Variáveis Aleatórias - DME

Variáveis Aleatórias
ICE - UFJF
Autor:
Joaquim Henriques Neto
Departamento de Estatı́stica - ICE
Universidade Federal de Juiz de Fora
2008
Sumário
1
2
3
Variaveis Aleatórias
Função de Distribuição
Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Distribuição Uniforme Discreta
Distribuição de Bernoulli
Distribuição de Binomial
4
Valor esperado de uma variável aleatória discreta
Variância de uma variável aleatória discreta
Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Algumas distribuições contı́nuas
Distribuição Normal
Distribuição Beta
5
Referências Bibliográficas
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
ICE - UFJF
2008
1 / 33
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
ICE - UFJF
2008
1 / 33
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
ICE - UFJF
2008
1 / 33
Variaveis Aleatórias
Variaveis Aleatórias
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
ICE - UFJF
2008
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Variaveis Aleatórias
Informalmente, uma variável aleatória (v.a.) é um caracterı́stico numérico do resultado de um
experimento.
Exemplo 1: Em um experimento que consiste em lançar uma moeda N vezes, o número de caras
observado é um caracterı́stico numérico do experimento.
Exemplo 2: Suponhamos agora um experimento que consiste em escolher um número ao acaso
em [0, 1]. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento ao seu quadrado.
Assim,
Ω = [0, 1]
e
X (ω) = ω 2 , ∀ω ∈ Ω.
Exemplo 3: Suponhamos um experimento que consiste em escolher um número ao acaso no
cı́rculo unitário. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento à distância
entre o ponto escolhido e a origem. Assim,
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}
e, com ω = (x, y ),
X (ω) =
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
p
x 2 + y 2.
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Variaveis Aleatórias
Informalmente, uma variável aleatória (v.a.) é um caracterı́stico numérico do resultado de um
experimento.
Exemplo 1: Em um experimento que consiste em lançar uma moeda N vezes, o número de caras
observado é um caracterı́stico numérico do experimento.
Exemplo 2: Suponhamos agora um experimento que consiste em escolher um número ao acaso
em [0, 1]. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento ao seu quadrado.
Assim,
Ω = [0, 1]
e
X (ω) = ω 2 , ∀ω ∈ Ω.
Exemplo 3: Suponhamos um experimento que consiste em escolher um número ao acaso no
cı́rculo unitário. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento à distância
entre o ponto escolhido e a origem. Assim,
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}
e, com ω = (x, y ),
X (ω) =
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
p
x 2 + y 2.
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Variaveis Aleatórias
Informalmente, uma variável aleatória (v.a.) é um caracterı́stico numérico do resultado de um
experimento.
Exemplo 1: Em um experimento que consiste em lançar uma moeda N vezes, o número de caras
observado é um caracterı́stico numérico do experimento.
Exemplo 2: Suponhamos agora um experimento que consiste em escolher um número ao acaso
em [0, 1]. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento ao seu quadrado.
Assim,
Ω = [0, 1]
e
X (ω) = ω 2 , ∀ω ∈ Ω.
Exemplo 3: Suponhamos um experimento que consiste em escolher um número ao acaso no
cı́rculo unitário. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento à distância
entre o ponto escolhido e a origem. Assim,
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}
e, com ω = (x, y ),
X (ω) =
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
p
x 2 + y 2.
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Variaveis Aleatórias
Notação: Seja x ∈ IR e A ⊂ IR. Consideremos os seguintes conjuntos:
[X ≤ x] = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x}
[X = x] = {ω ∈ Ω : X (ω) = x}
[X < x] = {ω ∈ Ω : X (ω) < x}
[X ≥ x] = {ω ∈ Ω : X (ω) ≥ x}
[X > x] = {ω ∈ Ω : X (ω) > x}
[X ∈ A] = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A}
Definição: Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade
(Ω, A , P) é uma função real definida no espaço Ω tal que [X ≤ x] é
evento aleatório para todo x ∈ IR, ou seja, X : Ω → IR é variável aleatória
se [X ≤ x] ∈ A , ∀x ∈ IR.
