Minicursos 3 - Sociedade Brasileira de Matemática

Minicurso – Colóquio de Matemática da Região Norte
2014
Comitê Cientı́fico
Flávia Morgana de O. Jacinto (UFAM) - Coordenadora
Hugo Alex Carneiro Diniz (UFOPA)
Jorge Herbert Soares de Lira (UFC)
Marcelo Miranda Viana da Silva (IMPA-SBM)
Renato de Azevedo Tribuzy (UFAM)
Rodrigo Bissacot Proença (USP)
Rúbia Gonçalves Nascimento (UFPA)
Esta é mais uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática para
os minicursos ministrados nos Colóquios.
Veja outras publicações da SBM, na livraria virutal que se encontra na
página
http://www.loja.sbm.org.br/
Sociedade Brasileira de Matemática
2014
Campos polinomiais e hipersuperfı́cies
algébricas invariantes
Maurı́cio Corrêa
[email protected]
Departamento de Matemática
Instituto de Ciências Exatas-ICEX
Universidade Federal de Minas Gerais-UFMG
Sociedade Brasileira de Matemática
Rio de Janeiro - RJ, Brasil
2014
Coordenação Editorial:
Flávia Morgana de O. Jacinto
Editora: SBM
Impresso na Gráfica:
Capa: ? ? ?
Patrocı́nio: Superitendência da Zona Franca de Manaus (SUFRAMA)
c
Copyright 2014
by Autores
Direitos reservados, 2014 pela SBM.
Catalogação elaborada pela Biblioteca ???
Bibliotecária: ????
Corrêa Jr, Maurı́cio
Campos polinomiais e hipersuperfı́cies algébricas invariantes – Rio de Janeiro, RJ :
SBM, 2014, ?? p., 20.5 cm - (Minicurso Colóquio CO 2014; v. ??)
ISBN ????-????
Campos de vetores, Integrabilidade algébrica
I. Corrêa Jr, Maurı́cio, III. Tı́tulo. IV. Série
CDD - 51
Ao amor da minha vida, Cátia.
Agradecimentos
À Deus.
À Rodrigo Bissacot pelo incentivo e sugestão para escrever estas notas.
Aos colegas que, no desenvolvimento deste trabalho, contribuı́ram de
diferentes formas para a sua realização, em especial Marcio Soares, Luis
Guillermo, Arturo Perez, Israel Vainsencher, Leonardo Câmara, Omegar
Andrade, Renato Vidal e Marcos Jardim.
Aos meus alunos, Vinicius dos Reis, Fernando Lourenço, Michely Oliveira e Alana Nunes, que durante o mestrado participaram de cursos relacionados à essas notas.
À minha famı́lia: minha esposa Cátia, meus irmãos Nádia e Douglas,
meus sobrinhos Nayara e João Marcos, meu pai Chico e minha tia Vanir.
Ao CNPq, à CAPES e FAPEMIG pelos auxı́lios concedidos durante a
realizaç¸ao deste trabalho.
Voar é fácil. Difı́cil mesmo é pousar.
Butica.
10
Conteúdo
Prefácio
15
1 Preliminares
1.1 Variedades algébricas Afins . . . . . . . . . . . . . .
1.2 exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Campos de vetores e formas holomorfas . . . . . . .
1.3.1 Aplicações multilineares e tensores . . . . . .
1.3.2 Formas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Produto exterior . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Álgebra de Grassman . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Produto interior ou contração . . . . . . . . .
1.4 Equações diferenciais ordinárias e campos de vetores
1.4.1 p-formas e p-vetores diferenciais . . . . . . . .
1.5 Exercı́cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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24
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30
31
32
33
34
2 Integrabilidade algébrica para campos polinomiais
37
2.1 Teorema de Darboux-Jouanolou . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Integrabilidade algébrica de Lagutinskii-Pereira . . . . . . . . 42
2.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 O Problema de Poincaré para hipersuperfı́cies
3.1 Complexo Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Demonstração de Zarisk-Esteves . . . . . . . .
3.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
invariantes
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
47
47
49
50
4 Hipersuperfı́cies invariantes por endomorfismos polinomiais
51
4.1 Hipersuperfı́cies Totalmente Invariantes . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Demonstração do Teorema de Cantat para Endomorfismos
polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11
12
4.3
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Referências
59
14
Prefácio
O estudo de soluções algébricas para sistemas de equações diefrenciais
ordinárias e campos de vetores polinomiais teve inicio no final do século
XIX com trabalhos de Poincaré, cujo objetivo era estudo qualitativo do
comportamento dinâmico global das soluções do sistema.
Na mesma época, muitos outros matemáticos tais como Darboux, Painlevé e Autonne, dedicaram ao estudo algebro-geométrico de equações diferencias ordinárias polinomiais. Dentre estes, um dos trabalhos de maior
destaque são os de Darboux, que encontrou um método para decidir quando
todas as soluções de um sistema estão contidas em curvas algébricas. Em
termos modernos, decidir quando um campo polinomial no plano complexo
tem uma integral primeira racional. Neste caso, dizemos que o campo ou
sistema é algebricamente integrável.
Poincaré, admirado com o trabalho de Darboux, provou em (28) que
para encontrar integral primeira para um campo é suficiente limitar o grau
de uma possı́vel solução geral em termos do grau do campo. Tal problema
é nos dias de hoje conhecido como problema de Poincaré.
D. Cerveau e A. Lins Neto em (4) trataram o problema de Poincaré
no contexto de folheações holomorfas no plano projetivo complexo. A
partir daı́, muitos pesquisadores dedicaram-se ao problema de Poincaré e
suas generalizações obtendo respostas afirmativas. Destacamos o trabalho
de Marcio G. Soares (31) que encontrou uma resposta afirmativa para o
problema de Poincaré para hipersuperfı́ceis sem singularidades invariantes.
Mais tarde, Eduardo Esteves em (13) obteve o mesmo resultado, utilizando
um argumento puramente algébrico atribuido a Zarisk (23).
J-P. Jouanolou em (20) obteve um melhoramento da teoria de integrabilidade de Darboux. De fato, Darboux demonstra apenas a existência
de um integral primeira multivaluada e foi Jouanolou quem demonstrou a
existeência de integral primeira racional para campos polinomiais no plano,
sempre que o mesmo possui um número suficientemente grande de curvas
algébricas invariantes.
15
16
Existem várias generalizações do Teorema de Darbou-Jouanolou, veja
Jouanolou (21), Ghys (15), Corrêa-Maza-Soares (5) e (6).
Uma versão dinâmico discreto do Teorema de Darboux-Jouanolou foi
obtida por Serge Cantat em (3). Na dissertação de mestrado de Vinicius
dos Reis (29), mostramos que podemos adaptar a demonstracao de Cantat
no contexto de endomorfismos polinomiais.
Neste livro vamos dar uma introdução ao estudo da integrabilidade algebrica de campos polinomiais em Cn . Além disso, mostraremos a versão
dinmico discreto de Cantat para endomorfismos polinomiais. Recomendamos a leitura da monografia de Jorge Vitório Pereira (24) que é uma excelente referência para o estudo introdutório da integrabilidade para campos
polinomiais no plano complexo.
No capı́tulo 1, introduzimos conceitos básicos de geometria algébrica
afim, campos de vetores e formas diferenciais.
No capı́tulo 2, demonstramos o Teorema de Darboux-Jouanolou para
campos em Cn . A demonstração que apresentaremos sera a dada em (8).
Llibre-Zhang mostram em (22) tal teorema usando métodos diferentes. Além
disso, introduzimos o conceito de hipersuperfı́cies extaticas de LagutinskiiPereira e demonstramos um critério para existência de integral primeira
racional.
Noi capitulo 3, daremos uma resposta afirmativa para o problema de
poincare para hipersuperfı́cies invariantes homogêneas não singulares. A
cota foi encontrada por M. Soares em (31) usando teorema de Baum-Bott.
Vamos exibir a demonstração de Zarisk-Esteves provada no trabalho de
Eduardo Esteves (13).
Finalmente, no ultimo capı́tulo vamos demostrar o teorema de Cantat.
Belo Horizonte, 30/08/2014.
Maurı́cio Corrêa
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo daremos alguns conceitos básicos, sem nenhum aprofundamento, sobre conjuntos dados por zeros de sistemas de equações polinomiais . Denotamos por C[x1 , ..., xn ] o anel de polinômios em n variáveis
com coeficientes complexos.
1.1
Variedades algébricas Afins
Definição 1.1. Sejam f1 , . . . , fs polinômios em n variávies complexas, i.e,
f1 , . . . , fs ∈ C[x1 , ..., xn ]. O conjunto
V(f1 , . . . , fs ) = {(a1 , . . . , an ) ∈ Cn : fi (a1 , . . . , an ) = 0, ∀i = 1, . . . , n}.
é chamado de variedade algébrica afim dada pela solução do sistema de
equações polinomiais
{f1 = · · · = fs = 0}
definido por f1 , . . . , fs .
No caso em que s = 1 e o grau de f1 = f é d dizemos que V(f ) é uma
hipersuperfı́cie algébrica de grau d.
Observe que aqui o conceito de variedade não implica em variedade diferenciável. De fato, V = {f1 = · · · = fs = 0} é variedade diferenciável(complexa)
se 0 ∈ Cn é valor regular para o mapa f = (f1 , . . . , fs ) : Cn → Cs .
O conjunto singular de V é definido por
Sing(V ) = {p ∈ V ; df (p) não tem posto máximo}.
Dizemos que Vreg := V = Sing(V ) é a parte regular de V que de fato é
uma variedade diferencial complexa de dimensão n − s.
Exemplo 1.1. Todo subespaço linear de Cn é uma variedade algébrica pois
é solução de um sistemas de equações polinomiais de grau um.
Em seguida veremos algumas propriedades de subvariedades algébricas.
Antes daremos algumas definições e conceitos importantes.
Definição 1.2. Sejam f1 , . . . , fs ∈ C[x1 , . . . , xn ]. O ideal gerado por
f1 , . . . , fs é o subconjunto do espaço de polinômios
Ps
hf1 , . . . , fs i = { i=1 hi fi : h1 , . . . , hs ∈ C[x1 , . . . , xn ]}.
Um simples, porém importante, fato é o seguinte:
Proposição 1.1. Se f1 , . . . , fs e g1 , . . . , gt são tais que hf1 , . . . , fs i = hg1 , . . . , gt i,
então
V (f1 , . . . , fs ) = V (g1 , . . . , gt )
Interseções e união de conjuntos algébricos também o são
Lema 1.1. Se V, W ⊂ Cn são variedades afins, então V ∪ W e V ∩ W
também o são .
Demonstração. Considere V = V(f1 , . . . , fs ) e W = V(g1 , . . . , gt ), entâão
V ∪ W = V(fi gj ) : 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ t),
V ∩ W = V(f1 , . . . , fs , g1 , . . . , gt ).
O Lema 1.1 implica que interseções finitas e uniões de variedades afins
são ainda variedades afins. Além disso, podemos ver que Cn e ∅ também
são conjuntos algébricas. Assim , podemos definir uma topologia em Cn
chamada topologia de Zariski em que os abertos são os complementares de
V (f1 , . . . , fn ).
Definição 1.3. Seja V ⊂ Cn uma variedade afim. O ideal de V é por
definição
I(V ) = {f ∈ C[x1 , . . . , xn ] : f (x1 , . . . , xn ) = 0
∀(a1 , . . . , an ) ∈ V }
Claramente vale a seguinte inclusão de conjuntos.
Lema 1.2. Se f1 , . . . , fs ∈ C[x1 , . . . , xn ], então
hf1 , . . . , fs i ⊂ I(V (f1 , . . . , fs ))
21
1.1. VARIEDADES ALGÉBRICAS AFINS
O próxido exemplo mostra que a igualdade em geral não é válida.
Exemplo 1.2. Considere a variedade {(0, 0)} ⊂ C2 . Então o ideal I({(0, 0)})
consiste de todos os polinmios que se anulam na origem. Portanto
I({(0, 0)}) = hx, yi
Por outro lado, veja que hx2 , y 2 i ⊂ I(V (x2 , y 2 )) mas I(V (x2 , y 2 )) * hx2 , y 2 i.
Podemos definir a variedade de um ideal.
Definição 1.4. Seja I ⊂ C[x1 , . . . , xn ] um ideal. A variedade de I por
V(I) = {(a1 , . . . , an ) ∈ Cn : f (a1 , . . . , an ) = 0
∀f ∈ I}.
Nesses termos temos a
Proposição 1.2. V(I) é uma variedade afim. Em particular, se I =
hf1 , . . . , fs i, então V(I) = V(f1 , . . . , fs ).
Proposição 1.3. Sejam V e W variedades afim em Cn . Então
i) V ⊂ W ⇔ I(V ) ⊃ I(W );
ii) V = W ⇔ I(V ) = I(W ).
Demonstração. É suficiente demonstrar a parte i). Seja f ∈ I(W ), temos
que f (p) = 0 para todo p ∈ W . Como V ⊂ W , f (q) = 0 para todo q ∈ V .
Portanto f ∈ I(V ) e daı́ I(W ) ⊂ I(V ). Por outro lado, se p ∈ V , então por
definição f (p) = 0 para todo f ∈ I(V ). Como I(V ) ⊂ I(W ), então g(p) = 0
para todo g ∈ I(W ), logo p ∈ W .
O próximo Teorema, conhecido como Teorema da base de Hilbert, garante em particular que todo subconjunto algébrico é a interseção de um
número finito de hipersuperfı́cies.
Teorema 1.1 (Teorema da base de Hilbert). Todo ideal I ⊂ C[x1 , . . . , xn ]
é finitamente gerado. Isto é, existem f1 , . . . , fs ∈ C[x1 , . . . , xn ] tais que
I = hf1 , . . . , fs i.
Seja I um ideal de C[x1 , . . . , xn ] o radical de I é definido por
√
I = {f ∈ C[x1 , . . . , xn ] : ∃m ∈ N tal que f m ∈ I}
O Teorema dos Zeros de Hilbert diz que o ideal de uma variedade V (I)
é o radical de I.
Teorema 1.2 (Teorema dos Zeros de Hilbert). Se f1 , . . . , fs ∈ C[x1 , . . . , xn ]
são tais que f ∈ I(V (f1 , . . . , fs )), então existe m ≥ 1 tal que f m ∈ hf1 , . . . , fs i
(e reciprocamente).
2 2
Exemplo
p 1.3. Voltando ao exemplo acima vemos que I(V (hx , y i)) =
hx, yi = hx2 , y 2 i.
Uma variedade V ⊂ Cm é dita redutı́vel se ela pode ser escrita como
uma união de duas subvariedades próprias não vazias: V = V1 ∪ V2 , onde
V 6= V1 e V 6= V2 . Caso contrário, dizemos que V é irredutı́vel.
Exemplo 1.4. V (f ) é irredutı́vel se, e somente se, f é um polinomio irredutı́vel.
Exemplo 1.5. Considere a variedade em C3 dada por
V = V(x3 + xy − xz, yx2 + y 3 − yz).
Não é difı́cil ver que
V = V(x2 + y 2 − z) ∪ V(x, y).
Portanto, V é redutı́vel.
A seguinte proposção caracteriza variedades irredutı́veis.
Proposição 1.4. Seja V ⊂ Cn uma variedade afim. As seguintes afirmações
são equivalentes:
i) V é irredutı́vel;
ii) I(V ) é um ideal primo;
Essa caracterização juntamente com o teorema dos Zeros de Hilbert nos
dá um dicionário entre álgebra e geometria. Isto é , uma correspondência
biunı́voca entre ideais primos e variedades algébricas irredutı́veis.
Definição 1.5. Uma aplicação φ : Cm → Cn é dita aplicação polinomial
(ou aplicação regular) se existem polinômios f1 , . . . , fn ∈ C[z1 , . . . , zm ]
tais que
φ(a1 , . . . , am ) = (f1 (a1 , . . . , am ), . . . , fn (a1 , . . . , am ))
para todo (a1 , . . . , am ) ∈ Cn .
O corpo das funções racionais de Cn é definido por
23
1.2. EXERCÍCIOS
C(z1 , . . . , zn ) =
f (z1 , . . . , zn )
: f, g ∈ C[z1 , . . . , zn ], g 6= 0 .
g(z1 , . . . , zn )
Um mapa φ : Cm → Cn tal que φ = ( gf11 , . . . , gfnn ) é dito aplicação racional.
Repare que φ não é uma função propriamente dita pois não está definida
ao longa do conjunto algébrico
Ind(φ) = {f1 = g1 = 0} ∪ · · · ∪ {fn = gn = 0}
chamado conjunto de indeterminação de φ .
A uma função racional R = P/Q associamos uma famı́lia de hipersuperfı́cies algébricas
{P − λQ = 0}λ∈C
que chamadamos de pencil de hipersuperfı́cies associado a P/Q. O
conjunto de pólos de P/Q é a hipersuperfı́cie
|P/Q|∞ = {Q = 0}.
Denotaremos por Cd [z] o espaço vetorial complexo dos polinômios de
grau menor ou igual a d. É bem conhecido que
d+n
dim Cd [z] =
.
n
O espaço de aplicações polinomiais, cujas as funções coordenadas tem grau
no máximo d, é isomorfo a Cd [z]⊕n . Portanto, tal espaço tem dimensão
igual a
d+n
n
.
n
1.2
exercı́cios
1. Mostre que V (f ) é irredutı́vel se, e somente se, f é um polinomio irredutı́vel.
p
2. Mostre que I(V (hx2 , y 2 i)) = hx, yi = hx2 , y 2 i.
3. Seja a = (a1 , . . . , an ) ∈ Cn um ponto. Mostre que V = {a} se, e somente
se, I(V ) = hz1 − a1 , . . . , zn − an i.
4. Mostre que a dimensão do espaço vetorial complexo dos polinômios de
grau menor ou igual a d é igual a
d+n
dim Cd [z] =
.
n
1.3
Campos de vetores e formas holomorfas
Uma função f : V ⊂ Cn → C é dita holomorfa(ou analı́tica ) se em torno
de cada ponto f se escreve como uma série de potências ,em n variávies com
coeficientes complexas, convergente. Denotamos o conjunto de func cões
analı́cicas por O(V ). É fácil ver que O(V ) tem estrutura de anel.
Um map F : V ⊂ Cn → Cm é dito holomorfo(ou analı́tico ) se suas
funções coordenadas o são. Para mais detalhes sobre a teoria de funções
holomorfas em várias variáveis complexas recomendamos a leitura do livro
de Marcos Sebastiani (30).
Exemplo 1.6. Toda função polinomial é analı́ca.
1.3.1
Aplicações multilineares e tensores
Sejam V1 , . . . , Vr e W espaços vetoriais sobre K1 . Uma aplicação
F : V1 × · · · × Vr −→ W,
é dita r-linear se, para cada 1 ≤ i ≤ r, satisfaz a seguinte condição
F (v1 , v2 , . . . , vi−1 , vi + λui , vi+1 , . . . , vr ) = F (v1 , v2 , . . . , vi , . . . , vr )+
+λF (v1 , v2 , . . . , vi−1 , ui , vi+1 , . . . , vr ),
para todo λ ∈ K e quaisquer vi , ui ∈ Vi . Isto é, F é linear em cada variável
separadamente.
Exemplo 1.7. Sejam v1 , . . . , vn ∈ Kn . Agora considere a matriz [v1 , . . . , vn ],
cujas as colunas são formadas pelas coordenadas dos vetores vi , relativo a
base canônica de Kn . A aplicação determinante dada por
det : Kn × · · · × Kn −→
{z
}
|
K
n
7−→
(v1 , . . . , vn )
det([v1 , . . . , vn ])
é uma aplicação n-linear.
Exemplo 1.8. Sejam V um espaço vetorial de dimensão n + 1 e B =
{e1 , . . . , en+1 } uma base de V . Definimos o produto vetorial por
V
: V × · · · × V −→
V
|
{z
}
n
(v1 , . . . , vn )
7−→
n+1
X
(−1)i+1 det(Ai )ei
i=1
1 Estaremos
considerando espaços vetoriais sobre K, onde K = C ou K = C(z) corpo
de funções racionais
1.3. CAMPOS DE VETORES E FORMAS HOLOMORFAS
25
onde Ai é a matriz n × n omitindo a i−ésima linha da matriz (aij )(n+1)×n ,
Pn+1
vinda da relação vj V
= i=1 aij ei . Convenientemente usaremos aVnotação
a seguinte notação (v1 , . . . , vn ) = v1 ∧ · · · ∧ vn . Observe que
é uma
aplicação n-linear, devido a linearidade do determinante. No caso em que
n = 2 observe que temos que v1 ∧ v2 = v1 × v2 , onde ” × ” é o produto
vetorial de K3 .
Denotamos o espaço de todas as aplicações r-lineares de V1 × · · · × Vr em
W por L(V1 × · · · × Vr ; W ). Quando Vi = V , para todo i = 1, . . . , r,
então condensamos a notação para o espaço de aplicações r-lineares de
V × · · · × V em W da seguinte forma Lr (V ; W ).
{z
}
|
r−vezes
Sendo f, g ∈ L(V1 × · · · × Vr ; W ) e λ ∈ K, então as operações

