lista 06

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FFCLRP-USP 6a¯ LISTA - VETORES E GEOMETRIA VETORES
Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
1. b:
Determinar as coordenadas do vetor u = (4, −5, 3), relação às bases
S = {(1, 1, 1); (1, 2, 0); (3, 1, 0)}; e
B = {(1, 2, 1); (0, 3, 2); (1, 1, 4)}
c: Seja V = P3 (R) e, S1 = {p0 (t) = 2; p1 (t) = 1−t, p2 (t) = (1−t)2 , p3 (t) = (1−t)3 }
e S2 = {q0 (t) = −1; q1 (t) = t, q2 (t) = t2 , q3 (t) = t3 } bases de V. Determine a
matriz de mudança da base S1 para a base S2 e da base S2 para a base S1
d: Determinar as coodenadas dos polinômios t3 e t2 + t3 em relação à base S =
{1 ; 2 − t ; t2 + 1 ; 1 + t + t3 } de V = P3 (R).
e: Mostre que o vetor q(t) = 1 + t2 + t4 não pode ser gerado pelo conjunto S dado no
item anterior.
2. Considere as bases A = {e1 , e2 , e3 } e B = {g1 , g2 , g3 } de R3 assim relacionadas

 g1 = e1 − e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3

g3 = 3e1 − 0e2 + e3
M
N
Determine as matrizes de mudança de base de A para B (A → B) e B para A (B → A).
Se um vetor de R3 apresenta coordenadas 1, 2 e 3, em relação à base B, quais são as
coordenadas deste vetor em relação à bass A ?
3. Considere o seguinte subespaço de M2 (R):
x y
tal que x − y − z = 0
U=
z t
B=
0 0
0 −1
1 0
0 0
1 0
1 1
,
,
e C=
,
,
0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
0 0
Mostre que B e C são base de U. Ache a matriz de mudança de base de B para C e
de C para B.
4. Sejam O : V → U; I : V → V as aplicações assim defindas: O(v) = ⊙ (vetor nulo em
U) e I(v) = v, para qualquer v ∈ V. Verifique que estas aplicações são lineares.
5. Verifique se as aplicações abaixo são lineares.
a:
T : V → V dada por T (f (t)) = f (t) cos(t), onde V = C([0, 1], R), (Funções
contı́nuas definidas em [0, 1] tomando valores reais)
b:
Considere o espaço R2 e F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (x2 + y 2 , x).
c:
Seja (U, R). Dado α ∈ R chama-se HOMOTETIA determinada pelo escalar α a
aplicação Hα : U → U dada por Hα (u) = αu para todo u ∈ U. Mostre que Hα é um
OPERADOR LINEAR.
d:
Seja (U, R). Dado w inU (um vetor fixado), chama-se TRANSLAÇÃO definida
por w a aplicação dada por Tw : U → U tal que Tw = u + w para todo w ∈ U. Mostrar
que se w 6= 0, então T não é uma aplicação linear,(0 é o vetor nulo em U).
6. a: Seja W o espaço vetorial gerado pelo conjunto {(1, 0, i); (1, 1 + i, 1 − i); (1, −1 −
i, −1+3i)}. Determine a aplicação linear T : W → W tal que T (1, 0, i) = (1, 1+i, 1−i);
T (1, 1 + i, 1 − i) = (1, −1 − i, −1 + 3i) e T (1, −1 − i, −1 + 3i) = (1, 0, i).Determine
também uma base para o Kernel e uma base para a Imagem de T .
b: Determinar a aplicação linear T : R3 → R tal que T (1, 1, 1) = (1, 2, 1); T (1, 2, 0) =
(0, 3, 2) e T (3, 1, 0) = (1, 1, 4). Determine também uma base para o Kernel e uma base
para a Imagem de T .
c: Sejam V = P3 (R), S1 = {p0 (t) = 2; p1 (t) = 1−t, p2 (t) = (1−t)2 , p3 (t) = (1−t)3 }
e S2 = {q0 (t) = −1; q1 (t) = t, q2 (t) = t2 , q3 (t) = t3 } bases de V. Determine a
matriz da aplicação linear F : V → V tal que F (p0 (t)) = q2 (t) ; F (p1 (t)) = q3 (t);
F (p2 (t)) = q0 (t) ; F (p3 (t)) = q1 (t). Determine também uma base para o Kernel e uma
base para a Imagem de T .
7. a: Determinar uma aplicação linear F : R3 → R4 tal que Im(F ) = [(1, 1, 2, 1); (2, 1, 0, 1)].
b: Seja T : R3 → R2 a transformação linear T (x, y, z) = (x+y, 2x−y +z). Determine
uma base para o Kernel e uma base para a Imagem de T .
8. Seja (V, K) = (R4 , R).
a: Encontre uma transformação linear S : V → V tal que o Núcleo de S seja gerado
pelos vetores {(1, 1, 1, 1); (0, 1, −1, 0); (0, 2, 0, 2)} e S(0, 0, 0, 2) = (1, 2, 0, −1). Dê a
expressão S(x, y, z, u).
b:
Considere o subespaço W do espaço vetorial V gerado por
F = {(1, 1, 1, 1); (0, 1, −1, 0); (0, 2, 0, 2)}.
Encontre uma transformação linear T : V → V que Im(T ) = W.
c: Seja (V, R) = (C, R). Mostre que o subconjunto {1, i} é uma base de V. Verifique
se {1 + 2i, 3 − i} é base de V. Encontre a matriz da transformação linear S : V → V
tal que S(1 + 2i) = 1 e S(3 − i) = i. Dê uma base para o Kernel de S. Dê uma base
para o imagem de S.
d: Se W = C3 , verifique se
S = {(1, 0, i); (1, 1 + i, 1 − i); (1, −1 − i, −1 + 3i)}
é base de W. Dê exemplo de uma transformação linear T : W → W tal que N (T ) = [S].
9. Suponha que S = {u1 , u2 , · · ·, un } é uma base de (V, R). Mostre que o conjunto
S̃ = {u1 , u1 + u2 , · · ·, u1 + u2 + · · · + un }, é também uma base de V.
10. Note que S = {p0 (t) = 2; p1 (t) = −t, p2 (t) = t2 , p3 (t) = t3 }, é uma base de
V = P3 (R). Calcule as coordenadas de p(t) = 1 − t2 e q(t) = 3t + t3 , na base S. Seja
W = [p2 , p3 ] e U = [p(t), q(t)]. Em relação à base S resolva o exercı́cios abaixo:.
a: Encontre uma tansformação linear T : V → V tal que T (p0 ) = p e T (p3 ) = q
b: Encontre uma tansformação linear F : V → V tal que Im(F ) = W e Ker(F ) = U.
c: Encontre o Núcleo e a Imagem da tansformação linear G : V → V dada por
G(p0 ) = 2p + q, G(p1 ) = p + 2q ′ , G(p2 ) = p′ − q.
11. a:
Considere as bases A = {e1 , e2 , e3 } e B = {g1 , g2 , g3 } de R3 . Seja T : R3 → R3
dada por

 T (g1 ) = e1 − e2 − e3
T (g2 ) = 2e2 + 3e3

T (g3 ) = 3e1 − 0e2 + e3
Determine as matriz da ta tranformação linear T .
b: Verifique se cada uma da aplicações lineares dadas nesta lista é injetora/sobrejetora,
e indique quais delas são isomorfismos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BOA SORTE