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Variaveis Aleatórias
Notação: Seja x ∈ IR e A ⊂ IR. Consideremos os seguintes conjuntos:
[X ≤ x] = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x}
[X = x] = {ω ∈ Ω : X (ω) = x}
[X < x] = {ω ∈ Ω : X (ω) < x}
[X ≥ x] = {ω ∈ Ω : X (ω) ≥ x}
[X > x] = {ω ∈ Ω : X (ω) > x}
[X ∈ A] = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A}
Definição: Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade
(Ω, A , P) é uma função real definida no espaço Ω tal que [X ≤ x] é
evento aleatório para todo x ∈ IR, ou seja, X : Ω → IR é variável aleatória
se [X ≤ x] ∈ A , ∀x ∈ IR.
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Função de Distribuição
Função de Distribuição
Definição: A função de distribuição de uma variável aleatória X ,
representada por FX é definida por
FX (x) = P([X ≤ x]),
x ∈ IR.
Observação: Na literatura, a função de distribuição também é chamada de
função de distribuição acumulada.
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Definição: Uma variável aleatória X é discreta se toma um número finito ou enumerável de
valores, ou seja, se existe um conjunto finito ou enumerável {x1 , x2 , ...} ⊂ IR tal que
X (ω) ∈ {x1 , x2 , ...} ∀ω ∈ Ω. Se X for discreta, a função p(x) definida por p(x) = P([X = x]) é
chamada de função de probabilidade de X .
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Exemplo: Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados. Suponhamos ainda
que os resultados são equiprováveis, ou seja, que cada resultado possı́vel tem a mesma
probabilidade. Seja X uma variável aleatória que associa cada resultado à soma dos números
obtidos em cada dado.
a) Faça o gráfico da função de probabilidade de X .
Solução:
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
S
Observação: Se X é discreta, então [X ∈ A] =
[X = xi ]. Assim,
i:xi ∈A


[
P ([X ∈ A]) = P 
[X = xi ] =
i:xi ∈A
= (pois temos conjuntos disjuntos) =
X
=
P ([X = xi ]).
i:xi ∈A
Especificamente, temos
FX (x) =
X
P (X = xi ) =
i:xi ≤x
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
X
p (xi ).
i:xi ≤x
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Exemplo: Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados. Suponhamos ainda
que os resultados são equiprováveis, ou seja, que cada resultado possı́vel tem a mesma
probabilidade. Seja X uma variável aleatória que associa cada resultado à soma dos números
obtidos em cada dado.
b) Faça o gráfico da função de distribuição de X .
Solução:
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Distribuição Uniforme Discreta
Exemplos: Exemplos de observações que podem ser modeladas com a distribuição uniforme:
Número obtido ao arremessar um dado honesto.
Altura de um aluno selecionado aleatóriamente dentre um conjunto de 10 alunos.
Suponhamos uma variável aleatória discreta X que assume valores no conjunto {1, 2, ..., N}. X
tem distribuição uniforme se sua função de probabilidade for:
pX (x) =
1
, se x ∈ {1, 2, ..., N}
N
0, caso contrário
Notação: X ∼ U(N).
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10 / 33
Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Distribuição Uniforme Discreta
Exemplos: Exemplos de observações que podem ser modeladas com a distribuição uniforme:
Número obtido ao arremessar um dado honesto.
Altura de um aluno selecionado aleatóriamente dentre um conjunto de 10 alunos.
Suponhamos uma variável aleatória discreta X que assume valores no conjunto {1, 2, ..., N}. X
tem distribuição uniforme se sua função de probabilidade for:
pX (x) =
1
, se x ∈ {1, 2, ..., N}
N
0, caso contrário
Notação: X ∼ U(N).
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Exemplo:
Função de probabilidade
Função de distribução acumulada
Figura:
Função de probabilidade e função de distribuição acumulada de uma v.a. X , tal que
X ∼ U({1, 2, 3, 4, 5}).
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Distribuição de Bernoulli
Exemplos: Exemplos de observações que podem ser modeladas com a distribuição de Bernoulli:
Selecionar uma pessoa com probabilidade θ de ter uma doença.
Selecionar um item com probabilidade θ de ser defeituoso.
Lançar uma moeda com probabilidade θ =
1
2
de obter cara.
Distribuição de Bernoulli:
Suponhamos um experimento em que os resultados possuem uma caracterı́stica X que assume
apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc).