 (F + G)(v1 , . . . , vn ) = F (v1 , . . . , vn ) + G(v1 , . . . , vn )

(λF )(v1 , . . . , vn ) = λF (v1 , . . . , vn )
dão a L(V1 , . . . , Vr : W ) uma estrutura K-espaço vetorial.
Definição 1.6. O produto tensorial de s funcionais Fi ∈ L(Vi ; K), i =
1, . . . , p, é a aplicação s-linear definida da seguinte forma
F1 ⊗ · · · ⊗ Fs : V1 × · · · × Vr
(v1 , . . . , vs )
→
→
K
F1 (v1 ) · · · Fs (vs ).
Repare que F1 ⊗ · · · ⊗ Fs ∈ L(V1 × · · · × Vr ; K). Portanto, o produto
tensorial de funcionais é uma forma de produzir aplicações multilineares de
espaços vetoriais com valores no corpo K. Esse tipo de aplicação multilinear
é o que mais a frente denominaremos de tensores.
Veremos em seguida que podemos produzir, naturalmente, uma base
o espaço vetorial Lr (V ; K) := Lr (V ), formada por produto tensorial de
funcionais em V .
Proposição 1.5. Sejam B = {e1 , . . . , en } uma base ordenada de um espaço
vetorial V e B ∗ = {e∗1 , . . . , e∗n } sua base dual. As forma r-lineares
e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ir
formam uma base para Lr (V ), para todo sequência de inteiros (i1 , . . . , ir ),
com ik ∈ {1, . . . , n} e k = 1, . . . , r.
Demonstração. Para cada (s) = (i1 , . . . , ir ) defina e(s) = e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ir . Temos que e(s) · (ei1 , . . . , eir ) = 1 e e(s) · (ej1 , . . . , ejr ) = 0 se (s) 6= (j1 , . . . , jr ).
Dada F ∈ Lr (V ; K) e sendo a(s) = F (ei1 , . . . , eir ), para cada (s) = (i1 , . . . , ir ),
vemos que
X
F =
a(s) e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ir ,
(s)
para toda sequência (s) de r inteiros em {1, . . . , n}. Isto mostra que F é
combinaão linear dos e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ir . Como o número de sequências (s) é nr ,
e este é exatamente a dimensão de Lr (V ), concluimos de fato que
Lr (V ) = he∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ir iK .
Definição 1.7. Seja E um espaço vetorial sobre K. Uma aplicação multilinear de E r × · · · × E r × E ∗ × · · · × E ∗ em K é chamado de tensor do tipo
{z
} |
{z
}
|
p−vezes
q−vezes
p
p
q , ou tensor p-covariante, q-contravariante. Isto é, um tensor do tipo q
é um elemento do K-espaço vetorial L(E × · · · × E × E ∗ × · · · × E ∗ ; K).
|
{z
} |
{z
}
p−vezes
q−vezes
Pela proposição 1.5, se {e1 , . . . ,en } é uma base para um espaço vetorial
E, então todo tensor F do tipo pq em E é da forma
X
,...,ir
e ⊗ · · · ⊗ ejr ⊗ e∗i1 ⊗ · · · ⊗ e∗ir
F =
Fji11,...,j
r j1
j1 ,...,jr
i1 ,...,ir
Seja T : E n −→ F m uma aplicação linear e ω ∈ Lp (F ) uma p-forma
multilinear, então T induz uma p-forma em E dada por
T ∗ (ω)(e1 , . . . , en ) = ω(T e1 , . . . , T en ).
Falamos que a p-forma multilinear induzida T ∗ (ω) ∈ Lp (E) é o pull-back de
ω por T .
1.3.2
Formas exteriores
Seja Sp o grupo das permutações do conjunto {1, . . . , n}. Denotaremos
por (s) o sinal de uma permutação s de Sp .
Seja ω ∈ Lp (E) uma forma p-linear uma permutação s ∈ Sp induz uma
forma p-linear da seguinte forma s ◦ ω : (e1 , . . . , en ) 7→ ω(es(1) , . . . , es(n) ).
Assim, cada permutação s ∈ Sp induz um automorfismo de Lp (E) dado
por
Ts : Lp (E) −→ Lp (E)
ω
7−→ s ◦ ω.
Além disso, temos que id ◦ ω = ω e (s ◦ t) ◦ ω = s ◦ (t ◦ ω).
27
1.3. CAMPOS DE VETORES E FORMAS HOLOMORFAS
Definição 1.8. Uma forma p-linear ω ∈ Lp (E) é dita antisimétrica ou
forma
Vpexterior de grau p se s ◦ ω = (s)ω, para todo s ∈ Sp . Denotaremos
por
E o subespaço vetorial de Lp (E) de todas as p-formas exteriores.
Vp
Vamos em seguida definir um operador a : Lp (E) →
E, que charemos
de operador de antisimetrização. Seja ω ∈ Lp (E), a antisimetrização de ω
é dada por
X
(s)s ◦ ω
a(ω) =
s∈Sp
A seguinte proposição justificará o nome do operador a e além disso nos
oferecerá algumas propriedades do mesmo.
Proposição 1.6. Seja ω ∈ Lp (E) uma p-forma multilinear . então:
i) a(ω) é antisimétrica.
Vp
ii) se ω ∈
E então a(ω) = p!ω
Demonstração. Para provar a parte i) devemos mostrar que t ◦ a(ω) =
(t)a(ω) para toda permutação t ∈ Sp . Com efeito, se t ∈ Sp então
X
t ◦ a(ω) =
(s)(t)2 t ◦ (s ◦ ω)
s∈Sp
X
= (t)
s∈Sp
X
= (t)
X
(t)(s)(t ◦ s) ◦ ω =
(t ◦ s)(t ◦ s) ◦ ω
s∈Sp
(r)r ◦ ω = (t)a(ω).
r∈Sp
Parte ii) : como por hipótese ω é antimétrica então s ◦ ω = (s)ω, para todo
s ∈ Sp . Portanto
X
X
X
a(ω) =
(s)s ◦ ω =
(s)2 ω =
ω = p!ω.
s∈Sp
s∈Sp
s∈Sp
Vejamos agora algumas propriedades muito importantes envolvendo o
produto tensorial de p-formas multilineares e a aplicação de antisimetrização.
Tais propriedades serão de grande valia para o nosso próximo assunto que
é o produto exterior de p-formas.
Proposição 1.7. Sejam ω ∈ Lp (E) e ϑ ∈ Lq (E). então:
i) a(a(ω) ⊗ ϑ) = p!a(ω ⊗ ϑ) e a(ω ⊗ a(ϑ)) = q!a(ω ⊗ ϑ)
ii) a(ω ⊗ ϑ) = (−1)pq a(ϑ ⊗ ω)
Demonstração. Parte i): basta mostrar que a(a(ω) ⊗ ϑ) = p!a(ω ⊗ ϑ), a
outra igualdade tem prova análoga. Temos que
X X
(s)(t)s(t(ω) ⊗ ϑ)
a(a(ω) ⊗ ϑ) =
s∈Sp+q t∈Sp
X
X
=
(st)(s ◦ t) ◦ (ω ⊗ ϑ)
s∈Sp+q t∈Sp
X
= p!
(r)r ◦ (ω ⊗ ϑ) = p!a(ω ⊗ ϑ)
r∈Sp+q
Parte ii) : Seja t ∈ Sp+q a permutação definida por

= q + i, para 1 ≤ i ≤ p
 t(i)

t(p + i)
=
i,
para 1 ≤ i ≤ q.
Temos que o sinal de t é (−1)pq , e ainda
(a(ω ⊗ ϑ))(e1 , . . . , ep+q )
X
=
(s ◦ t)ω(est(1) , . . . , est(p) )ϑ(est(p+1) , . . . , est(p+q) )
s∈Sp+q
=
(−1)pq
X
(s)ω(es(q+1) , . . . , est(p+q) )ϑ(est(1) , . . . , est(q) )
s∈Sp+q
=
1.3.3
(−1)pq (a(ϑ ⊗ ω))(e1 , . . . , ep+q ).
Produto exterior
Sejam ω uma p-forma exterior e ϑ uma q-forma exterior sobre um Kespaço vetorial E. O produto exterior de ω com ϑ é a (p + q)-forma exterior
dada pela regra
1
ω∧ϑ=
a(ϑ ⊗ ω).
p!q!
29
1.3. CAMPOS DE VETORES E FORMAS HOLOMORFAS
Segue desta definiç ão que
(ω∧ϑ)·(e1 , . . . , ep+q ) =
X
1
(s)ω(es(1) , . . . , es(p) )ϑ(es(p+1) , . . . , es(p+q) ).
p!q!
s∈Sp+q
No seguinte, veremos as propriedades de anti-comutatividade e associatividade do produto exterior.
Vp
Vq
Vr
Proposição 1.8. Sejam ω ∈
E, ϑ ∈
E eβ∈
E. então:
i) ω ∧ ϑ = (−1)pq ϑ ∧ ω (anti-comutatividade)
ii) ω ∧ (ϑ ∧ β) = (ω ∧ ϑ) ∧ β (associatividade)
Demonstração. A parte i) segue diretamente definiç ão de produto exterior
e da parte ii) da proposição 1.7.
Para parte ii) usaremos a parte i) da proposição 1.7. Com efeito, usando a
definiç ão de produto exterior e que a(ω ⊗ a(ϑ ⊗ β)) = (q + r)!a(ω ⊗ (ϑ ⊗ β))
obtemos
ω ∧ (ϑ ∧ β)
=
1
p!(q+r)! a(ω
=
1
1
p!(q+r)! q!r! a(ω
=
1
p!q!r! a(ω
⊗ (ϑ ∧ β))
⊗ a(ϑ ⊗ β)) =
1
1
p!(q+r)! q!r! (q
+ r)!a(ω ⊗ (ϑ ⊗ β))
⊗ (ϑ ⊗ β)) = (ω ∧ ϑ) ∧ β.
Proposição 1.9. Sejam ω1 , . . . , ωp ∈ E ∗ e v1 , . . . , vp ∈ E. então
ω1 ∧ · · · ∧ ωp (v1 , . . . , vp ) = det[ωi (vj )].
Demonstração. Isto segue aplicando a definiç ão de produto exterior. Com
efeito,
X
ω1 ∧ · · · ∧ ωp (v1 , . . . , vp ) =
(s)ω1 (es(1) ) · · · ωp (es(p) ) = det[ωi (vj )].
s∈Sp
Definição 1.9. Uma p-forma exterior α sobre um espaço vetorial E é dita
decomponı́vel se existem formas lineares ω1 , . . . , ωp ∈ E ∗ tais que
α = ω1 ∧ · · · ∧ ωp .
Veremos que toda p-forma exterior é combinaão linear de p-formas decomponı́veis.
Proposição 1.10. Seja B = {v1 , . . . , vn } uma uma base para o espaço
K-vetorial E e seja B ∗ = {v1∗ , . . . , vn∗ } sua base dual. então
p
^
B := {vi∗1 ∧ · · · ∧ vi∗p , 1 ≤ i1 ≤ · · · ip ≤ n}
forma uma base para o espaço de p-formas
Vp
E.
Demonstração. Com efeito, para toda p-upla (i1 , . . . , ip ) e (j1 , . . . , jp ) de
sequências crecentes de números {1, . . . , n}, temos o seguinte
vi∗1 ∧ · · · ∧ vi∗p (vj1 , . . . , vjp ) =

