ESPAC¸OS QUOCIENTE Vamos agora estudar a topologia

ESPAÇOS QUOCIENTE
Vamos agora estudar a topologia quociente. Esta topologia surge frequentemente em geometria em construções como a do toro, obtido a partir dum quadrado
identificando as arestas duas a duas (figura 22.1, pag 136)
Dado um espaço topológico X com uma relação de equivalência ∼, seja X/∼ o
conjunto das classes de equivalência. Podemos pensar em X/∼ como o conjunto
obtido identificando pontos de X que são equivalentes.
Exemplo 0.1. Seja X = [0, 1] e consideremos a relação de equivalência em que x ∼ x
para qualquer x ∈ [0, 1] e 0 ∼ 1. Então X/∼ é o conjunto obtido identificando os
pontos 0 e 1.
Exemplo 0.2. Seja X = R e consideremos a relação de equivalência x ∼ y ⇔ |x| =
|y|. Então o quociente X/∼ é o conjunto obtido identificando x com −x para x 6= 0.
Vamos agora ver como definir uma topologia em X/∼ . Seja p : X → X/∼ a
função que a cada ponto x ∈ X faz corresponder a sua classe de equivalência: dado
x ∈ X, p(x) = [x] ∈ X/∼ . Naturalmente queremos que p seja contı́nua. Definimos
a topologia quociente em X/∼ como a topologia mais fina tal que p é contı́nua:
Definição 0.1. A topologia quociente em X/∼ é a colecção dos subconjuntos A ⊂
X/∼ tais que p−1 (A) é aberto em X.
Exemplo 0.3. Consideremos a seguinte relação de equivalência em R: x ∼ y ⇔
(xy > 0 ou x = y = 0). Temos três classes de equivalência: [−1] =] − ∞, 0[,
[0] = {0} e [1] =]0, +∞[. Assim, R/∼ = {[−1], [0], [1]}. Temos
p−1 ([−1]) =] − ∞, 0[
p−1 ([0]) = {0}
p−1 ({[−1], [0]}) =] − ∞, 0] p−1 ({[−1], [1]}) = R − {0}
p−1 ([1]) =]0, +∞[
p−1 ({[0], [1]}) = [0, +∞[
Assim, os abertos de R/∼ são os conjuntos ∅, {[−1]}, {[0]}, {[1]}, {[−1], [1]} e
{[−1], [0], [1]}.
Exemplo 0.4. Seja S n ⊂ Rn+1 a esfera de raio um centrada na origem. Definimos
uma relação de equivalência em S n identificando os pontos diametralmente opostos:
x ∼ y ⇔ x = ±y. Chamamos espaço projectivo ao quociente Pn = S n /∼ . Para
n = 0, S 0 = {−1, 1} com a topologia discreta, logo P0 tem apenas um ponto.
Veremos mais adiante que os espaços S 1 e P1 são homeomorfos.
Uma forma útil de pensar nos abertos em X/∼ é a seguinte: dizemos que um
subconjunto C ⊂ X é saturado sse C for uma união de classes de equivalência. Isto
é,
(x ∈ C e x ∼ y) =⇒ y ∈ C
Exemplo 0.5. Consideremos R com a relação de equivalência x ∼ y ⇔ y = ±x.
Então [1, 2] ⊂ R não é um conjunto saturado. De facto, 1 ∈ [1, 2] mas −1 ∈
/ [1, 2].
Por outro lado, o conjunto [−2, −1] ∪ [1, 2] é saturado.
Proposição 0.2. p induz uma bijecção entre os abertos saturados de X e os abertos
de X/∼ . Isto é,
1
2
ESPAÇOS QUOCIENTE
(1) Dado um aberto A ⊂ X/∼ , então p−1 (A) é um aberto saturado;
(2) Se C ⊂ X é um aberto saturado, então existe um aberto A ⊂ X/∼ tal que
C = p−1 (A).
Demonstração.
(1) Seja A ⊂ X/∼ um aberto. Então por definição de topologia quociente,
p−1 (A) é aberto. Mostremos que p−1 (A) é saturado. Seja x ∈ p−1 (A) e
seja y ∼ x. Então p(y) = [y] = [x] = p(x) ∈ A logo y ∈ p−1 (A).
