2a Chamada - Instituto de Física / UFRJ

INTITUTO DE FÍSICA – UFRJ
Termodinâmica e Física Estatística, 2007/1
2a Chamada da 2a Prova, 04/07/2007
Questão 1. (a) Um cilindro de raio R roda em torno de seu eixo com velocidade angular 
e contém um gás ideal clássico de átomos de massa M, a uma temperatura T. Calcule a
concentração de equilíbrio do gás.
(b) Explique porque, para T  300K , os elétrons de condução em um sólido devem ser
descritos por um modelo quântico, enquanto que os átomos de hélio são perfeitamente
descritos por um modelo clássico.
  kT ln(n / nQ ) , nQ  (MkT / 2 2 )3/ 2
Questão 2. Considere um sistema de N bósons de spin zero que só podem ocupar dois
orbitais, um de energia zero e outro de energia  . O potencial químico do sistema é  e a
temperatura é T.
(a) Escreva a grande função de partição  do sistema.
(b) Qual a ocupação média de cada orbital?
(c) Encontre a temperatura T na qual o orbital o orbital de energia mais baixa tem o dobro
da ocupação do orbital de energia  . Considere N  1 e faça as aproximações que julgar
necessárias.
Questão 3. O modelo de Ising para partículas de spin 1/2 propõe que a energia de uma dada
configuração da cadeia de N partículas com momento magnético m0 , na presença de um
campo magnético B, seja calculada através da expressão
E   Jm02 i  i i 1  Bm0 i  i ,   1.
Vamos considerar apenas o caso J > 0 que dá o acoplamento ferromagnético. A funçaõ de
partição desse sistema pode ser calculada, e encontra-se que, no limite termodinâmico,


Z  e J cosh(  m0 B)  senh 2 (  m0 B)  e4  J 


( B, T ) o momento magnético total do sistema definido como
Seja M =
M=
( B, T )  m0

N
i 1
N
i .
(a) Mostre que a magnetização por partícula é dada por:
M
m0senh(  m0 B )
m

N
senh 2 (  m0 B )  e 4  J
(b) Mostre que a susceptibilidade magnética definida como   M / B pode ser
calculada pela flutuação da magnetização como
2
2
N
N


   m02   i 1 i   i 1 i 




Questão 4. A energia de uma partícula relativística é dada por   c m 2  p 2 , onde m é a
massa da partícula, p seu momento linear e c a velocidade da luz. No regime relativístico
extremo podemos desprezar a contribuição da massa de repouso, escrevendo   pc .
Considere um gás de N elétrons nesse regime, contido num volume V  L3 , de forma a que
o momento linear assuma os valores quantizados p  n / L , onde n2  nx2  n2y  nz2 .
Calcule
(a) a energia de Fermi,  F do gás,
(b) a energia interna do gás, E, em T = 0.
1E
(c) Mostre que em T = 0, a pressão do gás é P 
.
3V
Fórmulas:
 (T ,V ,  )  kT ln Z ,

Z    N ZN ,
F  kT ln Z N ,
N 0
Z   z ,
V  2m 
n  f ( )   (   )
, , D ( )  g 2  2 
e
1
4 

1
E  TS  PV   N ,
dE  TdS  PdV  dN ,
z 
onde

3/ 2
 1/ 2 , N   n , E    n



e 
n 0
 n (    )
,