Exame de Topologia 26 de Abril de 2006 9h30m

Exame de Topologia
26 de Abril de 2006
9h30m - 12h
Justifique TODAS as respostas
1. Sejam X um conjunto infinito, ∅ 6= A ⊆ X um subconjunto infinito e a, b ∈ X. Considere as
topologias T1 = {∅, {a, b}, X} e T2 = {∅, A, X} em X.
a) Indique todas as condições, sobre a, b, A e X, para que T1 ∪ T2 seja uma topologia em
X;
Suponha que a, b, c ∈ A e T = {∅, {a, b}, A, X}.
b) Determine o interior, exterior, fronteira, fecho, derivado e pontos isolados de Y = A\{c};
c) Seja σ a topologia gerada em R por S = {[0, n[: n ∈ N}. Verifique se a aplicação
f : (X, T ) → (R, σ)


 1, x = a ∨ x = b;
x 7→
2, x ∈ A\{a, b}


3, x ∈
/A
é contı́nua.
2. Seja (X, T ) um espaço topológico que verifica a seguinte propriedade P para cada elemento
x ∈ X:
P : ∀ V ∈ V(x), ∃ y ∈ X\{x} : V ∈ V(y)
(i.e. cada vizinhança de x é também vizinhança de outro elemento).
Para cada alı́nea seguinte dê um exemplo, se possı́vel, de um espaço topológico (X, T ) com a
propriedade P tal que:
a) (X, T ) é um espaço de Hausdorff;
b) (X, T ) não é um espaço de Hausdorff;
c) (X, T ) é homeomorfo a (X, P(X)).
3. Considere em R2 a topologia T = {∅} ∪ {A ⊆ R2 : ∆ ⊆ A}, sendo ∆ a recta de equação
y = x. Verifique se Q = [−1, 1] × [−1, 1] é compacto em (R2 , T ).
4. Considere os seguintes subconjuntos:
A = {(x, y) ∈ R2 : y =
1
∧ x > 0}
x
e
B = {(x, y) ∈ R2 : y = 0 ∧ x > 0},
do espaço métrico (R2 , d), onde
d : R2 × R2 → R.
((x, y), (x0 , y 0 )) 7→ sup{|x − x0 |, |y − y 0 |}
a) Mostre que d(A, B) = 0 (sugestão: por contradição);
b) Verifique se a aplicação
f : (A, dA ) → (B, dB )
1
(x, ) 7→ (x, 0)
x
é uma isometria;
c) Dê um exemplo, se possı́vel, de uma sucessão não constante (an )n∈N em (A, dA ) que seja
convergente em A para (1, 1).
5. Considere o conjunto X = {a, b, c, d} e os subconjuntos B = {a, b} e D = {a, d}.
a) Determine uma topologia T em X com cinco abertos tal que B e D não são conexos;
b) Indique a componente conexa de b em (X, T );
c) Dê um exemplo de um subconjunto não singular do espaço topológico (X, T ) que seja
conexo por caminhos.