TRIÂNGULOS.

♣ Obtusângulo: quando tem um ângulo obtuso.
TRIÂNGULOS
1. CONCEITO:
 É um polígono de três lados.
A
R
S
T
ACUTÂNGULO
B
C
♣ Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.

S
T
RETÂNGULO
S
T
OBTUSÂNGULO
ângulo reto chama-se CATETOS e o lado oposto
ao ângulo reto chama-se HIPOTENUSA.
CA são os lados do
CATETO


R
 Em um triângulo retângulo os lados que formam o
 Na figura acima:
♣ Os segmentos AB, BC e
triângulo.
R
HIPOTENUSA
♣ Os ângulos A, B e C C são ângulos internos do
triângulo.
 Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por
ABC .
CATETO
5. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM
TRIÂNGULO:
 Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a
soma dos outros dois lados.
Exemplo:
2. ÂNGULO EXTERNO:
 É o ângulo suplementar do ângulo interno.
A
4cm
m
2cm
B
C
3cm

 Na figura acima m é um ângulo externo.
 Vamos comparar a medida de cada lado com a
3. PERÍMETRO:
 O perímetro de um triângulo é igual à soma das
medidas dos seus lados.
P
ABC
 Para verificar a citada propriedade, procure
A) QUANTO AOS LADOS:
♣
Eqüilátero:
quando tem os três lados
congruentes
♣ Isósceles: quando tem dois lados congruentes.
♣ Escaleno: quando não tem lados congruentes
A
A
A
B
C
2  3  4 ou 2  7
3,  2  4 ou 3  6
4  2  3 ou 4  5
 AB  AC  BC
4. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS:
ISÓSCELES
soma das medidas dos outros dois. Assim:
B
C B
EQUILÁTERO
C
ESCALENO
B) QUANTO AOS ÂNGULOS:
♣ Acutângulo: quando tem três ângulos agudos.
♣ Retângulo: quando tem um ângulo reto.
construir um triângulo com
medidas: 7cm,4cm e 2cm .
4cm
as
seguintes
2cm
A
B
7cm
 É impossível, logo não existe o triângulo cujos
lados medem 7cm, 4cm e 2cm.
6. ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO:
A) MEDIANA:

É o segmento de reta que une um vértice ao
ponto médio do lado oposto.
R
RM  mediana
R
7. SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS
INTERNOS DE UM TRIÂNGULO:
 Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos
G
S
M
0
ângulos internos é igual a 180 .
A
T
S
T

A
 Todo triângulo tem três medianas que se
encontram
em
BARICENTRO.
um
ponto
chamado


B
C
B
G  BARICENTRO



m A   m B   m C   1800
 
 
 
B) BISSETRIZ:
 É o segmento da de um ângulo interno que tem
por extremidade o vértice desse ângulo e o ponto
de encontro com o lado oposto.
RP  bissetriz
R
C
EXEMPLO:
EX1: Calcular x no triângulo abaixo:
R
SOLUÇÃO:
80
x  800  300  1800
0
x  1800  1100
I
S
P
S
T
 Todo triângulo tem três bissetrizes que se
encontram em
INCENTRO.
30
x
T
um
ponto
interior
chamado
8. TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO:
 Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo
externo é igual à soma das medidas dos ângulos
internos não-adjacentes.
A
I  BISSETRIZ

A
C ) ALTURA:
 É o segmento da perpendicular traçada de um
vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.
R
R
H



B
C
E
B
C



m E    m A   m B 
 
 
 
