função do 2.grau

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
1- Definição
É toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a  *, b e c  .
 a , b , c  números
reais

 a e b  coeficient es de x 2 e x


 c  termo independen te ou termo

x  var iável indepemdem
te

 y  var iável dependente


cons tan te
Exemplos
a) f(x) = x2 – 4x + 3 (a = 1, b = -4, c = 3)
c) y = x2 – 3x (a = 1, b = -3, c = 0)
b) f(x) = -4x2 - 16 (a = -4, b = 0, c = -16)
d) f(x) = -3x2 (a = -3, b = c = 0)
2- Raízes ou zeros de uma função do 2º grau
Para calcular as raízes ou os valores de x que anulam uma função do 2º
grau, devemos igualar a zero a mesma transformando-a numa equação do 2º grau
e, em seguida, resolvendo-a através da fórmula de Bháskara.
Exemplo:
1) Encontre as raízes de cada função abaixo:
a) y = 3x2 – 5x + 2
b) y = -x2 + 6x - 9
2
d) f(x) = x – 5x
e) y = 20x2 – 320
Solução:
a) y = 3x2 – 5x + 2
3x2 – 5x + 2 = 0 (a = 3, b = -5, c = 2)
- Cálculo do discriminante (delta).
   b  4 . a .c

2
   (  5 )  4 .3 .2
  1

2
c) y = 2x2 – 4x + 5
f) f(x) = x2 + 4
- Cálculo das raízes.
x 
x 
 b 
 
 fórmula
2a

 (5) 
1

de
Bháskara



51
2 .3
6
51

x'
1

6

 x"  5  1  4  2

6
6
3
1 e 2/3 são os únicos números que anulam a função. Logo, V = {1, 2/3}
b) y = -x2 + 6x - 9
-x2 + 6x - 9 = 0 .(-1)
x2 - 6x + 9 = 0 (a = 1, b = -6, c = 9)
  (6)
x 
2
 b 
 4 . 1 . 9  36  36  0


 (6) 
2a
0

6  0
2 .1
2
6  0
6

x'

 3

2
2

 x"  6  0  6  3

2
2
3 é o único número que anula a função. Logo, V = {3}
c) y = 2x2 – 4x + 5
2x2 – 4x + 5 = 0 (a = 2, b = -4, c = 5)
  (4)
x 
2
 b 
2a
 4 . 2 . 5  16  40   24


 (4) 
 24

x’ e x”  
2 .1
- Observa-se que não é possível calcular, no campo real,  24 , por ser um número que faz parte
do Conjunto dos Números Complexos, logo, a equação não apresenta raízes reais, isto é, o
conjunto verdade é representado pelo conjunto vazio V =  ou { }.
* O resultado significa dizer que não existe nenhum número real que anula essa
função.
d) f(x) = x2 – 5x
x2 – 5x = 0 (a = 1, b - -5, c = 0)(equação incompleta: coloca-se x em evidência)
x(x – 5) = 0
x’ = 0
ou
x – 5 = 0  x” = 5
V = {0, 5}
e) y = 20x2 – 320
20x2 – 320 = 0 (:20) (equação incompleta)
x2 – 16 = 0 (a = 1, b = 0, c = -16)
x2 = 16
x =  16
 4
x=
 x' 4
 
 x"   4
V = {4, -4}
f) f(x) = x2 + 4
x2 + 4 = 0
(equação incompleta)
x2 = -4
x =   4  x’ e x”  
V =  ou { }
Obs.: todas as equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas pela
fórmula de Bháskara. Observe a resolução do exemplo anterior d.
d) f(x) = x2 – 5x
x