 1

Isto mostra que se α ∈
α=
Vp
0
se i1 = jr
para todo r
caso contrário.
E então existem fi1 ,...,ip ∈ K tais que
X
fi1 ,...,ip vi∗1 ∧ · · · ∧ vi∗p .
1≤i1 ≤···≤ip
1.3.4
Álgebra de Grassman
Seja E um K-espaço vetorial de dimensão n. Considere o seguinte Kespaço vetorial
2
n
^
^
^
E =K⊕E⊕
E ⊕ · · · ⊕ E.
V
Pn
V
Temos que dimK ( E) = i=0 ni = 2n e que cada elemento Ω ∈ E, pode
Vi
ser escrito, de modo único, como soma Ω = ω0 + ω1 + · · · + ωn , ωi ∈
E,
V0
V1
i = 0, . . . , n. Lembre que
E = K e que
E = E.
V
Colocaremos um produto em E em termos do produto exterior. Tal
produto dará a este espaço uma estrutura de ágebra graduada, anti-comutativa,
associativa e com unidade, conhecida
de Grassmann. O proV
V como Álgebra
V
duto é uma aplicação (·) : E × E → E definido naturalmente da
31
1.3. CAMPOS DE VETORES E FORMAS HOLOMORFAS
seguinte forma: sejam Ω =
Ω·Θ
=
Pn
i=0
ωi e Θ =
Pn
i=0 θi ,
então
(ω0 + ω1 + · · · + ωn ) ∧ (θ0 + ω1 + · · · + θn )
= ω0 θ0 + (ω0 θ1 + ω1 θ0 ) + (ω0 θ2 + ω1 ∧ θ1 + ω2 θ0 ) + · · ·
=
n
X


X
ωi ∧ θj  .