Associando uma das classificações ao número 1 e a outra ao número 0, diremos que X assume
valores no conjunto {0, 1}. Neste caso, supondo θ = P(X = 1), dizemos que X tem
distribuição de Bernoulli com parâmetro θ. A função de probabilidade de X é:
pX (x) =
θx (1 − θ)1−x , se x = 1 ou x = 0
0, caso contrário
Notação: X ∼ Ber (θ).
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Distribuição de Bernoulli
Exemplos: Exemplos de observações que podem ser modeladas com a distribuição de Bernoulli:
Selecionar uma pessoa com probabilidade θ de ter uma doença.
Selecionar um item com probabilidade θ de ser defeituoso.
Lançar uma moeda com probabilidade θ =
1
2
de obter cara.
Distribuição de Bernoulli:
Suponhamos um experimento em que os resultados possuem uma caracterı́stica X que assume
apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc).
Associando uma das classificações ao número 1 e a outra ao número 0, diremos que X assume
valores no conjunto {0, 1}. Neste caso, supondo θ = P(X = 1), dizemos que X tem
distribuição de Bernoulli com parâmetro θ. A função de probabilidade de X é:
pX (x) =
θx (1 − θ)1−x , se x = 1 ou x = 0
0, caso contrário
Notação: X ∼ Ber (θ).
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Exemplo:
Função de probabilidade
Função de distribução acumulada
Figura:
Função de probabilidade e função de distribuição acumulada de uma v.a. X , tal que
X ∼ Ber (0.3).
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Distribuição de Binomial
Exemplos: Exemplos de observações que podem ser modeladas com a
distribuição binomial:
Número X de pacientes com uma determinada doença em uma
amostra de 10 pacientes, supondo que cada paciente tem
probabilidade 1% de ter a doença.
Quantidade Y de itens defeituosos em 1000 itens de uma determinada
produção, sendo que a probabilidade de um item ser defeituoso é 5%.
Número Z de caras obtidos em 60 arremessos de uma moeda honesta.
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Distribuição binomial: Suponhamos agora N realizações independentes de um experimento em
que os resultados possuem uma caracterı́stica que assume apenas duas classificações (como
sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc).
Associando uma das classificações ao número 1 (sucesso) e a outra ao número 0 (fracasso), seja
X a variável aleatória associada ao número de uns obtidos nas N realizações do experimento.
Supondo que a probabilidade de obter um 1 (sucesso) em cada uma das realizações é a mesma e
igual à θ, dizemos que X tem distribuição binomial com parâmetros N e θ. A função de
probabilidade de X é:
8
<
pX (x) =
: 0,
N
θx (1 − θ)N−x , se x = 0, 1, 2, ..., N
x
caso contrário
Notação: X ∼ Bin(N, θ).
OBS:
a) Ao dizer que as realizações do experimento são independentes, estamos
assumindo que o resultado de uma realização não influencia os resultados das
outras realizações.
b) Suponhamos uma sequência X1 , X2 , ..., XN de v.a. tais que Xi ∼ Ber (θ),
∀i ∈ {1, 2, ..., N}. A variável Y =
N
P
X
i
∼ Bin(N, θ).
i=1
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Exemplo: Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas,
com reposição, e defina uma v.a. X associada ao número de bolas pretas. Usando a definição
clássica de probabilidade,
a) construa o gráfico da função de probabilidade de X .
Solução:
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16 / 33
Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Algumas distribuições discretas
Exemplo:
Função de probabilidade
Função de distribução acumulada
Figura:
Função de probabilidade e função de distribuição acumulada de uma v.a. X , tal que
X ∼ Bin(10, 0.3).
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Valor esperado de uma variável aleatória discreta
Valor esperado de uma variável aleatória discreta
Definição: Suponhamos uma v.a. discreta X que assume valores no conjunto {x1 , x2 , ..., xN }. O
valor esperado de X é
E (X ) =
N
X
xi pX (xi ) = x1 pX (x1 ) + x2 pX (x2 ) + ... + xN pX (xN ) .
i=1
OBS:
O valor esperado também é chamado de esperança e expectativa.
O valor esperado é uma média dos resultados possı́veis ponderados por suas
probabilidades.
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Valor esperado de uma variável aleatória discreta
Exemplo: Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas,
com reposição, e defina uma v.a. X associada ao número de bolas pretas.
b) Usando a definição clássica de probabilidade, qual é o número esperado de
bolas pretas?
