Proposiç˜ao. O anel Z[i] = {a + ib : a, b ∈ Z} é Euclidiano - MAT-UnB

Proposição. O anel Z[i] = {a + ib : a, b ∈ Z} é Euclidiano com a função
ϕ(a + ib) = N (a + ib) = a2 + b2 .
Em particular, todos os ideais de Z[i] são principais.
A função N é dita “norma”.
Demonstração. Observe que 0 ≤ N (α) ∈ Z para todo α ∈ Z[i], e se a + ib 6= 0
então N (a + ib) ≥ 1 pois a, b ∈ Z, em particular N (α) = 0 se e somente se
α = 0. Logo N (αβ) = N (α)N (β) ≥ N (α) se β 6= 0. Como Z[i] é um subanel
de C, que é um corpo, Z[i] é um domı́nio de integridade. Falta mostrar que
podemos fazer a divisão com resto. Sejam α = a + ib, β = c + id em Z[i] com
β 6= 0. Procuramos q, r ∈ Z[i] com α = βq + r e N (r) < N (β) (o caso r = 0 está
incluso nessa condição). Observe que r = α − βt, assim a condição que temos é
N (β) > N (r) = N (α − βt) = N (β(
α
α
− t)) = N (β)N ( − t),
β
β
logo temos que encontrar q tal que N ( α
β − q) < 1. Escrevemos
a + ib
(a + ib)(c − id)
ac + bd
bc − ad
α
=
=
= 2
+i 2
= x + iy
β
c + id
(c + id)(c − id)
c + d2
c + d2
e observe que x, y ∈ Q. Logo existem e, f ∈ Z tais que |x − e|, |y − f | ≤ 1/2,
assim escolhendo q = e + if temos
α
− q) = N (x + iy − (e + if )) = N ((x − e) + i(y − f )) =
β
= (x − e)2 + (y − f )2 = |x − e|2 + |y − f |2 ≤ (1/2)2 + (1/2)2 = 1/2 < 1.
N(
A demonstração é terminada.
Por exemplo seja
I := {α ∈ Z[i] : N (α) é par},
o conjunto dos elementos de norma par. Se trata de um ideal pois se α = a + ib,
β = c + id têm norma par então
N (α + β) = N (a + c + i(b + d)) = (a + c)2 + (b + d)2 = N (α) + N (β) + 2(ac + bd)
é par, e se γ ∈ Z[i] então N (αγ) = N (α)N (γ) é par pois N (α) é par e N (γ) ∈ Z.
Como Z[i] é Euclidiano, o ideal I é principal, e sabemos que um gerador de I é
dado por um elemento de I de norma mı́nima, como por exemplo 1 + i. Temos
então I = (1 + i). Observe que I é o núcleo do homomorfismo sobrejetivo de
aneis seguinte: Z[i] → Z/2Z, α 7→ N (α) + 2Z. Pelo teorema de isomorfismo
temos então
Z[i]/(1 + i) ∼
= Z/2Z.
Em particular (1 + i) é um ideal maximal de Z[i].
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