x 
x 
2
 5x  0
 b
2
( a  1, b   5 , c  0 )
 4 . a .c  (  5 )
2
 b 
 
 fórmula
2a

 (5) 
2 .1
5 5

x'
 5

2

 x"  5  5  0

2
V= {0, 5}
25

 4 . 1 . 0  25
de
5 5
2
Bháskara



3- Gráfico de uma Função Quadrática.
- O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada de Parábola.
Ela apresenta vértice, concavidade e eixo de simetria.
4- Cálculo do Vértice.
- Observamos acima que o vértice de uma parábola é um ponto que pode ser
de mínimo, se o coeficiente de x2 for maior que zero (a > 0) ou de máximo, se for
menor que zero (a < 0). Para calcular esse ponto devemos utilizar as seguintes
fórmulas:
xv 
1- Abscissa do vértice:
2- Ordenada do vértice: y v

 b
(ponto de mínimo ou de máximo da função)
2a
 
(valor de mínimo ou de máximo da função)
4a
Logo, o vértice é representado pelo ponto
  b   
V  
;

 2a 4a 
.
Procedimentos para encontrar o vértice.
1º Procedimento
2

y = ax + bx + c
fórmula geral da Função Quadrática
2
Isola-se ax + bx
2
y – c = ax + bx
 b 
Adiciona-se aos dois membros o termo a 

 2a 
 b 

 2a 
y – c + a
2
 b 

 2a 
2
2
2
= ax + bx + a 
Resolve-se a potência do 1º membro e coloca-se a em evidência no 2º
y–c+
ab
4a
2
2

bx
 b  
2
 
= ax 
 
a
 2 a  

2
Simplifica-se
2
ab
4a
2
b
y–c+
e fatora-se o 2º membro (quadrado da soma de dois termos):
2

= a x 

4a
b 

2a 
2
Isola-se y e determina-se o mínimo nos dois últimos termos do 2º membro
2

2
b
b 
 +c4a
2a 
y = a x 

2
b  4 ac
b 
 4a
2a 

y = a x 

2
b
2
 4 . a .c  

2

b 

y = a x 
 4a
2a 

2
a)
b 

Quando a > 0, a função (y) apresenta um mínimo para  x 
 = 0.
2a 

2
b 

x 
 =0
2a 

b
x 

 0
x= 
2a
b
(abscissa do vértice)
2a
2
b 

Como  x 
 = 0, temos.
2a 


y = a.0 -
 y=-
4a
  b
V= 
 2a

(ordenada do vértice)
4a
 

4a 
,

b) Quando a < 0, a função (y) apresenta um máximo para  x 

2
b 

x 
 =0
2a 

x 
b

 0
x= 
2a
(abscissa do vértice)
2a
2

Como  x 

y = a.0 -
b
b 
 = 0, temos.
2a 

4a
 y=-

4a
(ordenada do vértice)
2
b 
 = 0.
2a 
  b
V= 
 2a
,
 

4a 

3) Quando a > 0, y = -
continua negativo (y < 0), logo, a função apresenta um mínimo.
4a

4) Quando a < 0, y = -
torna-se positivo (y > 0), logo, a função apresenta um máximo.
4a
2º Procedimento
2
O vértice da parábola y = ax + bx + c pertence ao eixo de simetria (s). Então, para encontrar sua
abscissa deve-se calcular o ponto médio do segmento de extremos (x’, 0) e (x”, 0) da seguinte
maneira:
 b 
xv 
x ' x "

   b 
2a



 b 
2a
2
  b 

 2b
2a

2

2
2a

2
 b
2a
Para encontrar a ordenada do vértice deve-se substituir o valor da abscissa do vértice
 b 

2
 xv 
 na função y = ax + bx + c do seguinte modo:
2a 

 b
y  a .

