então
∼ é uma relação de equivalência em X e o espaço de identificação X/ ∼ é
homeomorfo ao cilindro S 1 × [0, 2π]. A aplicação quociente vem dada por
π : (x, y) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] → ((cosx, senx), y) ∈ S 1 × [0, 2π].
(c) Seja X = [0, 2π]×[0, 2π]. Dados (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X definamos (x1 , y1 ) ∼
(x2 , y2 ) se x1 − x2 é um múltiplo inteiro de 2π e y1 = y2 ou se x1 = x2 e y1 − y2
é um múltiplo inteiro de 2π. Neste caso X/ ∼ é homeomorfo ao toro S 1 × S 1 .
A aplicação quociente vem dada por
π : (x, y) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] → ((cosx, senx), (cosy, seny)) ∈ S 1 × S 1 .
(d) Seja X = [0, 2π] × [0, 2π]. Dados (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X definamos
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) se x1 − x2 é um múltiplo inteiro de 2π e y1 + y2 = 2π.
Neste caso X/ ∼ é homeomorfo à fita de Möbius.
Exercı́cios
11.A. Sejam X e Y espaços topológicos, e seja π : X → Y uma aplicação
sobrejetiva. Prove que é condição necessária e suficiente para que π seja uma
aplicação quociente que B seja fechado em Y se e só se π −1 (B) é fechado em
X.
11.B. Sejam X e Y espaços topológicos, e seja π : X → Y uma aplicação
contı́nua. Se existir uma aplicação contı́nua σ : Y → X tal que π ◦ σ(y) = y
para todo y ∈ Y , prove que π é uma aplicação quociente.
11.C. Sejam X e Y espaços topológicos, e seja π : X → Y uma aplicação
quociente.
(a) Prove que π é aberta se e só se π −1 (π(U )) é aberto em X para cada
aberto U de X.
(b) Prove que π é fechada se e só se π −1 (π(A)) é fechado em X para cada
fechado A de X.
11.D. Seja X = [0, 1], com a topologia induzida por R. Seja Y = {0, 1}, e
seja π : X → Y a função caracterı́stica do intervalo [1/2, 1].
(a) Prove que a topologia quociente τπ em Y vem dada por τπ = {∅, Y, {0}}.
Y é o espaço de Sierpinski, que encontramos no Exercı́cio 3.B.
(b) Prove que π não é aberta nem fechada.
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