Lista de exercícios 1
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PROGRAMA DE VERÃO 2017
Introdução ao Cálculo de Probabilidades - Diurno
Prof. Jorge
Lista I
Entregar os EXERCÍCIOS 3 e 13 em grupos de até 3 pessoas no dia 20/01/2017 no horário de aula.
1. De quantas maneiras 5 brasileiros, 7 colombianos e 3 peruanos podem sentar-se num banco de modo que
as pessoas de mesma nacionalidade permaneçam juntas? E se eles se sentarem de modo que os peruanos
estejam todos separados?
2. Quantos anagramas podem ser formados com as palavras a seguir:
(a) COMEDIA
(b) BIOLOGIA
(c) PALAVRA
(d) ARQUITETURA
(e) PARALELEPIPEDO
3. De quantas maneiras 8 pessoas podem ser postas em Fila se
(a) não há restrições
(b) as pessoas a e b não podem permanecer juntas
(c) Existem 4 homens e 4 mulheres, e todos eles são alinhados de modo que não haja pessoas do mesmo
sexo uma ao lado da outra
(d) existem 5 homens e eles devem ficar juntos
(e) existem 4 casais e eles devem ficar juntos
n
r−1
soluções de x1 + x2 + · · · + xn = r, para as quais
4. Argumente que existem exatamente
k
r−n+k
exatamente k dos xi são iguais a zero.
5. De um grupo de 8 homens e 6 mulheres será formada uma comissão de 3 homens e 3 mulheres. Quantas
comiss oes pode-se formar se
(a) 3 dos homens se recusam a trabalhar juntos
(b) 2 das mulheres se recusam a trabalhar juntas
(c) 1 homem e 1 mulher se recusam a trabalhar juntos
6. O conjunto A possui 3 elementos e o conjunto B possui 10 elementos. Quantas funções f : A → B existem?
Quantas delas são injetoras?
OBS: Uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a dois elementos
distintos em B.
7. Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Use as operações entre eventos para descrever
os seguintes eventos:
(a) Pelo menos um dos eventos ocorre
(b) Pelo menos A ou B ocorre, mas C não ocorre
(c) A e B ocorrem, mas C não ocorre
(d) A ocorre, mas B e C não ocorrem
(e) Exatamente um dos três eventos ocorre
8. Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Prove que
(a) (Ac )c = A
(b) A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )
(c) A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A)
(d) A ⊂ B implica B c ⊂ Ac e A ∪ B = B
9. Há dez pares de sapatos num armário e quatro pés de sapato são escolhidos ao acaso. Qual é a probabilidade
de que formem pelo menos um par?
10. Qual é a probabilidade de que em cinco lançamentos de uma moeda haja uma sequência (consecutiva) de
pelo menos 3 caras?
11. Uma moeda é lançada até que pela primeira vez o mesmo resultado apareça por duas vezes seguidas. A
cada possı́vel resultado de n lançamentos atribua a probabilidade 2−n . Qual é a probabilidade de que o
experimento termine antes do sexto lançamento. Qual é a probabilidade de que seja necessário um número
par de lançamentos para terminar o experimento?
12. n chaves são dados a um homem, das quais apenas uma serve para abrir a sua porta. Ele as experimenta
sucessivamente e ao acaso, sem repetições, até que consiga abrir a porta. Seja X a variável aleatória que
1
conta o número de tentativas. Mostre que P({X = i}) = , para i = 1, . . . , n.
n
13. A urna I contém 2 bolas brancas e 4 bolas vermelhas, e a urna II contém 1 bola branca e 1 bola vermelha.
Uma bola é selecionada ao acaso da urna I e posta na urna II, e então uma bola é selecionada ao acaso da urna
II.
(a) Qual é a probabilidade de que a bola selecionada da urna II seja branca?
(b) Qual é a probabilidade condicional de que a bola transferida seja branca dado que a bola escolhida da
urna II é branca?
2
14. Suponha que 5% dos homens e 0, 25% das mulheres são daltônicos. Uma pessoa daltônica é escolhida
aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que seja homem? Assuma que exista um número igual de homens
e mulheres.
15. Se a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por
0
se x < 0
1
se 0 ≤ x < 1
2
3
se 1 ≤ x < 2
5
F (x) =
4
se 2 ≤ x < 3
5
9
se 3 ≤ x < 3.5
10
1
se x ≥ 3.5
Construa o gráfico da distribuição acumulada de X e obtenha a função de probabilidade.
16. Determine as constantes a e b, para que a função F (x) seja a função de distribuição de alguma variável
aleatória contı́nua.
F (x) =
a − 2b
se x < 0
ax
se 0 ≤ x < 1
a + b(x − 1)
1
se 1 ≤ x < 2
se x ≥ 2
17. Dois dados justos são lançados. Seja X a variável aleatória correspondente ao produto dos dois resultados.
Calcule P({X = i}), i = 1, 2, . . ..
18. Sabemos que pen drives feitos por uma fábrica aprensentam defeitos independentementes um dos outros. A
fábrica vende pacotes contendo 10 pen drives e oferece garantia (devolve o dinheiro) de que no máximo um
entre os 10 seja defeituoso. Se comprarmos 3 pacotes qual é a probabilidade de que um dentre eles seja
devolvido?
19. Para condenar um acusado são necessários ao menos 9 votos de um júri composto por 12 pessoas. Suponha
que a probabilidade de que um jurado vote que um culpado seja inocente é 0, 2 e a probabilidade de que um
jurado vote que um inocente seja culpado é de 0, 1. Se cada jurado age de modo independente e se 65% dos
acusados são culpados, encontre a probabilidade de que o júri tome a decisão correta. Que porcentagem de
culpados são condenados?
20. O número de vezes que um indivı́duo tem gripe em determinado ano é uma v.a. com distribuição de Poisson
com λ = 5. Suponha que o novo medicamento reduz o parâmetro para λ = 3 para 75% da população. Para
os 25% restantes a droga não tem um efeito apreciável. Se um indivı́duo toma o medicamento durante um
ano e tem duas gripes, qual é a probabilidade de que o medicamento seja benéfico para ele?
3