r=0
i+j=r
Vi
Vj
Vi+j
V
Com este produto vemos que ( E)·( E) ⊂
E, ou seja, o espaço E
é uma ágebra graduada. Além disso, segue das propriedades
de associativiV
dade e anti-comutatividade do produto exterior que E é anti-comutativa
e associativa.
Definição 1.10. Uma sequência de aplicações lineares entre espaços vetoriais
ϕ
ψ
E −→ F −→ G
é dita exata se Ker(ψ) = Im(ϕ).
1.3.5
Produto interior ou contração
Seja ω uma p-forma exterior sobre um espaço vetorial E. Para cada
vetor υ ∈ E definimos a seguinte aplicação linear
iυ :
p
^
E −→
p−1
^
E
definida por iυ (ω) : (e1 , . . . , ep−1 ) 7−→ ω(υ, e1 , . . . , ep−1 ).
Definição 1.11. O aplicação linear iυ é chamado produto interior ou contração .
Veremos como opera o produto interior com o produto exterior de formas
exteriores.
Teorema 1.3. Sejam ω ∈
Vp
E, θ ∈
Vq
E e v ∈ E. então
iv (ω ∧ θ) = (iv (ω)) ∧ θ + (−1)p ω ∧ (iv (θ)).
1.4
Equações diferenciais ordinárias e campos
de vetores
Um campo de vetores X num aberto V ⊂ Cn é uma aplicação que
associa cada ponto p ∈ V um operador X(p) agindo no espaço de funções
holomorfas definidas numa vizinhança de p , satisfazendo:
i) X(p) : O(V ) → O(V ) é C-linear
ii) X(p)(f ◦ g) = f (p)X(p)(g) + g(p)X(p)(f ) , para todo f, g ∈ O(V ).
Uma aplicação X(p) : O(V ) → O(V ) satisfazendo i) e ii) acima é chamado
de deviração. Podemos escrever
!
n
n
X
X
∂
∂f
X(f ) = iX df = df (X) =
=
Pi
(f ).
Pi
∂zi
∂zi
i=1
i=1
Considere uma equação diferenciável ordinária (EDO) complexa da forma
dz1
= P1 (z1 , . . . , zn )
dt
..
.
dzn
= Pn (z1 , . . . , zn ),
dt
onde P1 , . . . , Pn são polinmios em n variávies complexas.
Uma aplicação holomorfa γ : U ⊂ C → Cn é uma solução do sistema
acima se
dγ(t)
= (P1 (γ(t)), . . . , Pn (γ(t)))
dt
para todo t ∈ U. O teorema de existência e unicidade para EDO’s complexas
(19) garante a existencia de soluções para sistemas polinomiais. Seja γ :
U ⊂ C → Cn uma solução com γ(0) = p e γ 0 (0) = (P1 (γ(0)), . . . , Pn (γ(0))).
Temos a a devivação em p dada por
!
n
n
X
X
d(f ◦ γ(t))
∂f
∂
Xp =
)|t=0 =
Pi (γ(0))
=
Pi (γ(0))
(f ).
dt
∂zi
∂zi
i=1
i=1
Portanto, a cada EDO complexa podemos associar um campo de vetores
X=
n
X
i=1
Pi
∂
.
∂zi
1.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E CAMPOS DE VETORES
1.4.1
33
p-formas e p-vetores diferenciais
Uma p-forma holomorfa num aberto U ⊂ Cn é uma aplicação holomorfa
n
ω : U ⊂ C −→
p
^
(Cn )∗ .
Toda p-forma holomorfa pode ser escrito como
X
ω=
fi1 ,...,ip dzi1 ∧ · · · ∧ dzip ,
1≤i1 <···<ip ≤n
Vq
onde fi1 ,...,ip ∈ O(U ) . Denotaremos por
(U ) o espaço de q-formas holomorfas definidas no aberto U ⊂ Cn .
P
Definição 1.12. Seja ω = 1≤i1 ≤···≤ip fi1 ,...,ip dzi1 ∧· · ·∧dzip uma p-forma
holomorfa. A diferencial exterior de ω é a (p + 1)-forma holomorfa dada
por
X
dω :=
dPi1 ,...,ip ∧ dzi1 ∧ · · · ∧ dzip ,
1≤i1 <···<ip ≤n
onde dPi1 ,...,ip =
Pn
j=1
∂Pi1 ,...,ip
∂zj
dzj .
Vimos na seção o pull-Back de formas exteriores. Podemos analogamente definir o pull-back de formas holomorfas. Com efeito, considere uma
aplicaçào holomorfa ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm ) : U ⊂ Cn −→ V ⊂ Cm e uma
p-forma holomorfa
θ=
X
fi1 ,...,ip dzi1 ∧ · · · ∧ dzip ∈
p
^
(V ).
1≤i1 <···<ip ≤n
O pull-back de θ por ϕ é por definição a p-forma em U ⊂ Cn dada por
X
ϕ∗ θ :=
(fi1 ,...,ip ◦ ϕ)dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕip ,
1≤i1 <···<ip ≤n
Proposição
1.11. V
Seja F : U ⊂ Cn −→ V ⊂ Cm uma aplica¸ ao holomorfa
Vq
p
eω∈
(V ) e θ ∈
(V ). Então:
Vq
i) f ∗ (ω ∧ θ) = f ∗ ω ∧ f ∗ θ ∈
(M );
ii) df ∗ (ω) = f ∗ (dω);
iii) d2 (ω) = 0;
iv) d(ω ∧ θ) = dω ∧ θ + (−1)pq ω ∧ dθ
Demonstração. Deixamos a cargo do leitor como exercı́cio.
Um p-campo de vetores holomorfo definido num aberto U ⊂ Cn é uma
aplicação holomorfa
p
^
υ : U ⊂ Cn −→
Cn
que por sua vez pode ser escrito da forma
X
υ=
gi1 ,...,ip
1≤i1 ≤···≤ip
∂
∂
∧ ··· ∧
,
∂zi1
∂zip
com gi1 ,...,ip ∈ O(U ). Portanto um 1-campo de vetores é simplesmente um
campos e vetores como definimos acima.
1.5
Exercı́cio
1 Sejam ω ∈ Lp (F ), ϑ ∈ Lq (F ) e T : E → F uma aplicação linear, então:
a) T ∗ (a(ω)) = a(T ∗ ω)
b) T ∗ (ω ⊗ ϑ) = T ∗ (ω) ⊗ T ∗ (ϑ).
Vp
V1
2 Sejam ω ∈
E eϑ∈
(E). Mostre que
X
(ω∧ϑ)·(e1 , . . . , ep+1 ) =
(−1)i−1 ω(ei )ϑ(e1 , . . . , ei−1 , ebi , ei+1 , . . . , e(p+1) ).
1≤i≤p+1
3 Sejam ω ∈
Vp
E eϑ∈
Vp
(∧) :
(E). Mostre que a aplicação produto exterior
Vp
E×
(ϑ, ω)
Vp
(E) −→
7−→
Vp+q
(E)
ω∧ϑ
é bilinear.
4 . Seja F : V × · · · × V −→ W, uma aplicação r−linear. Mostre as
equivalências:
a) F é alternada
b) F (v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vr ) = −F (v1 , . . . , vi+1 , vi , . . . , vr )
c) F (v1 , . . . , v, v, . . . , vr ) = 0
35
1.5. EXERCÍCIO
5 . Sejam v1 , . . . , vn ∈ V n+1 . Mostre que v1 ∧ · · · ∧ vn = 0 se, e somente se,
v1 , . . . , vn são linearmente dependentes.
Vp
Vq
6 . Sejam ω ∈
(F ), ϑ ∈
(F ) e T : E → F uma aplicação linear, então
T ∗ (ω ∧ ϑ) = (T ∗ ω) ∧ (T ∗ ϑ).
7 . Sejam v1 , . . . , vn ∈ Rn+1 linearmente independes. O paralelep’ipedo
formado por v1 , . . . , vn é o conjunto compacto dado por
P(v1 , . . . , vn ) = {a1 v1 + · · · + an vn ∈ Rn+1 ; 0 ≤ ai ≤ 1}.
p
O volume de P(v1 , . . . , vn ) é igual a det(g), onde g = (hvi , vj i) é a
chamada matriz de Gram. Mostre que :
a) vol(P(v1 , . . . , vn )) = kv1 ∧· · ·∧vn k, onde k·k é a norma euclidiana
de Rn+1 .
b) v1 ∧ · · · ∧ vn é perpendicular a todos os vi .
c) det(v1 ∧ · · · ∧ vn , v1 , . . . , vn ) > 0 se v1 , . . . , vn forem linearmente
independentes.
8 . Seja V um espaço vetorial de dimensão 4 e {v1 , . . . , v4 } uma base. Seja
A = (aij ) uma matriz anti-simétrica. Defina
ϑ=
X
aij vi ∧ vj .
i<j
Mostre que ϑ ∧ ϑ = 0 ⇔ det(A) = 0.
9 . Sejam
Vn T : E −→ E uma aplicação linear, com dimK E = n e det(E) :=
E. Como já foi visto a aplicação T induz por, pull-back, uma
aplicação linear
T ∗ : det(E) −→ det(E).
NesteVcaso, como dimK (det(E)) = 1 temos que T ∗ = λ(T )T para todo
n
T ∈
E. Mostre que λ(T ) = det(T ). Usando isto conclua que se
ω1 , . . . , ωn ∈ E ∗ então
T ∗ ω1 ∧ · · · ∧ T ∗ ωn = det(T )ω1 ∧ · · · ∧ ωn .
10 . Seja {v1 , . . . , vr } uma base para um subespaço linear S ⊂ E, onde
dimK E = n.
a) Mostre que S = {u ∈ E; u ∧ v1 ∧ · · · ∧ vr = 0}.
b) Mostre que o conjunto V = {u∧v1 ∧· · ·∧vr ; u ∈ E} tem dimensão
Vr+1
n − r em
E.
c) Defina ϑ = (v1 ∧ · · · ∧ vr ) e considere a aplicação (∧ϑ) : E −→
Vr+1
E definida por (∧ϑ)(u) = u∧v1 ∧· · ·∧vr . Se i : S −→ E é a
inclusão de S em E, conclua que a sequência de espaços vetoriais
i
∧ϑ
0 −→ S −→ E −→ V −→ 0.
é exata.
Vr
Vr+s
11 . Dados ω ∈ V E e θ ∈
E, dizemos que ω é divisı́vel por θ se
r
existe α ∈
E tal que θ = ω ∧ α. Mostre que uma (r + 1)-vetor
Vr+1
ω∈
E é divisı́vel por θ ∈ E se, e somente se, ω ∧ θ = 0.
12 . Sejam v1 , v2 , . . . , v2p−1 , v2p são vetore s linearmente independentes no
espaço vetorial E. Pondo ϑ = v1 ∧ v2 + v3 ∧ v4 · · · + v2p−1 ∧ v2p , prove
que
ϑp
= v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ v2p ,
p!
onde ϑp = ϑ
· · ∧ ϑ}.
| ∧ ·{z
p−vezes
13 . Sejam u, v ∈ E e λ ∈ K. Prove as seguintes propriedades:
i) iu+v = iu + iv e iau = aiu (linearidade)
ii) iu iv = −iv iu (anti-simetria)
iii) i2u = 0.
14 . Seja FV: U ⊂ Cn −→ V ⊂ Cm uma aplica¸ ao holomorfa e ω ∈
p
eθ∈
(V ). Então:
Vq
i) f ∗ (ω ∧ θ) = f ∗ ω ∧ f ∗ θ ∈
(M );
ii) df ∗ (ω) = f ∗ (dω);
iii) d2 (ω) = 0;
iv) d(ω ∧ θ) = dω ∧ θ + (−1)pq ω ∧ dθ
Vq
(V )
Capı́tulo 2