 2a 
 b
2
 4 ac
2

b
 b
 b .
  c  a.
4a
 2a 
2
 (b
2
4a
 4 ac )
4a

2

b
2
2a
 c 
b
2
4a

b
2
2a
 c 
b
2
 2b
2
 4 ac

4a
 
4a
Então:
 b   
V
,

 2a 4a 
Exemplo
1- As funções abaixo são do 2º grau, logo, seus gráficos são representados por
parábolas. Determine o vértice de cada parábola especificando se representa
ponto de máximo ou de mínimo.
a) f(x) = x2 – 9x + 20
b) y = -2x2 + 5x + 1
c) y = 3x – x2
Solução:
a) f(x) = x2 – 9x + 20 (a = 1, b = -9, c = 20)
1) Cálculo da abscissa do vértice:
b
xv 
 (9)

2a
9

2 .1
 4 ,5
2
2) Cálculo da ordenada do vértice:
  b
 4 . a .c  (  9 )
2
 
yv 
1

4a

1
4 .1
2
 4 . 1 . 20  81  80  1
  0 , 25
4
 9 1
V   ,

2 4 
Logo,
* Como a é positivo (a = 1), dizemos que o vértice representa um ponto de
mínimo.
b) y = -2x2 + 5x + 1 (a = -2, b = 5, c = 1)
1)
2)
 b
xv 
2a
  b
yv 
Logo,

 5
2 .(  2 )
 4 . a .c  5
2
 

4a
 5

5

 4
 1 , 25
4
 4 .(  2 ). 1  25  8  31
2
 31

4 .(  2 )
 31
8

31
 3 , 875
8
 5 31 
V   ,

4 8 
* Como a é negativo (a = -2), dizemos que o vértice representa um ponto de
máximo.
c) y = 3x – x2 (a = -1, b = 3, c = 0)
1)
2)
xv 
  b
yv 
Logo,
 b

2a
2
 3
2 .(  1 )
 4 . a .c  3
 
4a

 9
4 .(  1 )

2
 3
 2

3
 1, 5
2
 4 .(  1 ). 0  9  0  9

 9
 4

9
 2 , 25
4
 3 9 
V   , 
 2 4
* Como a é negativo (a = -1), dizemos que o vértice representa um ponto de
máximo.
.
5- Construção de uma Parábola.
Verificou-se que para construir o gráfico de qualquer função deve-se conferir a
x (variável independente) valores arbitrários, em seguida, substituem-se os
mesmos na função achando valores para y (variável dependente),
conseqüentemente, formando pares ordenados (x, y). Porém, para facilitar nossa
tarefa, vamos colocar ordem nos valores de x, da seguinte maneira:
1- Calculam-se as raízes da função (x’ e x”);
2- Determina-se o vértice da parábola
  b   
V  
;
;
 2a 4a 
3- Construa-se uma tabela acrescentando um valor inteiro a x menor que a
menor raiz e outro maior que a maior raiz, em seguida, esboçar o gráfico.
Nota: se a equação apresentar raízes reais e iguais (x’ = x”) ou não apresentar
raízes reais (x’ e x”  ) , deve-se atribuir a x dois valores inteiros menores e dois
maiores que o valor da abscissa do vértice (xv).
Exemplo:
1- Construir o gráfico de cada função abaixo:
a) f(x) = x2 – 3x + 2
b) y = -x2 + 4x - 4
c) y = 2x2 + 4
Solução:
a) f(x) = x2 – 3x + 2
1) Cálculo das raízes.
f(x) = x2 – 3x + 2
x2 – 3x + 2 = 0 (a = 1, b = -3, c = 2)
2
2
  b  4 . a .c    3   4 . 1 . 2  9  8  1
x 
 b 


31

x'
 2

1
31

2

 
2
 x"  3  1  1

2
 ( 3) 
2a
2 .1
2) Cálculo do vértice.
xv 
yv 
b

2a
 
4a
 ( 3)

