1 2 3 4 A) XB) C) D) XXX

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
2o semestre 00/01
1o EXAME DE ANÁLISE MATEMÁTICA II
Licenciatura em Engenharia Mecânica
26 de Junho de 2001 (9:00)
Exame 103PARTE A
Teste 303
Nome:
Número:
Sala:
O Exame que vai realizar tem a duração total de 180 minutos.
A Parte A, que corresponde ao 3o Teste, com a cotação de 10 valores é constituı́da por
8 perguntas. As 4 primeiras são de escolha múltipla; cada resposta certa vale 1 valor, cada
resposta em branco vale 0, e cada resposta errada vale -0.33.
As 4 últimas perguntas não são de escolha múltipla, tendo a Pergunta 5 três alı́neas, e os seus
valores figuram na terceira tabela.
Se pretende substituir os testes, peça a Parte B do Exame ao fim de uma hora.
Para as 4 primeiras perguntas, marque as suas escolhas na tabela abaixo.
1
2
3
A)
B)
C)
D) X X X
4
X
Os quadros abaixo destinam-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.
Número de Perguntas certas
Número de Perguntas erradas
Nota da Escolha Múltipla
Perg 5.a)
1.5 Val
Perg 5.b)
1 Val
Perg 6
1.5 Val
Perg 7
1 Val
Perg 8
1 Val
NOTA FINAL:
1
Problema 1 (1 valor)
Na figura abaixo estão representadas as curvas de nı́vel de uma funcão f (x, y) . As regiões
mais escuras correspondem a valores mais elevados e as mais claras a valores mais baixos de
f.
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Os pontos P1 = 23 , 23 , P2 = − 23 , 0 e P3 = 23 , − 32 estão também marcados
nesta figura.
Sabendo que os vectores gradiente de f (x, y) nestes pontos são v1 = 43 , − 43 , v2 = − 34 , 0
e v3 = 43 , 34 , determine a correspondência correcta entre pontos e gradientes:
A) ∇f (P1 ) = v2
∇f (P2 ) = v3
e
∇f (P3 ) = v1 .
B) ∇f (P1 ) = v3
∇f (P2 ) = v1
e
∇f (P3 ) = v2 .
C) ∇f (P1 ) = v1
∇f (P2 ) = v2
e
∇f (P3 ) = v3 .
D) ∇f (P1 ) = v3
∇f (P2 ) = v2
e
∇f (P3 ) = v1 .
2
Problema 2 (1 valor)
Seja f a função definida por:
f (x, y) =
x3
x2 +y 2
0
se
se
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
Considere as afirmações:
I f não é diferenciável em (0, 0) .
 −2 x4
3 x2
se
 (x2 +y2 )2 + x2 +y2
(x,
y)
=
II ∂f
∂x

1
se
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
0
III ∇f (0, 0) = (1, 0 ), e f(−2,
1 ) (0, 0) = −2.
IV A derivada de f no ponto (0, 0) segundo o vector (−2, 1 ) é − 85
A lista completa das afirmações correctas é:
A) I, III e IV
B) III
C) II, III e IV
3
D) I, II e IV
Problema 3 (1 valor)
Sejam F : R2 → R2 , V : R2 → R e f : R → R2 funções tais que:
F (x, y) = (−1 − y, −1 + x − y ) ,
V (x, y) = x − 2 x y − y 2 ,
f (0) = (0, 0)
e
f 0 (t) = F (f (t)) , ∀ t ∈ R .
Seja v = V ◦ f : R → R , v(t) = V (f (t)) . Supondo que v é uma função monótona, diga qual
das seguintes afirmações está correcta.
A) v(t) tem um máximo local em t = 0 .
B) v(t) é crescente.
C) v(t) tem um mı́nimo local em t = 0 .
D) v(t) é decrescente.
4
Problema 4 (1 valor)
Considere a função f (x, y) = (− x + 1) ( x − y 2) e as afirmações seguintes:
I. (1, 1 ) é um ponto de mı́nimo relativo para a função f .
II. (2, 1 ) é um ponto de sela para a função f .
III. 21 , 0 é um ponto de sela para a função f .
IV. 21 , 0 , (1, 1 ) e (1, −1 ) são pontos de estacionaridade da função f .
A lista de respostas correctas é:
A) IV
B) I
C) II eIII
5
D) I eIV
Problema 5 (2.5 valores)
Considere a função f : R2 → R definida por:

x3 − y 3

f (x, y) = x2 + y 2 (1 + sen2 x)

0
se (x, y) 6= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
a) (1.5 valores) Mostre que f é contı́nua em (0, 0).
b) (1 valor) Mostre que f é diferenciável no ponto (0, 1).
6
Problema 6 (1.5 valores)
Determine
a equação cartesiana do plano tangente à superfı́cie x3 + y 3 = 3xyz no ponto
1, 2, 32 .
Apresente todos os cálculos que efectuar.
7
Problema 7 (1 valor)
Determine uma primitiva da seguinte função:
√
arctg x
1 + x2
Apresente todos os cálculos que efectuar.
8
Problema 8 (1 valor)
2
Determine o volume do sólido que se obtém revolucionando a região delimitada por y = x 3 +1,
0 ≤ x ≤ 8, em torno do eixo dos yy.
Apresente todos os cálculos que efectuar.
9
10