Integrabilidade algébrica
para campos polinomiais
Vamos neste capı́tulo estudar teorema de integrabilidade algébrica de
Darboux-Jouanolou. Buscamos condiçø es para a existência de uma integral
primeira racional para campos de vetores polinomiais em Cn . A demonstração que apresentaremos, da versão para campos, será a do artigo (8). J.
Llibre e Zhang em (22) mostraram esse resultado usando técnicas diferentes.
Provaremos o seguinte teorema:
Teorema 2.1. Seja X um campo de vetores polinomiais em Cn de grau d.
Se X admite
d+n−1
+n
n
hipersuperfı́cies algébricas irredutı́veis invariantes, então X admite uma integral primeira racional.
Este Teorema nos diz, em particular, que se o campo não admite integral
primeira racional então o numero de hipersuperficies algébricas invariantes
é no máximo
d+n−1
+ n.
n
Esta cota está longe de ser otimal. Porém, se fixarmos o grau das hipersuperfı́ceis invariantes podemos encontrar uma cota melhor usando um
método introduzido por Jorge Vitório Pereira em (26) chamada de hipersuperfı́ceis extacticas. Conceito de extacticas também foi explorado pelo
matemáfico russo Lagutinskii (11), portanto chamamos tal teoria de teoria
de integrabilidade de Lagutinskii-Pereira.
No caso de hiperplanos invariantes veremos que tal cota é atingida.
O segundo resultado deste capt́itulo será o seguinte:
Teorema 2.2. Seja X um campo polinomial em Cn de grau d. Suponha
que X não admite integral primeira racional. Então o número de hipersuperfı́cies irredutı́veis invariantes por X, de grau k, é no máximo
n+k
1 n+k
k
+
(d − 1).
k
k
2
Em particular, o campo X admite no máximo
n+1
(d − 1) + n + 1.
2
(2.0.1)
hiperplanos invariantes. Além disso, essa cota é otimal.
2.1
Teorema de Darboux-Jouanolou
Um campo de vetores polinomiais em Cn de grau d é da forma
n
X
i=1
Pi
∂
∂zi
onde Pi ∈ C[z] e d = max{deg(Pi ), i = 1, ..., n}. Escreveremos por simplicidade C[z] ao invés de C[z1 , . . . zn ].
Definição 2.1. Sejam V (f ) uma hipersuperfı́cie algébrica em Cn e X
um campo de vetores polinomiais. Dizemos que V é invariante por X se
df (X)(p) = 0 para todo p ∈ V . Em particular, vale df (X) ∈ I(V ).
A invariância de V por X significa que X(p) ⊂ Tp Vreg , onde Vreg =
V \ Sing(V ) é a parte regular de V . Isto é, as órbitas do campo estão
inteiramente contidas em V . Isso justifica o termo invariância pois V é
invariante pelo fluxo do campo.
Proposição 2.1. Sejam V = {f = 0} uma hipersuperfı́cie irredutı́vel em
Cn e X um campo de vetores polinomiais invariantes de grau d. Então ,
V é invariante por X se, e somente se, existe um polinômio hf ∈ C[z], de
grau no máximo d − 1, tal que X(f ) = hf f .
2.1. TEOREMA DE DARBOUX-JOUANOLOU
39
Demonstração. Esta proposição é uma consequência do teorema dos zeros
de Hilbert. Com efeito, a invariância implica em df (X) ∈ I(V ).
Exemplo 2.1 (Formula de Euler). Suponha que V = {f = 0} é tal que
f é um polinômio homogêneo de grau k. Então vale a seguinte fórmula
conhecida como formula de Euler
z1
∂f
∂f
+ · · · + zn
= kf.
∂z1
∂zn
Isto nos diz que toda hipersuperficie algébrica homogênea é invariante pelo
campo radial
∂
∂
+ · · · + zn
.
R = z1
∂z1
∂zn
Definição 2.2. Seja R = P/Q ∈ C(z1 , ..., zn ) uma função racional. Considere o pencil de hipersuperfı́cies induzido por R dado por {P − λQ = 0}λ∈C .
Dizemos que R é uma integral primeira racional para X se
Vλ = {P − λQ = 0}
é invariante por X para todo λ ∈ C.
Corolário 2.1. Seja R uma função racional. Então R é uma integral
primeira racional para X se, e somente, se X(R) ≡ 0
Demonstração. Segue diretamente da proposição 2.1.
Proposição 2.2. Seja X =
n
X
Pi
i=1
∂
e considere a n-forma η1 ∧ ... ∧ ηn .
∂zi
Então
iX (η1 ∧ ... ∧ ηn ) =
n
X
(−1)i−1 Pi η1 ∧ ... ∧ ηˆi ∧ ... ∧ ηn .
i=1
Onde ηˆi significa a omissão do termo ηi .
Lema 2.1. Seja X um campo de vetores polinomiais em Cn e η1 , ..., ηn
1-formas racionais tais que ηi (X) = 0 ∀i = 1, ..., n. Então η1 , ..., ηn são
C(z)-linearmente dependentes.
Demonstração. Suponha η1 , ..., ηn são C(z)-linearmente independentes. Então
existe uma função racional R 6= 0 tal que
η1 ∧ ... ∧ ηn = Rdz1 ∧ ... ∧ dzn .
X
De fato, ηi =
Rij dzj , onde Rij ∈ C(z). Fazendo o produto exterior de
η1 , ..., ηn , temos
η1 ∧ ... ∧ ηn = Rdz1 ∧ ... ∧ dzn , onde R = det[Rij ].
Contraindo η1 ∧ ... ∧ ηn na direção de X =
n
X
i=1
Pi
∂
resulta
∂zi
iX (η1 ∧...∧ηn ) = iX (η1 ) ∧ (ηb1 ∧ η2 ∧ ... ∧ ηn ) +(−1)1 η1 ∧iX ((ηb1 ∧ η2 ∧ ... ∧ ηn )) .
{z
}
{z
}
|
|
0
(∗)
Observe que (*) será igual a zero. Utilizando a linearidade da contração
temos
(iX Rdz1 ∧ ... ∧ dzn ) = RiX (dz1 ∧ ... ∧ dzn ).
Daı́
RiX (dz1 ∧ ... ∧ dzn ) = 0 ∀i = 1, ..., n.
Como R 6= 0 e utilizando a proposição 2.2 , temos
(dz1 ∧ ... ∧ dzn )(X) = 0 ⇔
n
X
ci ∧ ... ∧ dzn = 0.
(−1)i−1 Pi dz1 ∧ ... ∧ dz
i=1⇒
Isto significa, que
P1 = ... = Pn = 0.
Isto é, X ≡ 0. Absurdo.
Prova do Teorema 2.1
Demonstração. Denote por Cd−1 [z] o espaço vetorial dos polinômios de grau
no máximo d − 1. Como vimos a dimensão de Cd−1 [z] é dada por
d−1+n
dimC Cd−1 [z] = N :=
.
n
Sejam f1 , ..., fN +n equações definindo hipersuperfı́cies irredutı́veis invariantes por X. Segue da proposição 2.1 que
dfj
(X) = hfj ∈ Cd−1 [z], j = 1, ..., N + m.
fj
2.1. TEOREMA DE DARBOUX-JOUANOLOU
41
Como N = dimC (Cd−1 [z]) seguem as seguintes relações
N
+i
X
λij hfj = 0, i = 1, ..., n,
(2.1.2)
j=i
onde λij ∈ C. Além disso, podemos supor que λii 6= 0. Defina as 1-formas
racionais
ηi =
N
+i
X
λij
j=i
dfj
, i = 1, ..., n.
fj
Denotemos por |ηi |∞ o conjunto de polos de ηi . Por construção
|ηi |∞ ⊂
N
+i
[
{fj = 0}.
j=i
Contraindo na direção de X e usando (2.1.2) temos
ηi (X) =
N
+i
X
j=i
N
+i
X
dfj
(X) =
λij hfj = 0; i = 1, ..., n.
λij
fj
j=i
Segue do lema (2.1) que as 1-formas invariantes racionais η1 , ..., ηn são
linearmente dependentes sobre as funções racionais C(z). Seja V o espaço
C(z)-linear gerado por {η1 , ..., ηn }. Suponha que dimC(z) V = k e que
V = hη1 , ..., ηk iC(z) .
Existem funções racionais R1 , ..., Rk ∈ C(z), tais que
ηn+1 = R1 η1 + ... + Rk ηk .
(2.1.3)
Diferenciando a equação (2.1.3) resulta
0 = dR1 ∧ η1 + ... + dRk ∧ ηk ,
pois dηi =
N
+i
X
j=i
λij d(
dfj
) = 0. Contraindo por X temos
fj
0 = X(R1 )η1 + ... + X(Rk )ηk
Assim X(Ri ) = 0, para todo i = 1, ..., k. Isto é, as funções racionais
Ri , i = 1, ..., k, ou são integrais primeiras para o campo de vetores X ou são
constantes. Resta observar que pelo menos uma função racional Ri é não
constante. Se Ri , para todo i = 1, ..., k, é constante segue de (2.1.3) que
|R1 η1 + ... + Rk ηk |∞ = |ηn+1 |∞ .
Mas
k
[
{fi = 0} ⊂ |R1 η1 + ... + Rk ηk |∞ e
i=1
k
[
{fi = 0} 6⊂ |ηn+1 |∞ ,
i=1
uma contradição.
2.2
Integrabilidade algébrica de LagutinskiiPereira
O teorema de Darboux-Jounolou nos diz, em particular, que se o campo
não admite integral primeira racional então o numero de hipersuperficies
algébricas invariantes é no máximo
d+n−1
+ n.
n
Esta cota está longe de ser otimal. Porém, se fixarmos o grau das hipersuperfı́ceis invariantes podemos encontrar uma cota melhor usando um a
teoria de integrabilidade algébrica de Lagutinskii-Pereira.
Neste capitulo, exploraremos este conceito dando um outro critério para
existência de integrais primeiras racionais. Em particular, obtemos uma
cota otimal para o numero de hiperplanos invariantes.
Definição 2.3. Se X é um campo de vetores em Cn . O r-ésimo polônomio
extactico de X é dado por


