Mecânica Quântica - O processo de medida em MQ

Mecânica Quântica
O processo de medida em MQ
A C Tort1
1 Departmento de Física Teórica
Instituto Física – Universidade Federal do Rio de Janeiro
17 de Maio de 2012
O operador S2
S2 = S · S = Sx2 + Sy2 + Sz2
ou (exercício!):
3~2
S =
4
2
1 0
0 1
Observe que:
e
3~
4
1 0
0 1
1
0
3~2
=
4
1
0
3~2
4
1 0
0 1
0
1
3~2
=
4
0
1
ou seja:
S2 |±i =
3~2
|±i
4
Observe também que:
~
Sz |±i = ± |±i
2
Os kets |±i são simultaneamente autokets de S2 e Sz !
E mais:
Sz S2 |±i =
3~3
3~2
Sz |±i = ±
|±i
4
8
S2 Sz |±i =
~ 2
3~3
S |±i = ±
|±i
2
8
O comutador [S2, Sz ]
os operadores S2 e Sz comutam:
S2 Sz = Sz S2
O comutador é definido por:
i
h
S2 , Sz = S2 Sz − Sz S2
No caso:
h
i
S2 , Sz = 0
S2 e Sz podem ser medidos simultaneamente!
Da mesma forma:
i
h
S2 , Sx = S2 Sx − Sx S2 = 0
e
h
i
S2 , Sy = S2 Sy − Sy S2 = 0
Mas (exercício!):
[Sx , Sy ] = Sx Sy − Sy Sx = i~ Sz
[Sy , Sz ] = Sy Sz − Sz Sy = i~ Sx
[Sz , Sx ] = Sz Sx − Sx Sz = i~ Sy
significando que
Estes observáveis não podem ser medidos simultaneamente!
O processo de medida em MQ: projetores
P1/2 = |+i h+| + |−i h−|
ou
P1/2 =
1
0
(1 0) +
0
1
(0 1) =
ou ainda:
P1/2 = I1/2
Se
|ψi = c1 |+i + c2 |−i
então:
P1/2 |ψi = |ψi
1 0
0 1
Como
P1/2 + = |+i h+| =
1 0
0 0
P1/2 − = |−i h−| =
0 0
0 1
e
Temos
P1/2+ |ψi = c1 |+i
e
P1/2− |ψi = c2 |−i
Interpretação geométrica:
|ψi
P− |ψi = c2 |−i
{z
}
|
Projetor
|−i
|+i
P |ψi = c1 |+i
|+
{z
}
Projetor
Figura: O espaço vetorial linear dos estados de spin..
Completicidade!
P
n
|an i han | = I
O processo de medida em MQ: redução do estado
Postulado 5 Depois de uma medida do observável A na qual
obtemos o autovalor an como resultado, o sistema está em um
novo estado quântico que é a projeção normalizada do ket de
estado inicial sobre o ket que corresponde ao resultado dessa
medida:
′
ψ = p Pn |ψi
hψ| Pn |ψi
onde |ψ ′ i é o ket de estado após a medida e,
Pn = |an i han |
é o projetor do estado inicial no estado final.
Detalhes:
|ψi =
X
cℓ |aℓ i
ℓ=0
Pn |ψi = Pn
X
cℓ |aℓ i =
ℓ=0
X
ℓ=0
cℓ Pn |aℓ i =
X
ℓ=0
cℓ |an i han | aℓ i =
X
cℓ Pn |aℓ i
X
cℓ |an i δℓn = cn |an i
ℓ=0
ℓ=0
hψ| Pn |ψi = hψ| cn |an i = cn hψ | an i = cn han | ψi∗ = cn cn ∗ = |cn |2
′ cn |an i
han | cn ∗ cn |an i
ψ = q
→ ψ′ ψ =
=1
|cn |
|cn |
|cn |2
O processo de medida em MQ: o valor esperado
Considere N elétrons preparados no mesmo estado inicial |ψi
por um S-G e injetados um por um em um segundo S-G.
|ψi = |+in0
|+in
elétrons não-polarizados
n0
n
k
|−in0
P+ =
N+
,
N
P− =
N−
,
N
|−in
N = N+ + N−
Postulado 4:
P+n = |n h+ | ψi|2
ou
P+n = n h+ | ψi n h+ | ψi∗ = n h+ | ψi hψ | +in
Da mesma forma:
P−n = n h− | ψi n h− | ψi∗ = n h− | ψi hψ | −in
o valor esperado é definido por:
~
~
hSn i = P+n + −
P−n
2
2
~
~
hψ | −inn h− | ψi
hSn i = hψ | +in n h+ | ψi + −
2
2
Lembrando que:
|+i h+| + |−i h−| = 1
obtemos finalmente:
hSn i = hψ| Sn |ψi
De modo geral, se A é um operador associado com um
observável físico, seu valor esperado no estado |ψi é dado por:
hAi := hψ| A |ψi
Exemplo:
|ψi = |+in = cos
θ
θ
|+i + sen
e iϕ |−i
2
2
lembrando que:
Sn =

~ 
2
sen
obtemos:
~
hSn i =
2
θ
2
cos
θ
2
e iϕ
sen
θ
2
cos
e −iϕ
θ
2
θ
θ
2
cos
− sen
2
2
O que acontece se θ = 0?
2


Desigualdades de Heisenberg
Algumas definições:
(∆A)2 = hA − hAii2
q
∆A =
A2 − hAi2
[A, B] = AB − BA
∆A ∆B =
1
2
|h[A, B]i|
Exemplo
∆Sx ∆Sy =
1
1
~
|h[Sx , Sy ]i| = |hi~ Sz i| = |hSz i|
2
2
2
hSz i = hψ| Sz |ψi
Suponha que |ψi = |+i, então:
hSz i = h+| Sz |+i =
∆Sx ∆Sy ≥
~2
,
4
~
2
∆Sx 6= 0, ∆Sy 6= 0
Modelo vetorial para o spin
z
S
y
x
Momento angular em MQ
De modo geral, se J = L + S:
J2 j mj = j (j + 1) ~2 j mj
Jz j mj = mj ~ j mj
com j ∈ [|ℓ − s|...ℓ + s] e mj ∈ [−j... + j].
No caso do spin (|±i → |s ms i):
S2 |s ms i = s (s + 1) ~2 |s ms i
Sz |s ms i = ms ~ |s ms i
com s = 1/2, e ms = −1/2, +1/2,
1 1
1
−1
2 2
2
2
FIM DA AULA 7
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Dinâmica quântica