2 .1

1
4 .1
1 
 3
V    , 
4
 2
3
2
 
1
4

3
 1, 5
2
  2 , 25
c) Construção da Tabela e do gráfico.
x
0
1

3
y
2
0
(x, y)
(0, 2)
(1, 0)
1 
 3
 , 
4
 2
1

2
4
2
3
0
2
(2, 0)
(3, 2)
y
f(x) = x2 – 3x + 2
f(0) = 02 – 3.0 + 2 = 2
f(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0
f(2) = 22 – 3.2 + 2 = 0
f(3) = 32 – 3.3 + 2 = 2
2
-2 -1 0  1
-1/4
-1
b) y = -x2 + 4x - 4
1) Cálculo das raízes.
-x2 + 4x – 4 = 0 (-1)
x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1, b = -4, c = 4)
2
2
  b  4 . a .c    4   4 . 1 . 4  0
x 
 b 


 (4) 
2a
2 .1
2) Cálculo do vértice.
xv 
yv 
b

2a
 
4a
V  2 ,0 
 (4)

2 .1

0
4 .1

4
 2
2
0
4
 0
4  0

x'
 2

0
4  0

2

 
2
 x"  4  0  2

2

3/2


2
3
x
3) Construção da Tabela e do gráfico.
x
0
1
2
3
4
y
-4
-1
0
-1
-4
(x, y)
(0, -4)
(1, -1)
(2, 0)
(3, -1)
(4, -4)
y
y = -x2 + 4x - 4
y(0) = 02 + 4.0 -4 = -4
f(1) = -12 + 4.1 - 4 = -1
f(2) = -22 + 4.2 - 4 = 0
f(3) = -32 + 4.3 - 4 = -1
f(4) = -42 + 4.4 – 4 = -4
0
1
-1

-4 
c) y = 2x2 + 4
1) Cálculo das raízes.
y = 2x2 + 4
2x2 + 4 = 0 (equação incompleta do 2º grau)
2x2 = -4
x2 = -2
 2  x ' ex "   , log o , V  
x  
2) Cálculo do vértice.
y = 2x2 + 4 (a = 2, b = 0, c = 4)
xv 
yv 
b

2a
 
4a
V  0 , 4 
0

2 .2

0
 (  32 )
4 .2
 0
4

32
8
 4
ou
    32
 
2

3
4


x
3) Construção da tabela e do gráfico.
x
-2
-1
0
1
2
y
12
6
4
6
12
(x, y)
(-2, 12)
(-1, 6)
(0, 4)
(1, 6)
(2, 12)
y
12
y = 2x2 + 4
f(-2) = 2.(-2)2 + 4 = 12
f(-1) = 2.(-1)2 + 4 = 6
f(1) = 2.12 + 4 = 6
f(2) = 2.22 + 4 = 12
6
4
-2
-1
0
1
2
x
Notas:
1ª) É relevante observar que quando as raízes reais x’ e x “ são diferentes (∆ > 0), a
parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos; quando as raízes reais são iguais (∆ = 0),
a parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto e, quando não existirem raízes reais, a
parábola não intercepta a curva.
2ª) Pontos Notáveis da Parábola.
2.1) Intersecção da parábola com o eixo das abscissas (OX): São as raízes e para calcular
deve-se atribuir à variável y o valor nulo (y = 0), em seguida, resolve-se a equação encontrada.
2
2
y = ax + bx + c  ax –bx + c = 0
2.2) Intersecção da parábola com o eixo das ordenadas (OY): Deve-se atribuir à variável x o
valor nulo (x = 0) encontrando, em seguida, o valor de y.
2
y = ax + bx + c
2
y = a.0 + b.0 + c  y = c
 b

x 

2a
2.3) Vértice da parábola: Utiliza-se as fórmulas citadas acima, isto é, 
.
y   

4a
3ª) O domínio da função do 2º grau é o conjunto dos Reais e o conjunto imagem é
 