v1
v2
···
vl
 X(v1 )
X(v2 )
...
X(vl ) 


En (X) = det 
(2.2.4)

..
..
..


.
.
···
.
X l−1 (v1 ) X l−1 (v2 ) · · · X l−1 (vl )
onde v1 , v2 , · · · , vl é uma base de Cr [z], o C-espaço vetorial dos polinômios
de grau no máximo r, e l = dim Cr [z], X 0 (vi ) = vi e X j (vi ) = X j−1 (X(vi )).
A Hipersuperficie dada pelos zeros do polinomio extactico {En (X) = 0} é
chamada de r-ésima Hipersuperficies extactica de X.
Deixamos a cargo do leitor mostrar que a definição de Hipersuperficies
extactica independe da escolha de base. Observe que se o campo for o
2.2. INTEGRABILIDADE ALGÉBRICA DE LAGUTINSKII-PEREIRA
campo constante X =
C[t] o determinante
∂
∂t
43
e v1 , v2 , · · · , vl são polinômios em uma variavel

v1
v10
..
.


det 

(l−1)
v1
v2
v20
..
.
(l−1)
v2
···
...
···
···
vl
vl0
..
.
(l−1)





(2.2.5)
vl
é o wronskiano W (v1 , . . . , vr ) das funções v1 , . . . , vr .
Proposição 2.3. Toda curva algébrica de grau r invariante pelo campo de
vetores X é um fator de Er (X).
Demonstração. Seja {f = 0} uma hipersuperficie algébrica invariante por
X e de grau r. Como a definição de hipersuperficie extactica é independente
da escolha da base de Cn [z], tomamos v1 = f . A condiçào de invariância
implica que X i (f ) = hi f para todo i, onde hi ∈ C[z]. Dessa forma, temos
f um fator de Er (X) pois f divide todo elemento na primeira coluna da
matriz correspondente.
Teorema 2.3. Seja X um campo de vetores em Cn . Então Er (X) = 0 e
Er−1 (X) 6= 0 se, e somente se, X admite uma integral primeira racional.
Demonstração. Suponha que R =
P
Q
seja uma integral primeira para X.
o
n
P
= λ com λ ∈ C, são hiperEntão as hipersuperficies de nı́vel de Q
superfı́cies invariantes por X. Pela proposição (2.3), elas são fatores da
extactica En (X). Como existem um número infinito destas curvas, temos
En (X) ≡ 0.
Reciprocamente, se En (X) ≡ 0 então as linhas da matriz extactica são
linearmente dependentes sobre o corpo da funções racionais C(z). Portanto,
existem funções racionais αi ∈ C(z) tais que
Nj :=
k
X
αi X j (vi ) = 0, j = 0, . . . , k − 1,
(2.2.6)
i=1
com k = dim Cr [z].
Agora, tome k o menor valor tal que existem funções racionais αi para
i = 1, . . . , k, não todas nulas, e vi ∈ Cr [z] para i = 1, . . . , k linearmente
independentes sobre C, tais que (2.2.6) vale. Sem perda de generalidade
podemos assumir que αk = 1.
Notemos que Nj+1 :=
k
X
αi X j+1 (vi ) = 0, j = 0, . . . , k − 2. Daı́
i=1
X(Nj ) − Nj+1
=
k
k
X
X
X(αi )X j (vi ) + αi X j+1 (vi ) −
αi X j+1 (vi )
i=1
=
k
X
i=1
X(αi )X j (vi ) = 0
j = 0, . . . , k − 2.
i=1
Da minimalidade de k, vemos que os termos X(αi ) são todos nulos. Portanto, cada um dos αi ou são uma integral primeira racional ou constantes.
Porém, se todos os αi são constantes, então
N0 = α1 v1 + α2 v2 . . . + αk vk = 0
é uma relação não trivial em x e y que não é possı́vel. Assim, pelo menos
um dos αi será uma integral primeira racional do campo de vetores X.
O seguinte resultado, provado em (26) e (7), dá uma cota para o n´mero
máximo de hipersuperfı́ces invariantes de um grau fixado.
Teorema 2.4. Seja X um campo polinomial em Cn de grau d. Suponha
que X não admite integral primeira racional. Então o número de hipersuperfı́cies irredutı́veis invariantes por X, de grau k, é no máximo
1 n+k
n+k
k
+
(d − 1).
k
2
k
Em particular, se k = 1 vale
n+1
(d − 1) + n + 1.
2
(2.2.7)
Demonstração. Como X não admite integral primeira racional segue do
teorema 2.3 que Ek (X) é um polinômio não identicamente nulo e pela proposição 2.3 todas as hipersuperfı́ceis ,de grau no máximo k, estão contidas
em {Ek (X) = 0}.
Se f1 , . . . , fN são polinômios irredutı́veis, de grau no máximo k, definindo
as hipersuperfı́ces invariantes por X. Então, podemos escrever
Ek (X) = (f1 . . . fN )R.
Agora, calculando o grau temos
deg(f1 . . . fN ) =
N
X
i=1
deg(fi ) = kN.
(2.2.8)
45
2.3. EXERCÍCIOS
Por (2.2.8) vale
deg(Ek (X)) ≥ kN
(2.2.9)
Temos que
K
deg(Ek (X)) = Kk + (d − 1)
,
2
onde K =
n+k
k
. Portanto
(d − 1) K
.
N ≤K+
k
2
Exemplo 2.2. A cota do Teorema 2.4, no caso em que k = 1 é otimal. De
fato, o campo de vetores definido por
X=
deixa invariante as n +
zj = 0,
2.3
n
2
1 ≤ j ≤ n,
n
X
∂
.
zi zid−1 − 1
∂zi
i=1
(2.2.10)
(d − 1) hipersuperfı́cies
zid−1 − zjd−1 = 0,
1 ≤ i < j ≤ n.
(2.2.11)
Exercı́cios
1 . Demonstre a Proposição 2.2.
2 . Mostre que a hipersuperfı́cie extactica {Er (X) = 0} independe das
escolhas de base para Cr [z].
3 . Mostre que o o campo definido por
X=
n
X
i=1
deixa invariante as n +
zj = 0,
1 ≤ j ≤ n,
n
2
zi zid−1 − 1
∂
.
∂zi
(2.3.12)
(d − 1) hipersuperfı́cies
zid−1 − zjd−1 = 0,
1 ≤ i < j ≤ n.
(2.3.13)
Capı́tulo 3
O Problema de Poincaré
para hipersuperfı́cies
invariantes
Neste capı́tulo vamos considerar o problema de limitar o grau de uma
hipersuperfı́cie algébrica invariante em termos do grau do campo. Tal problema é conhecido atualmente como problema de Poincaré. Para isso, vamos demonstrar um teorema de caracterização de Zarisk-Esteves para campos polinomiais homogêneos que admitem uma hipersuperfı́cie algébrica homogênea não-singular fora de 0 ∈ Cn Em particular, mostraremos uma cota
otimal, reobtendo um resultado de M. Soares (31).
3.1
Complexo Koszul
Considere f1 , . . . , fn ∈ C[z] e denotemos por f = (f1 , . . . , fn ). Vamos construir o complexo Koszul associado f . Seja {e1 , e2 , . . . en } base
canônica para Cn e definamos Ek espaço vetorial de k-vetores diferenciais com coeficientes polinomiais e com base eJ = ej1 ∧ · · · ∧ ejk , onde
J = (j1 , . . . , jk ) ⊂ (1, . . . , n). Note que E0 = C[z]. Definimos as seguintes
aplicações
dk : Ek → Ek−1
tais que
dk (eJ ) =
k
X
(−1)v−1 fjv ej1 ∧ · · · ∧ ec
jv ∧ · · · ∧ ejk .
v=1
Para k = 1, coloquemos d(ei ) = fi , para i ∈ {j1 , . . . , jk }.
Proposição 3.1. Para todo k, vale Im(dk ) ⊆ Ker(dk−1 ).
Definição 3.1. Definimos o complexo Koszul associado ao conjunto
de polinômios f1 , . . . , fn ∈ C[z] e o denotaremos por K(f ) como sendo a
sequência de aplicações
d
dk−1
d
d
1
2
k
OCn −→ 0.
E1 −→
K(f ) : · · · −→ Ek −→
Ek−1 −→ · · · −→
Dizemos que o complexo de Koszul é exato se Ker(dk−1 ) = Im(dk ),
para todo k.
∂
Como podemos identificar ei com os campos constantes ∂z
, o mapa
i
acima pode ser reescrito como
dk (∂J ) =
k
X
v=1
(−1)v−1 fjv
d
∂
∂
∂
∧ ··· ∧
∧ ··· ∧
.
∂zj1
∂zjv
∂zjk
Para nosso propósito os mapas
∂
∂
∂
∂
∧
− fj
,
= fi
d2
∂zi ∂zj
∂zj
∂zi
(3.1.1)
e d1 ( ∂z∂ j ) = fj , irão desempenhar um papel fundamental. De fato, suponha
que X ∈ E1 = C[z]⊕n é tal que d1 (X) = 0, ou seja, X ∈ Ker(d0 ). Se a
sequência de Koszul for exata, então X ∈ Ker(d0 ) = Im(d1 ). Isto implica
que podemos escrever
X
∂
∂
X=
Pi,j fi
− fj
,
(3.1.2)
∂zj
∂zi
i<j
onde Pi,j ∈ C[z].
O próximo teorema será fundamental para a demonstração do teorema
principal deste capı́tulo.
Teorema 3.1. (12, Apêndice A2.6) Se {f1 = · · · = f0 = 0} = {0}, então
o complexo de Koszul K(f ) associado a (f1 , . . . , fn ) é exato.
3.2. DEMONSTRAÇÃO DE ZARISK-ESTEVES
3.2
49
Demonstração de Zarisk-Esteves
Seja V = {f = 0} uma hipersuperfı́cie algébrica homogênea, de grau k,
não-singular fora da origem 0 ∈ Cn . Um campo X deixa V invariante se, e
somente
∂f
∂f
P1
+ · · · + Pn
= hf
(3.2.3)
∂z1
∂zn
para algum h ∈ C[z]. Podemos sempre construir campos que deixam V
invariante, dado por
n
X
∂f ∂
∂f ∂
hX ∂
Pi,j
−
+
zi
,
(3.2.4)
∂zi ∂zj
∂zj ∂zi
k i=1 ∂zi
i<j
com Pi,j , h ∈ C[z]. O seguinte Teorema, devido a Eduardo Esteves, prova
que vale a recı́proca.
Teorema 3.2 (Zarisk-Esteves). Seja V = {f = 0} uma hipersuperfı́cie
algébrica homogênea, de grau k, não-singular fora da origem 0 ∈ Cn . Se X
é um campo homogêneo que deixa V invariante, então
n
X
∂F ∂
hX ∂
∂F ∂
zi
−
+
,
X=
Pi,j
∂zi ∂zj
∂zj ∂zi
k i=1 ∂zi
i<j
onde Pi,j , h ∈ C[z] são polinômios homogêneos.
Pn
∂
Demonstração. Temos que X = i=1 Pi ∂z
, onde Pi ∈ C[z] são polinoômios
i
homogêneos. Pela fórmula de Euler temos
kf = z1
∂f
∂f
+ · · · + zn
.
∂z1
∂zn
(3.2.5)
Por outro lado, pela invariância temos
hf = P1
∂f
∂f
+ · · · + Pn
∂z1
∂zn
(3.2.6)
para algum polinômio homogêneo h ∈ C[z]. Subtraindo as equações (3.2.5)
e (3.2.6) e multiplicando por h obtemos a relação polinomial
G1
∂f
∂f
+ · · · + Gn
= 0,
∂z1
∂zn
(3.2.7)
where Gi := Pi − (h/k)zi para i = 1, . . . , n. A identidade (3.2.7) diz que o
campo
n
hX ∂
X0 = X −
zi
k i=1 ∂zi
satisfaz d0 (X 0 ) = 0, ou seja, X 0 ∈ Ker(d0 ), onde d0 é o opertador do
∂f
∂f
, · · · , ∂z
). Como o conjunto singular
complexo de Koszul associado a ( ∂z
