Grupo fundamental e espaços de recobrimento, ver˜ao 2011, Lista 1

Grupo fundamental e espaços de recobrimento, verão 2011, Lista 1
Professor: H. Bursztyn
Entrega dia 18/01
Problema 1: Sejam X, Y espaços topológicos, seja {Aj : j ∈ J} uma coleção de subespaços de
X tal que X = ∪j Aj . Suponha que fj : Aj → Y sejam aplicações contı́nuas (Aj com a topologia
relativa) tais que fi |Ai ∩Aj = fj |Ai ∩Aj , ∀i, j ∈ J. Considere a aplicação f : X → Y definida por
f |Aj = fj (observe que f está bem definida). Verifique que f é contı́nua em cada um dos seguintes
casos: (1) Todos os Aj são abertos; (2) Todos os Aj são fechados e J é finito.
Problema 2: Sejam X1 , X2 espaços topológicos e considere X1 × X2 (com a topologia produto);
denote por πi : X1 × X2 → Xi , i = 1, 2, as projeções naturais. Mostre que, para todo espaço
topológico Z, uma aplicação f : Z → X × Y é contı́nua se e somente se as componentes πi ◦ f são
contı́nuas. Mostre, ainda, que a topologia produto é a única topologia com essa propriedade.
Problema 3: Sejam X, Y espaços topológicos e π : X → Y aplicação sobrejetora. Mostre que
são equivalentes: (a) π é aplicação quociente; (b) Para todo espaço topológico Z, uma aplicação
f : Y → Z é contı́nua se e somente se f ◦ π é contı́nua.
Mostre ainda: Se π1 : X → Y1 e π2 : X → Y2 são aplicações quocientes tais que π1 (x) =
π1 (x0 ) ⇐⇒ π2 (x) = π2 (x0 ), então existe um único homeomorfismo f : Y1 → Y2 tal que f ◦ π1 = π2 .
Problema 4: Seja X espaço topológico. Mostre que X é Hausdorff se e somente se a diagonal
∆ = {(x, x) : x ∈ X} ⊂ X × X é fechada.
Problema 5: Seja X = (R × {0}) ∪ (R × {1}) ⊂ R2 . Considere a relação de equivalência dada
por (x, 0) ∼ (x, 1) se x 6= 0 e o espaço quociente X/ ∼. Mostre: (a) Todo ponto de X/ ∼ tem
vizinhança homeomorfa a um aberto de R; (b) O espaço X/ ∼ não é Hausdorff.
Problema 6: Seja f : X → Y aplicação contı́nua. Mostre que se X é conexo, então f (X) é conexo;
mostre que se X é compacto, então f (X) é compacto.
Problema 7: Um espaço topológico X é localmente conexo se para todo x ∈ X e vizinhança
aberta U 3 x, existe vizinhança aberta conexa V tal que x ∈ V ⊂ U .
Considere os subconjuntos de R2 dados por A = {0} × [−1, 1] e B = {(x, y) : x ∈ (0, 1], y =
sin(1/x)}. Mostre que X = A ∪ B é conexo, mas não é conexo por caminhos ou localmente conexo.
Determine as componentes conexas e as componentes conexas por caminhos de X.
Problema 8: Mostre que: (a) X compacto e A ⊂ X fechado =⇒ A compacto; (b) X Hausdorff
e A ⊂ X compacto =⇒ A fechado; (c) O quociente de um espaço compacto é compacto.
Problema 9: Seja f : X → Y aplicação contı́nua, X compacto e Y Hausdorff. Mostre: (a) se f é
sobrejetora, então é uma aplicação quociente; (b) se f é bijetora, então é homeomorfismo. Conclua
que, se f é injetora, então é um mergulho topológico.
Problema 10: Considere B = {x ∈ R2 : kxk ≤ 1} e relação de equivalência gerada por (x, y) ∼
(−x, y) para (x, y) ∈ ∂B. Mostre que B/ ∼ é homeomorfo à esfera S2 .
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Problema 11: O espaço projetivo real Pn é o conjunto de todas as retas de Rn+1 passando pela
origem: Pn = {lx ⊂ Rn+1 : x ∈ Rn+1 − {0}}, onde lx = {λx, λ ∈ R}. Temos uma projeção
natural Rn+1 − {0} → Pn , x 7→ lx , e consideramos Pn munido da topologia quociente. Mostre: (a)
Pn é homeomorfo ao quociente Sn / ∼, onde ∼ denota a relação de equivalência x ∼ −x; (b) P1
é homeomorfo ao cı́rculo S1 ; (c) P2 é homeomorfo a B/ ∼, para a relação (x, y) ∼ (−x, −y), se
(x, y) ∈ ∂B.
Problema 12: Considere a faixa de Moebius M = I × I/ ∼, onde I = [0, 1] e a relação de
equivalência é definida por (0, t) ∼ (1, 1 − t), e o cilindro C = S1 × I. Mostre que M e C têm o
mesmo tipo de homotopia. São homeomorfos?
Problema 13: Seja A = {(0, 0, z) : z ∈ R} ⊂ R3 . Mostre que R3 − A e S1 têm o mesmo tipo de
homotopia. Mais geralmente, para k < n, considere o subespaço Rk ⊂ Rn = Rn−k × Rk . Mostre
que Rn − Rk tem o tipo de homotopia da esfera Sn−k−1 .
Problema 14: Considere os grupos de matrizes GL+ (n) (determinante positivo) e SO(n) (ortogonais com determinante positivo). Mostre que esses espaços têm o mesmo tipo de homotopia (dica:
decomposição polar).