1 Exerc´ıcios de Probabilidade

IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabrı́cio Simões
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Exercı́cios de Probabilidade
1. Liste os elementos de cada um dos espaços amostrais a seguir:
(a) O conjunto de inteiros entre 1 e 50 divisı́veis por 8
(b) O conjunto S = {x | x2 + 4x − 5 = 0}
(c) O conjunto de resultados quando uma moeda é lançada até uma coroa aparecer ou três caras aparecerem.
Considere um máximo de 4 lançamentos
(d) O conjunto S = {x | 2x − 4 ≥ 0 e x < 1}
2. Um experimento consiste em jogar um par de dados, um verde e um vermelho, e anotar os números obtidos.
Se x é um resultado do dado verde e y, o resultado do dado vermelho, descreva o espaço amostral S listando
os elementos (x, y).
3. Um inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1,2,...,50. Qual será a probabilidade de que o número
escolhido seja divı́sivel por 6 ou por 8?
4. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara três vezes mais freqüentemente que coroa. Essa moeda
é jogada três vezes. Seja X o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidade de
X. Faça um esboço do gráfico da distribuição de probabilidade.
5. A probabilidade de fechamento dos interruptores A e B do circuito apresentado na Figura 1 é dada por p.
Se todos os interruptores funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente
entre os terminais L e R.
A
p
L
i(t)
R
B
i(t)
p
Fig. 1: Sistema
6. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso sem reposição. Seja
X o número de peças defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X. Dica: Use
a distribuição de Bernoulli.
7. Seja X a duração da vida de uma válvula eletrônica e admita-se que X possa ser representada por uma
variável aleatória contı́nua, com fpd f(x) = b exp(−bx), x ≥ 0. Seja pj = P (j ≤ X < j + 1). Verifique que
pj é da forma (1 − a)aj e determine a.
8. Seja X uma variável aleatória contı́nua, com fdp dada por
f(x) = ax, 0 ≤ x ≤ 1,
= a, 1 ≤ x ≤ 2,
= −ax + 3a, 2 ≤ x ≤ 3,
= 0, para quaisquer outros valores.
(a) Determine a constante a.
(b) Se X1, X2 e X3 forem três observações independentes de X, qual será a probabillidade de, exatamente,
um desses três números ser maior do que 1,5?
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9. Determine o valor de c de modo que a função a seguir seja uma distribuição de probabilidade da variável
aleatória X
f (x) = c(x2 + 4), para x = 0, 1, 2, 3
10. O tempo de falha em horas de um importante componente de um equipamento eletrônico usado na fabricação
de DVD player tem a função densidade de probabilidade dada por
(
f (x) =
1
(−x/2000) ,
2000 e
x≥0
0, x < 0
Determine a probabilidade do componente falhar antes de 2000 horas.
11. Dado que um sinal de voz pode ser modelado através de uma densidade de probabilidade Laplaciana
f (v) =
α −α|v|
e
,
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calcule a probabilidade de que o sinal esteja acima de zero.
12. Mostre que a função abaixo pode representar uma fdp e calcule o valor médio do sinal x(t) associado.
f (x) =
sin(x)
[u(x) − u(x − π)]
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13. Um componente eletrônico tem um tempo de vida modelado pela função densidade de probabilidade dada
por
f (t) =
Encontre a média e a variância.
t −(t/a)2
e
, t > 0 e a = 104
a2
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Respostas
1. S1 = {8, 16, 32, 40, 48}, S2 = {1, −5}, S3 = {Co , Ca Co , Ca Ca Ca , Ca Ca Co } e S4 = {1/2 ≤ x < 1}
2. Todas as possı́veis combinações, por exemplo, S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . ..
3. P =
12
50
4. P (X = 0) = (1/4)3 , P (X = 1) = 3(1/4)2 (3/4), P (X = 2) = 3(3/4)2 (1/4), P (X = 3) = (3/4)3
5. 2p − p2
6. 0,41; 0,41; 0,15 e 0,0256.
7. pj = e−jx (1 − e−x ) e a = e−x
8. a = 1/2 e P = 3/8;
9. c = 1/30
10. P (x < 2000) = 0, 64
11. P = 1/2
12. f (x) é uma função densidade de probabilidade.
13.
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