1
n
da hipersuperfı́cie , por hipótese, consiste de
∂f
∂f
= ··· =
= 0 = {0}
∂z1
∂zn
segue do teorema 3.1 que o complexo de Koszul associado é exato. Portanto
n
X
∂F ∂
∂F ∂
hX ∂
zi
=
Pi,j
−
X0 = X −
k i=1 ∂zi
∂zi ∂zj
∂zj ∂zi
i<j
com Pi,j , ∈ C[z] polinômios homogêneos.
Teorema 3.3. Seja V = {f = 0} uma hipersuperfı́cie algébrica homogênea,
de grau k, não-singular fora da origem 0 ∈ Cn . Seja X é um campo homogêneo, de grau d, que deixa V invariante. Suponha Sing(X) não contém
uma hipersuperfı́cie, então k ≤ d + 1.
Demonstração. Pelo Teorema 3.2 o campo X é da forma
n
X
∂F ∂
∂F ∂
hX ∂
Pi,j
−
zi
,
X=
+
∂zi ∂zj
∂zj ∂zi
k i=1 ∂zi
i<j
onde Pi,j , h ∈ C[z] são polinômios homogêneos.
Como X 6= 0, temos que Pi,j 6= 0 para certos i, j. Caso contrário,
terı́amos
n
hX ∂
X=
zi
.
k i=1 ∂zi
Que implicaria que {h = 0} ⊂ Sing(X). Isso contradiz a hipótese que
Sing(X) não contém uma hipersuperfı́cie.
Se o campo X tem grau m, vale que deg Pi,j = m − d + 1. Por outro
lado, como deg Pi,j ≥ 0, conclumos que d ≤ m + 1.
3.3
Exercı́cios
Considere campo polinomial
X(p,q) = px
∂
∂
+ qy
∂x
∂y
com p 6= q inteiros positivos. Mostre que a curva singular C = {y p −xq = 0}
é invariante por X. Portanto, {X(p,q) } exibe uma famı́lia infinita de campos
de grau um com curvas invariantes singulares de grau arbitrário maior que
um.
Capı́tulo 4
Hipersuperfı́cies
invariantes por
endomorfismos
polinomiais
S. Cantat em (3) provou uma versão dinâmica discreta do teorema de
Darboux-Jouanolou-Ghys. Mais precisamente, ele prova que um endomorfismo holomorfo de uma variedade complexa compacta preserva uma
fibração meromorfa não trivial se, e somente se, possui infinitas hipersuperfı́cies totalmente invariantes. Neste capı́tulo vamos apresentar uma
adaptação direta desse teorema para endomorfismos polinomiais em Cn .
Tal adaptação pode ser encontrada na dissertação de mestrado de Vinicius
Reis.
Vamos demonstrar o seguinte teorema:
Teorema 4.1. Seja f um endomorfismo polinomial de Cn . Se existem k
hipersuperfı́cies totalmente invariantes com
k > n,
então existem uma função racional não constante Φ e um número complexo
não nulo α tal que Φ ◦ f = αΦ.
O endomorfismo f preserva o pencil de hipersuperfı́cies induzido pela
função racional Φ. De fato, escreva Φ = P/Q e considere o pencil de
hipersuperfı́cies induzido por Φ dado por
Vλ = {P − λQ = 0}λ∈C
Dado z ∈ Vλ , então
Φ(z) = P (z)/Q(z) = λ apara todo z ∈ Vλ
Como Φ ◦ f = αΦ, com α 6= 0, temos que
(Φ ◦ f )(z)
=
(αΦ)(z)
= αΦ(z)
P (z)
= α
Q(z)
= αλ.
Daı́, concluimos que Φ(f (z)) ∈ Vαλ . Isto mostra que f (Vλ ) ⊆ Vαλ . Portanto, os nı́veis da função racional Φ são preservadas por f.
4.1
Hipersuperfı́cies Totalmente Invariantes
Definição 4.1. Seja V (f ) uma hipersuperfı́cie com f ∈ C[z1 , . . . , zn ], dizemos que V é totalmente invariante por um endomorfismo polinomial G :
Cn −→ Cn se G−1 (V ) = V .
Proposição 4.1. Seja V uma hipersuperfı́cie totalmente invariante por um
endomorfismo G : Cn −→ Cn , então G(V ) = V .
Demonstração. Mostremos que G−1 (V ) = V ⇒ G(V ) = V . Vamos mostrar
que G(V ) ⊂ V . De fato, seja b ∈ G(V ), então existe a ∈ V tal que G(a) = b.
Como G−1 (V ) = V , temos G(a) ∈ V , ou seja, b ∈ V . O caso G(V ) ⊃ V
segue de forma análoga.
Definição 4.2. Uma aplicação contı́nua f : M → N é dita própria quando
a imagem inversa f −1 (K) de todo compacto K ⊂ N é um conjunto compacto.
Dizemos que um endomorfismo G : Cn −→ Cn preserva uma função
racional não constante Φ se existe um número complexo não nulo α tal que
Φ ◦ f = αΦ.
Teorema 4.2. (Teorema da aplicação própria). Seja f : U ⊂ Cn → Cn
uma aplicação polinomial e própria. Se V ⊂ U é uma variedade algébrica
irredutı́vel então f (V ) é uma variedade algébrica irredutı́vel.
4.1. HIPERSUPERFÍCIES TOTALMENTE INVARIANTES
53
Demonstração. Ver (17) pag.34.
Seja V = V1 ∪ . . . ∪ Vr uma hipersuperfı́cie, com Vj irredutivel, para todo
j = 1, . . . , r. Se G é um endomorfismo polinomial, tal que G(V ) = V . O
lema abaixo nos garantirá que para i, j = 1, . . . , r temos G(Vi ) = Vj . Isto é,
G envia componentes irredutı́veis de V em componentes irredutı́veis de V .
Lema 4.1. Toda aplicação polinomial homogênea é própria.
Demonstração. Mostremos
primeiramente que dada a aplicação
polinomial p = (p1 , ..., pn ) : Cn → Cn , pi homogêneo de mesmo grau d,
existem m e n tais que nkzkd ≤ kp(z)k ≤ mkzkd . Considere
m = sup{kp(z)k; kzk = 1} e n = inf{kp(z)k; kzk = 1}.
z
Note que kzk
∈ S(0, 1) esfera centrada na origem de raio 1. Daı́, usando a
homogeneidade de p resulta
z
nkzkd ≤ kp(z)k = kzkd kp( kzk
)k ≤ mkzkd .
Verifiquemos com isso que p é uma aplicação própria. Seja K um conjunto
compacto, e defina L = p−1 (K). Suponha por absurdo que L não é compacto. Temos que L é fechado, pois p é contı́nua. Resta mostrar que L é
limitado. Seja
q
d kzk+1
z0 ∈ L tal que kz0 k > supz∈K
,
m
como z0 ∈ p−1 (K) temos p(z0 ) ∈ K. Ainda
d
q
< kz0 kd ⇒ sup(kzk + 1) < kz0 kd m ≤ |p(z0 )|.
supz∈K d kzk+1
m
Absurdo, pois z0 ∈ p−1 (K).
Considere G um endomorfismo polinomial em Cn . Sejam V ⊂ Cn
uma hipersuperfı́cie totalmente invariante e V1 , ..., Vr suas componentes irredutı́veis. Como V é uma hipersuperfı́cie totalmente invariante, segue da
proposição 4.1 que
G(V ) = V .
Portanto,
G(V1 ∪ ... ∪ Vr ) = V1 ∪ ... ∪ Vr .
Utilizando o teorema da aplicação própria temos que G(Vi ) = Vj , para
i, j ∈ {1, ..., r}.
Proposição 4.2. Se V (f ) é uma hipersuperfı́cie irredutı́vel totalmente invariante, então
f ◦ G = λf k , λ ∈ C∗ .
Demonstração. Por definição
I(V ) = {g ∈ C[z1 , · · · , zn ] : g(z) = 0
∀z ∈ V }.
Dado p ∈ V , como V é totalmente invariante (f ◦ G)(p) = f (G(p)) = 0, ou
seja, (f ◦ G) ∈ I(V ). Pelo Teorema dos Zeros de Hilbert temos
√
(f ◦ G) ∈ I(V ) = I = hf i.
√
Como (f ◦ G) ∈ I(V ) = I = hf i segue que f ◦ G = hf . Pelo fato de
G−1 (V ) = V , teremos que hf se anula exatamente em V , e pela irredutibilidade de V segue que existe λ ∈ C tal que f ◦ G = λf k .
O próxido teorema de Fornæss e Sibony (14) nos diz que hipersuperficies
totalmente invariantes por endomorfismo G : Cn → Cn homogêneos, de grau
maior ou igual a dois e com G−1 (0) = {0}, estão contidas no conjunto de
pontos cŕiticos de G. Além disso, diz que o grau de uma hipersuperficie
invariante não ultrapassa n.
Teorema 4.3 (Fornaess-Sibony). Seja V (f ) uma hipersuperfı́cie irredutı́vel
totalmente invariante por um endomorfismo polinomial homogêneo G : Cn →
Cn de grau ≥ 2 e G−1 (0) = {0}. Então:
i) V (f ) está contida no conjunto de pontos crı́ticos de G.
ii) deg(V (f )) ≤ n.
Demonstração. Seja p ∈ V (f ). Agora, derivando a identidade f ◦ G = λf k
obtemos
D(f ◦ G)(p) = Df (G(p)) · DG(p) = λkf k−1 (p)Df (p) = 0.
Portanto dim ker(DG(p)) > 0, em particular det(DG(p)) = 0. Isto mostra
que V (f k−1 ) ⊂ V (det(DG)). Então f k−1 é um fator de det(DG(p)). O
resultado segue comparando os graus de f k−1 e de det(DG(p)) e usando
que o grau de det(DG) é (k − 1)n.
4.1. HIPERSUPERFÍCIES TOTALMENTE INVARIANTES
55
Proposição 4.3. Sejam f1 , . . . , fr ∈ C[z1 , . . . , zn ] polinômios irredutı́veis
cujo conjunto de zeros definem uma hipersuperfı́cie totalmente invariante
por um endomorfismo polinomial G : Cn −→ Cn . Então
G∗
dfi
dfj
= ri
,
fi
fj
onde j = k(i), k é uma permutação dos elementos {1, ..., r} e ri ∈ N para
todo i = 1, ..., r.
Demonstração. Como G(Vi ) = Vk(i) , segue da proposição 4.2 que
ri
, λ i ∈ C∗ .
fi ◦ G = λi fk(i)
Utilizando a propriedade do pullback G∗ d = dG∗ segue
ri −1
ri
) = λi ri fk(i)
dfk(i) .
d(fi ◦ G) = d(λi fk(i)
Logo
ri
ri −1
d(λi fk(i)
)
λi ri fk(i)
dfk(i)
ri dfk(i)
dfk(i)
d(fi ◦ G)
dfi
=
=
=
⇔ G∗
= ri
ri
ri
fi ◦ G
λi fk(i)
λi fk(i)
fk(i)
fi
fk(i)
Lema 4.2. Sejam f1 , ..., fr polinômios irredutı́veis. Então as 1-formas logarı́tmicas dfi /fi são linearmente independentes sobre C.
Demonstração. Com efeito, caso contrádio ter´amos uma relação
df1
df2
dfr
= λ1
+ · · · λr
,
f1
f2
fr
onde λ1 , . . . , λr são números complexos nem todos nulos. Contradição, pois
o conjuntos de pólos de df1 /f1 e λ1 (df2 /f2 ) + · · · λr (dfr /fr ) são difeferentes.
Considere o espaço vetorial E = hdfi /fi , i = 1, ..., riC . O Lema 4.2
garante que o espaço E tem dimensão r. Pela proposição 4.3 temos
G∗ : E
dfi
fi
−→
E
7−→ ri
dfj
.
fj
Temos pela proposição 4.3 que
G∗
dfj
dfi
= ri .
fj
fi
onde k : {1, ..., r} → {1, ..., r} é a permutação com k(j) = i. Isto nos diz
que o operador linear tem representação matricial