(2) Se C = p−1 (A) então A é automaticamente aberto por deifnição de topologia quociente. Logo basta mostrar que A existe. Seja A = p(C). Mostremos
que C = p−1 (A). A inclusão C ⊂ p−1 (p(C)) verifica-se sempre logo basta
mostrar que p−1 (p(C)) ⊂ C. Seja x ∈ p−1 (p(C)). Então [x] = p(x) ∈ p(C).
Como C é saturado isto implica que [x] ⊂ C logo x ∈ C.
Ver exemplos 4 e 5 página 139.
Vamos agora ver como definir funções contı́nuas em espaços quociente.
Teorema 0.3. Sejam X, Z espaços topológicos, ∼ uma relação de equivalência em
X. Seja f : X → Z uma função contı́nua tal que x ∼ y ⇒ f (x) = f (y), isto é, f
é constante em classes de equivalência. Então f induz uma funcção f˜ : X/∼ → Z
tal que f˜ ◦ p = f . f˜ é contı́nua sse f for contı́nua.
Demonstração. f é constante em cada classe de equivalência logo definimos f˜([x])
como o valor de f na classe de equivalência [x]. Então f˜ ◦ p(x) = f˜([x]) = f (x).
Se f˜ for contı́nua, f = f˜ ◦ p é contı́nua. Assumimos portanto que f é contı́nua e
mostremos que f˜ é contı́nua. Seja A ⊂ Z um aberto. Então f˜−1 (A) é aberto sse
p−1 (f˜−1 (A)) for aberto em X. Mas p−1 (f˜−1 (A)) = f −1 (A), e como f é contı́nua
este conjunto é aberto. Logo f˜−1 (A) é aberto, portanto f˜ é contı́nua.
Exemplo 0.6. Seja X = [0, 2π] ⊂ R e consideremos a relação de equivalência 0 ∼ 2π.
Vamos mostrar que [0, 2π]/∼ é homeomorfo a S 1 .
Seja f : [0, 2π] → S 1 ⊂ R2 a função f (t) = (cos t, sin t). Para ver que esta função
é contı́nua observamos que ela é obtida a partir da função
R
t
/ R2
/ (cos t, sin t)
(que é contı́nua porque as funções coordenadas são contı́nuas) restringindo o domı́nio
e o conjunto de chegada. Claramente f (0) = f (2π) logo f induz uma função
contı́nua no quociente f˜ : [0, 2π]/∼ → S 1 .
Vamos agora construir a função inversa h : S 1 → [0, 2π]/∼ . Recordemos que
a função cos t : [0, π] → [−1, 1] é bijectiva com inversa arccos x : [−1, 1] → [0, π].
x = cos t logo
(
arccos x
0≤t≤π
t=
2π − arccos x π ≤ t ≤ 2π
Assim, vamos construir a função inversa usando o lema da colagem. Seja
1
S+
= {(x, y) ∈ S 1 : y ≥ 0}
1
S−
= {(x, y) ∈ S 1 : y ≤ 0}
ESPAÇOS QUOCIENTE
3
1
S+
é a intersecção de S 1 com o subconjunto fechado {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} ⊂ R2 .
1
1
Logo S+
é fechado em S 1 . De forma análoga S−
é fechado em S 1 . Definimos
1
h± : S± → [0, 2π] por
h+ (x, y) = arccos x
h− (x, y) = 2π − arccos x
Para ver que h+ é contı́nua consideramos a composição de funções contı́nuas
[−1, 1] × R
(x, y)
/ [−1, 1]
/ [0, π]
/x
/ arccos x
e observamos que h+ é obtida restringindo o domı́nio e expandindo o conjunto de
chegada. De forma análoga vemos que h− é contı́nua. Aplicamos agora o lema da
colagem às funções contı́nuas
1
p ◦ h+ : S+
→ [0, 2π]/∼
1
p ◦ h− : S−
→ [0, 2π]/∼
1
1
Estas funções coincidem na intersecção S+
∩ S−
= {(−1, 0), (1, 0)}:
p ◦ h+ (−1, 0) = [π] = p ◦ h− (−1, 0)
p ◦ h+ (1, 0) = [0] = [2π] = p ◦ h− (1, 0)
pelo que induzem uma função h : S 1 → [0, 2π]/∼ .