Solução:
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Valor esperado de uma variável aleatória discreta
Exemplo: Seja X uma v.a. tal que X ∼ Bin(10, 0.3).
a) Qual é o valor esperado de X ?
Solução:
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Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Variância de uma variável aleatória discreta
Variância de uma variável aleatória discreta
Definição: Suponhamos uma v.a. discreta X que assume valores no conjunto {x1 , x2 , ..., xN }. A
variância de X é
Var (X )
=
E ((X − E (X ))2 ) =
N
X
(xi − E (X ))2 · pX (xi )
i=1
=
(x1 − E (X ))2 · pX (x1 ) + (x2 − E (X ))2 · pX (x2 ) + ... + (xN − E (X ))2 · pX (xN ).
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
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21 / 33
Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Variância de uma variável aleatória discreta
Exemplo: Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas,
com reposição, e defina uma v.a. X associada ao número de bolas pretas.
c) Usando a definição clássica de probabilidade, qual é a variância do número de
bolas pretas?
Solução:
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
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22 / 33
Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Variância de uma variável aleatória discreta
Exemplo: Seja X uma v.a. tal que X ∼ Bin(10, 0.3).
b) Qual é a variância de X ?
Solução:
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23 / 33
Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade
Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas
Valor esperado e variância de algumas distribuições
discretas
Se X ∼ U(N), então E (X ) =
N+1
2
e Var (X ) =
N 2 −1
12 .
Se X ∼ Ber (θ), então E (X ) = θ e Var (X ) = θ(1 − θ).
Se X ∼ Bin(N, θ), então E (X ) = N · θ e Var (X ) = Nθ(1 − θ).
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
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2008
24 / 33
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Definição: Uma variável aleatória X é contı́nua se existe uma função fX (x) ≥ 0 tal que
Zx
FX (x) =
fX (t) dt,
∀x ∈ IR.
−∞
Se X for contı́nua, fX é chamada de função densidade de probabilidade de X , ou implesmente
densidade de X .
Observação: Temos que
Z∞
fX (t) dt = 1
−∞
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
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25 / 33
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Observações:
Quando não há dúvida sobre qual é a variável, podemos usar F , p e f
ao invés de FX , pX e fX , respectivamente.
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
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26 / 33
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Algumas distribuições contı́nuas
Distribuição Normal
Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição Normal de média µ e
variância σ 2 se tem densidade fX (x) dada por
!
2
1
1
(x
−
µ)
−
fX (x) = 2πσ 2 2 exp −
, com x ∈ IR.
2 σ2
Notação: X ∼ N(0, σ 2 ).
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27 / 33
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Algumas distribuições contı́nuas
Exemplo:
Densidade de uma N(0, 1).
Densidade de uma N(0, 1) em Densidade de uma N(0, 1) em
preto e densidade de uma
preto e densidade de uma
N(3,1) em azul.
N(0,4) em azul.
Figura:
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
Densidades de distrinuições normais.
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28 / 33
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Algumas distribuições contı́nuas
Exemplo:
Função de distribuição de uma Função de distribuição de uma Função de distribuição de uma
N(0, 1).
N(0, 1) em preto e função de N(0, 1) em preto e função de
distribuição de uma N(3,1) em distribuição de uma N(0,4) em
azul.
azul.
Figura:
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
Densidades de distrinuições normais.
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29 / 33
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Algumas distribuições contı́nuas
Distribuição Beta
Dizemos que uma v.a. tem distribuição Beta de parâmetros α e β se tem
densidade fX (x) dada por
B (α, β)−1 x α−1 (1 − x)β−1 , se 0 < x < 1
fX (x) =
,
0, caso contrário
onde
B (α, β) =
Γ (α) Γ (β)
Γ (α + β)
e
Z
Γ (α) =
∞
β α x α−1 exp (−βx) dx
0
Notação: X ∼ Be(α, β).
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
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2008
30 / 33
Variáveis Aleatórias Contı́nuas e Densidade
Algumas distribuições contı́nuas
Exemplo:
Densidades de algumas betas.
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
Funções de distribuição de
algumas betas.
ICE - UFJF
2008
31 / 33
Referências Bibliográficas
Referências Bibliográficas
Barry, R. James
(1981)
Probabilidade: um curso em cı́vel intermediário.
Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Projeto Euclides).
Joaquim Henriques Neto (UFRJ)
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2008
32 / 33
Referências Bibliográficas
FIM!
(?)
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