 ri , j = k(i);
[G∗ ] = [Gij ] =

0, j 6= k(i).
Daı́ concluimos que [G∗ ] é uma matriz permutação , em particular diagonalizável.
4.2
Demonstração do Teorema de Cantat para
Endomorfismos polinomiais
Agora estamos em condições de provar o teorema principal deste capı́tulo.
Teorema 4.4. Seja f um endomorfismo polinomial de Cn . Se existem k
hipersuperfı́cies totalmente invariantes com
k > n,
então existem uma função racional não constante Φ e um número complexo
não nulo α tal que Φ ◦ f = αΦ.
Demonstração. Defina a 1-forma racional ηi = dfi /fi com i = 1, ..., k. Como
f ∗ é diagonalizá vel, temos
f ∗ ηi = µi ηi , i = 1, ..., k,
(4.2.1)
onde µi ∈ C∗ .
Se f possui k > n hipersuperfı́cies totalmente invariantes, então ηi são
linearmente dependentes sobre o corpo de funções racionais em Cn .
De fato, por ser k > n então η1 ∧ . . . ∧ ηk = 0. Como η1 , . . . , ηk são
1-formas lineares sobre C(z1 , . . . , zn ) e η1 ∧ . . . ∧ ηk = 0, então elas são
linearmente dependentes.
Suponha que o espaÃo vetorial E sobre C(z1 , ..., zn ), gerado por η1 , ..., ηm
tenha dimensão igual a m. Temos então que
ηm+1 =
m
X
i=1
Ri ηi , Ri ∈ C(z1 , ..., zn ).
(4.2.2)
4.2. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE CANTAT PARA ENDOMORFISMOS
POLINOMIAIS
57
Pelo menos um dos Ri0 s é não constante pois pelo Lema 4.2, as 1-formas
ηi0 s são linearmente independentes sobre C.
Aplicando f ∗ na equação (4.2.2) e usando (4.2.1) segue
∗
f ηm+1 =
m
X
m
m
X
X
∗
f (Ri ηi ) =
(Ri ◦ f ).f ηi =
(Ri ◦ f ).µi ηi .
∗
i=1
i=1
(4.2.3)
i=1
Por outro lado
f ∗ ηm+1 = µm+1 ηm+1 .
(4.2.4)
Note que µm+1 6= 0. Caso contrá rio, terı́amos
0 = µm+1 ηm+1 = f ∗ η1 =
m
X
(Ri ◦ f ).µi ηi .
(4.2.5)
i=1
Isto contraria o fato de η1 , . . . , ηm serem linearmente independentes sobre
C(z1 , . . . , zn ), pois pelo menos um dos Ri é não constante. Daı́,
µm+1 ηm+1 =
m
X
(Ri ◦ f ).µi ηi .
(4.2.6)
i=1
Como µm+1 6= 0, segue, usando as equações (4.2.3) e (4.2.4)
ηm+1 =
m X
µi
(Ri ◦ f )ηi .
µm+1
(4.2.7)
i=1
Subtraindo (4.2.2) de (4.2.7), temos
Pm h
µi
i=1
µm+1
i
(Ri ◦ f ) − Ri ηi = 0.
Utilizando independência linear dos ηi0 s sobre C(z1 , ..., zn ) segue
µi
µm+1 (Ri
◦ f ) = Ri .
Obtendo assim o resultado esperado pois pelo menos uma das funções racionais Ri é não constante.
4.3
Exercı́cios
1 . Mostre que toda matriz da forma
[G∗ ] = [Gij ] =

 ri ,
j = k(i);
0,
j 6= k(i).

é diagonalizável.
2 . Considere a função racional em C3 dada por R(x, y, z) = x/y. O nı́veis
da função racional R é o pencil de planos
{x − λy = 0}.
Mostre que todo endomorfismo da forma G(x, y, z) = (P (x, y), Q(x, y), S(x, y, z)),
onde P, Q, S são polinomios homogêneos de mesmo grau, preservam
R(x, y, z) = x/y.
3 . Considere o endomorfismo
G : Cn
−→
Cn
(z1 , . . . , zn ) 7−→ (z1d , . . . , znd ).
Mostre que os hiperplanos {zi = 0} são totalmente invariantes por G
e que G não preserva uma função racional da forma P/Q, onde P e
Q são homogêneos de mesmo grau.
4 . Seja G = (g1 , . . . , gn ) : Cn −→ Cn endomorfismo polinomial dado por
gi (z1 , . . . , zn ) = z1d + λj z2d + · · · + λnj znd , i, j = 1, . . . , n,
Q
com λj ∈ C satisfazendo 1≤r<s≤n (λr − λs ) 6= 0. Mostre que o conjunto de pontos crı́ticos de G consiste de {0}. Aplique o Teorema 4.3
para concluir que G não admite nenhuma hipersuperfı́cie totalmente
invariante.
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