h
S
x  700
0
T
S
T
 Todo triângulo tem três alturas que se encontram
EXEMPLO:
EX1: Calcule o valor de x no triângulo abaixo:
em um ponto chamado ORTOCENTRO.
4 x  2 x  1200
4x
R
2x
O
S
O  ORTOCENTRO
1200
6 x  1200
120
x
6
x  200
T
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (FRANCO) Determine a medida dos ângulos x, y
e z.
b)
3x
a)
x
y
1250
2x
Resp: x  25
600
Resp:
450
0
c)
x
x  300 , y  450
1200
b)
0
35
x
105
1400
0
Resp: x  100
z
Resp:
d)
500
y
0
600
x  400 , y  250 , z  1050
250
x
c)
y
150
300
0
55
40
x
Resp: x  100
0
0
e)
x  70 , y  55
0
Resp: Resp:
0
1350
y
d)
750
x
x
600
1100
r // s
80
0
Resp:
x  600 , y  750
s
Resp: x  30
2. (FRANCO) Calcule o valor de x e y nos
triângulos dados:
0
a)
1. (FRANCO) Na figura ao lado há:
a)
b)
c)
d)
7x
1300
3x
TESTES
2.
Resp: x  13
3 triângulos
4 triângulos
5 triângulos
8 triângulos
(FRANCO) Em um triângulo retângulo o lado
oposto ao ângulo reto chama-se:
0
a) hipotenusa
c) base
3.
b) cateto
d) bissetriz
(FRANCO)
Em um triângulo isósceles, o
perímetro mede 80cm. Sabendo-se que a base
vale 20cm, cada lado deve valer:
a) 20cm
60cm
b) 30cm
c) 40cm
d)
a) 15
0
b) 18
0
c) 30
0
d)
0
45
4. (FRANCO) O baricentro de um triângulo é o ponto
de encontro das:
12. (FRANCO)
Num triângulo, um ângulo mede o
0
a) alturas
c) mediatrizes
5.
b) medianas
d) bissetrizes
(FRANCO) O ponto onde concorrem as três
alturas de um triângulo é denominado:
a) incentro
c) baricentro
b) circuncentro
d) ortocentro
6. (FRANCO) Dois lados de um triângulo isósceles
medem 5cm e 12cm. O terceiro lado mede:
a) 5cm
15cm
dobro de outro e o terceiro, 30 . O maior deles
mede:
b) 12cm
c) 10cm
d)
a) 50
140
0
b) 70
0
c) 100
0
d)
0
13. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 10
0
120
0
c) 14
0
d) 16
b)
2x
8 x  40
x
7. (FRANCO) Dois lados de um triângulo isósceles
medem, respectivamente, 5cm e 2cm. Qual o seu
perímetro ?
14. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 7cm
14cm
b) 20
b) 9cm
c) 12cm
d)
a) 15
0
1050
0
0
c) 25
8. (FRANCO) Com três segmentos de comprimentos
iguais a 10cm, 12cm e 23cm:
d) 30
15.
a) é possível formar apenas um triângulo
retângulo.
b) é possível formar apenas um triângulo
obtusângulo.
c) é possível formar apenas um triângulo
acutângulo.
d) não é possível formar um triângulo.
0
3x
(FRANCO) Sabemos que se trata de um
triângulo qualquer. Então, podemos afirmar que:
a) x  30
c) x  10
b) igual a 1dm
d) maior que 7dm
2x
0
0
d) x  20
x
3x
0
16. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 100
c) 140
800
0
b) 130
a) igual a 5dm
c) menor que 7dm
0
b) x  40
9. (FRANCO) Se dois lados de um triângulo medem
respectivamente 3dm e 4dm, podemos afirmar
que a medida do terceiro lado é:
4x
0
0
d) 150
1100
x
0
10. (FRANCO) Num triângulo, um dos ângulos mede
27 0 e o outro mede 640 . O terceiro ângulo
interno mede:
a) 69
0
b) 79
17. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x é:
a) 10
0
c) 89
0
d)
990
0
b) 15
0
0
c) 20
0
11. (FRANCO) Os ângulos de um triângulo medem
3x, 4x e 5x. O menor desses ângulos mede:
1050
d) 25
18. (FRANCO)
1250
x
Na figura abaixo
a  100 0 e
b  1100 . Quanto mede o ângulo x ?
a) 30
b) 50
c) 80
300 400
0
0
d) 40 e 50
x
0
0
a
d) 100
b
0
b) 70
0
c) 110
0
1100
0
b) 100
0
c) 110
0
d) 100
a)
x
e 550
e 650
650
e 550
do ângulo
y
x
800

O valor, em graus, do ângulo C B D é:
a) 95
b) 100
300
40 0
D
26. (FRANCO) Na figura, DE é paralelo a
valor de x é:
A . Então x  y  vale:
0
a) 90
0
c) 70
x
B
22. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x é:
x
30
60
0
D
E
0
1300
  
300
0
0

a, b, c e d medem nessa ordem:
0
0
x
0
40 0
r
0
0
0
0
60 ,30 ,70 ,60
0
0
0
0
b) 70 ,30 ,80 ,70
0
0
0
0
c) 60 ,45 ,80 ,60
1100
0
0
0
0
d) 80 ,45 ,70 ,80
a)
300
b
a
c
d
0
d) 120
s
0
50
0
G A B A R I T O
23. (FRANCO) Na figura abaixo, as medidas de x e
y são, respectivamente:
0
0
50 e 40
0
0
b) 40 e 30
a)
BC . O
B
C
27. (FRANCO) Na figura, r e s são paralelas. Então,
500
A
0
b) 80
y
0
C
B
c) 105
d) 60
d) 100
800
40 0
0
c) 100
y
A
C
b) 80
600
d) 110
550 300

a) 70
x

s
21. (FRANCO) No ABC abaixo, AM é bissetriz
c) 60
e 300
e 200
200
e 200
25. (FRANCO) Nesta figura, o ângulo A D C é reto.
60
700
20. (FRANCO) Na figura abaixo, as medidas de x e
y são, respectivamente:
b) 30
200
0
b) 30
0
c) 60
0
d) 20
a)
r
0
0
d) 130
a) 20
500
y
24. (FRANCO) Na figura abaixo, as medidas de x e
y são, respectivamente:
0
17. (FRANCO)
As retas r e s da figura são
paralelas. Qual a medida do ângulo x ?
a) 50
1000
c)
0
40 0
x
1. C
7. C
13. D
19. D
25. B
2. A
8. D
14. A
20. A
26. C
3. B
9. C
15. A
21. C
27. B
4. B
10. C
16. D
22. D
5. D
11. D
17. C
23. B
6. B
12. C
18. A
24. D