 


y R / y 
 se a > 0 ou  y  R / y 
 se a < 0.
4a 
4a 


06- Estudo do sinal da Função do 2º Grau (ou Quadrática).
- Para estudar o sinal da função (valores de x que à torna positiva, negativa ou
nula) do 2º grau f(x) = ax2 + ba + c, utiliza-se o seguinte procedimento:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.
2) Calculam-se as raízes.
3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X).
3.1) Se as raízes são diferentes, y assume valores com sinais de a à direita
de x” e à esquerda de x’. Entre as duas raízes, y assume valores com sinais
contrários de a.
3.2) Se as raízes são iguais, tanto à direita como à esquerda das raízes, o y
assume valores com sinais de a. Neste caso, não tem sinal contrário de a, apenas
y admite valor nulo quando x = x’ = x”.
3.3) Se não apresentar raízes, y assume o mesmo sinal de a.
Exemplo:
1- Estudar o sinal de cada função:
a) y = x2 - 2x – 8 b) y = -x2 + 6x – 5
c) y = 4x2 – 4x + 1
d) y = -2x2 – 8
Solução:
a) y = x2 - 2x – 8
1) a = 1  a > 0 (positivo)
2) Iguala-se a zero a função y = x2 - 2x – 8.
x2 - 2x – 8 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
 x' 4

 x"   2
3)

y  0 , se x   2 ou x  4    ,  2  4 , 


 y  0 , se  2  x  4   2 , 4



 


y  0 , se x   2 ou x  4


Obs.: Os sinais + e – que aparecem no gráfico acima são sinais da função y e não de x, isto é, se
2
substituir qualquer valor de x menor que -2 ou maior que 4 na função y = x - 2x – 8, o
resultado (valor numérico) será sempre positivo; se substituir qualquer valor de x
compreendido entre -2 e 4, o resultado da função será sempre negativo e se x assumir valor
-2 ou 4 o resultado será nulo.
b) y = -x2 + 6x – 5
1) a = -1  a < 0
2) -x2 + 6x – 5 = 0 x(-1)
x2 6x + 5 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
x' 5

 x"  1
3)


 y  0 , se 1  x  5  1 , 5


 y  0 , se x  1 ou x  5    , 1  5 , 

y  0 , se x  1 ou x  5



 

c) y = 4x2 – 4x + 1
1) a = 4  a > 0
2) Iguala-se a zero a função y = 4x2 – 4x + 1.
4x2 – 4x + 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

x'


 x" 

1
2
1
2
3)

 y  0 , se  x  R  1 / 2 

 y  0 , se x  1 / 2
Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna negativa a
função.
d) y = -2x2 – 8
1) a = -2  a < 0
2) Iguala-se a zero a função y = -2x2 – 8.
-2x2 – 8 = 0 x(-1)
2x2 + 8 = 0
Resolvendo verificamos que não temos raízes, logo, x’ e x”

R.
3)
y

 0 ,  x  R    , 

Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna positiva ou
nula a função.
Em regra geral, a discussão da variação de sinal de uma função quadrática recairá
em um dos casos:
07- Inequações do 2º grau
Chama-se inequação do 2º grau toda desigualdade que pode ser escrita nas
seguintes formas:
 ax

 ax

 ax

 ax
2
 bx  c  0
2
 bx  c  0
2
 bx  c  0
2
 bx  c  0
(a  0).
A resolução de uma inequação do 2º grau pode ser feita da seguinte maneira:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.
2) Transforma-se a inequação do 2º grau numa equação (= 0) calculando em
seguida, as raízes.
3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X) escolhendo o intervalo
que satisfaz a inequação.
Exemplo:
1- Resolva as inequações:
a) x2 – 8x + 12 > 0
d) -2x2 – 8  0
b) -3x2 + 6  0
e) (x2 – 9).(x2 – 4x)  0
c) x2 – 6x + 9 < 0
 x  4x  5

2

  x  3x
2
f)

