Mecânica Quântica CE Aguiar, 2014 Lista de Exercícios 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Programa de Pós-Graduação em Ensino De Física
Mestrado Profissional em Ensino de Física
Mecânica Quântica
C. E. Aguiar, 2014
Lista de Exercícios 3
1. Um aparato de Stern-Gerlach com campo magnético orientado na direção z está
esquematizado na figura abaixo.
De forma ainda mais esquemática, o analisador de Stern-Gerlach pode ser
representado pelo seguinte diagrama.
a) No experimento de Stern-Gerlach representado pela figura abaixo, N0 = 105
partículas passam pelo aparato. Na saída, o feixe correspondente a Sz = −ħ/2 é
bloqueado, e N1 partículas são detectadas com Sz = +ħ/2. Se o estado inicial das
partículas é |𝜓⟩ = 0,8 |+z⟩ + 0,6 |-z⟩, qual é o valor esperado de N1?
b) Dois analisadores de Stern-Gerlach são colocados sucessão, como mostra a figura
abaixo. Calcule quantas partículas sairão do segundo aparato com Sz = +ħ/2 (ou
seja, obtenha o valor esperado de N2).
c) Se o campo magnético do segundo analisador do item (b) for girado de 90º de
modo a apontar na direção x, como representado na figura abaixo, qual será o
novo valor de N2?
d) Finalmente, mais um analisador na direção z é adicionado ao conjunto, como
ilustrado na figura abaixo. Qual é o valor esperado de N3?
e) Se Sz e Sx fossem observáveis compatíveis, qual seria o valor de N3 no
experimento do item (d)?
2. Suponha que na base |±z⟩ os estados de spin nas direções z, x e y são representados
pelos vetores coluna
1
0
|+z⟩ = ( ) , |-z⟩ = ( ) ,
0
1
1 1
1
1
|+x⟩ = ( ) , |-x⟩ = ( ) ,
√2 1
√2 −1
1 1
1
1
|+y⟩ = ( ) , |-y⟩ = ( ) .
√2 𝑖
√2 −𝑖
Mostre que, nessa base, os operadores de spin são representados pelas matrizes
ℏ 1
ℏ 0
0
𝑆𝑧 = 2 (
) , 𝑆𝑥 = 2 (
0 −1
1
ℏ 0
1
) e 𝑆𝑦 = 2 (
0
𝑖
−𝑖
).
0
3. As matrizes de Pauli são definidas por
1
0
𝜎𝑧 = (
0
0 1
) , 𝜎𝑥 = (
),
−1
1 0
0
𝜎𝑦 = (
𝑖
−𝑖
),
0
ℏ
de modo que 𝑆𝑎 = 2 𝜎𝑎 , onde a = x, y, z. Mostre que as matrizes de Pauli têm as
seguintes propriedades:
a) 𝜎𝑎2 = 𝐼
b) 𝜎𝑎 𝜎𝑏 = 𝑖𝜎𝑐 , se a,b,c for uma permutação cíclica de x,y,z.
c) 𝜎𝑏 𝜎𝑎 = −𝜎𝑎 𝜎𝑏 , se a ≠ b
4. Mostre que os operadores de spin têm as seguintes regras de comutação:
[Sx, Sy] = i ħ Sz
[Sy, Sz] = i ħ Sx
[Sz, Sx] = i ħ Sy
ou seja, [Sa, Sb] = i ħ Sc , onde a,b,c é uma permutação cíclica de x,y,z. É possível ter
um estado quântico em que as três componentes do spin estão bem definidas?
5. O quadrado do módulo do spin é definido por
S2 = Sx2 + Sy2 + Sz2.
a) Encontre a matriz que representa o operador S2 na base |±z⟩.
b) Mostre que [S2, Sa] = 0, onde a = x, y, z.
c) É possível ter um estado quântico em que o módulo do spin e uma de suas
componentes do spin estão bem definidos?
6. Seja 𝑛̂ = cos 𝜃 𝑧̂ + sen 𝜃 𝑥̂ um vetor unitário no plano x-z.
a) Encontre a matriz que representa, na base |±z⟩, o operador 𝑆⃗ ⋅ 𝑛̂ associado à
componente do spin na direção n.
b) Calcule os autoestados |±n⟩ de 𝑆⃗ ⋅ 𝑛̂
c) Se 𝑎̂ = cos 𝛼 𝑧̂ + sen 𝛼 𝑥̂ e 𝑏̂ = cos 𝛽 𝑧̂ + sen 𝛽 𝑥̂ são dois vetores unitários no
plano x-z, mostre que
𝛼−𝛽
⟨+𝑎|+𝑏⟩ = cos (
)
2
7. Considere o experimento esquematizado abaixo, no qual o analisador intermediário
tem o campo magnético apontando na direção 𝑛̂ = cos 𝜃 𝑧̂ + sen 𝜃 𝑥̂.
a) Dado o número N1 de partículas que entra no analisador intermediário, qual é o
valor esperado de N3?
b) Para que ângulo  o valor de N3 é máximo?