  0


Solução:
a) x2 – 8x + 12 > 0
a.1) a = 1  a > 0
a.2) x2 – 8x + 12 = 0
 x' 6

 x"  2
Como a inequação tem que ser positiva (>0), temos:
V=

x  R / x  2

ou

x  6

ou (-, 2[

]6, +)
b) -3x2 + 6  0
b.1) a = -3  a < 0
b.2) -3x2 + 6 = 0
 x '  2

 x "   2
Como a inequação tem que ser positiva ou nula (0), temos:
V=
x  R / 
2  x 
2

ou

2,
2

c) x2 – 6x + 9 < 0
c.1) a = 1  a > 0
c.2) x2 – 6x + 9 = 0
 x' 3

 x"  3
m/a
+
c.3)
-
m/a
3
o
+
x
+
Como a inequação tem que ser negativa (< 0), temos:
V = { } ou 
d) -2x2 – 8  0
d.1) a = -2  a < 0
d.2) -2x2 – 8 = 0
x' e
x" 
R

V 
 
m/a
d.3)
-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +
x
Como a inequação tem que ser negativa ou nula ( 0), temos:
V = R 0]ou (-, +)
e) (x2 – 9).(x2 – 4x)  0 (Inequação produto)
f(x) = x2 – 9
g(x) = 2x2 – 8x
1) a = 1  a > 0
1) a = 2  a > 0
2) x2 – 9 = 0
2) 2x2 – 8x = 0
 x' 0

 x"  4
 x' 3

 x"   3
3)
Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:
V = {x  R / x  -3 ou 0  x  3 ou x  4} ou (-, -3] U [0, 3] U [4, +)
 x  4x  5

2

  x  3x
2
f)

  0


f(x) = x2 – 4x – 5
1) a = 1  a > 0
2) x2 – 4x – 5 = 0
 x' 5

 x"   1
g(x) = -x2 + 3x
1) a = -1  a < 0
2) -x2 + 3x  0
 x' 0

 x"  3
(raízes do denominador)
3)
Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:
V = {x  R / -1  x < 0 ou 3 < x  5} ou [-1, 0[ U ]3, 5]
Aplicações de Equações do 2o Grau
01) Um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 30. Encontre o triplo
desse número. R) 15
02) A terça parte de um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 2.
Qual é esse Número? R) 1/3
03) O produto de dois números é igual a 45. Determine a soma desses números.
R) 4
04) Qual é o número que multiplicado pelo seu quádruplo é igual a 256? R) 13 e 13.
05) Sejam dois números ímpares e consecutivos. Determine esses números
sabendo que seu produto excede sua soma em 167. R) 13 e 15 ou -13 e -11.
06) Um número natural menor que três somado com seu inverso é igual a 4.
Determine esse número. R) 1
07) Determinar dois números cuja soma vale 3 e o produto 54. R) 9 e -6
08) O triplo do quadrado de gols conseguido por determinado jogador é igual a 17
vezes esse número de gols adicionado a 6. Quantos gols foram marcados pelo
jogador? R) 6
09) Um painel cuja área é igual a 28m2, apresenta um lado excedendo de 3
metros do outro. Determine as dimensões do painel. R) 4m e 7m
10) O produto da idade de Saulo pela idade de Olga é igual a 374, Saulo é 5 anos
mais velho que Olga. Qual a idade de cada um? R) 27anos e 22 anos
11) O gráfico abaixo representa uma piscina que, internamente necessita de 54 m2
de revestimentos. Determine:
a) O valor de x;
b) A área da base
12) Uma indústria fabrica certo produto na área de designe. Os responsáveis pela
parte financeira estimam que o lucro que a indústria pode alcançar na
fabricação/venda de uma determinada quantidade desse bem é dado pela regra
L(x) = -0,01x2 + 80x – 50.000 (L lucro em R$ e x quantidade fabricada), determine
o lucro mensal quando o nível de produção/venda alcançar:
a) 850 e 1.200 unidades;
b) Interprete os resultados.
13) Sabendo que f(x) = x2 + 2x - 8 representa uma função do segundo grau,
determine:
a) As raízes;
b) O vértice
c) O gráfico para x > -1.
Bibliografia
DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.
IEZZI, G. et AL. (2004) Matemática: C´^encia e Aplicações. 2a Ed. São Paulo:Atual
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Função de 2º Grau"; Brasil Escola.