3a Lista de Exerc´ıcios – Probabilidade

3a Lista de Exercı́cios – Probabilidade
1. Em uma gaveta existem 2 maços de baralho fechados. Um deles é um baralho comum
de 52 cartas (de ás a rei, quatro naipes) e outro é um baralho de truco com 40 cartas
(não possui as cartas de números ‘8’, ‘9’ e ‘10’). Um dos maços é retirado da gaveta
ao acaso e depois uma carta é sorteada ao acaso do baralho retirado.
(a) Qual a probabilidade de se sortear uma carta de número ‘5’ ?
(b) Sabendo-se que foi sorteado um número (i.e., não foi sorteado ás, valete, dama
nem rei), qual a probabilidade de o baralho retirado ter sido o baralho de truco?
2. (a) Seja X uma variável aleatória e defina Y = |X| − 1. Mostre que Y é variável
aleatória.
(b) Se f (t) = c t2 I(0,2) (t) é função de densidade, ache c.
(c) Se X ∼ exp(λ) e Y = 5X, ache a distribuição acumulada de Y . Ache a função
de distribuição condicional e a densidade condicional de Y dado que X > 3.
3. (a) A densidade conjunta de X e Y é dada por
c(x + y + 1 + xy), se 0 < x < 1, 0 < y < 1
f (x, y) =
0,
caso contrário.
Encontre c. Diga se X e Y são independentes e por quê.
(b) Se X e Y são contı́nuas e independentes, com funções de densidade dadas por
fX e fY , respectivamente, mostre que
Z ∞
fX (t)fY (x − t)dt.
fX+Y (x) =
−∞
(c) Se X e Y são i.i.d.P
com distribuição
Poisson(λ), mostre que X+Y ∼ Poisson(2λ).
k
k l k−l
k
Dica: (a + b) = l=0 l a b .
4. (a) Se X ∼ U [a, b], calcule EX e V X.
(b) Se X e Y têm densidade conjunta
−x −y
xe e , se x > 0, y > 0,
f (x, y) =
0,
caso contrário,
calcule E(X + Y ) e V (X + Y ).
(c) Considere uma seqüência de variáveis aleatórias X1 , X2 , X3 , . . . i.i.d. com distribuição Bernoulli(p). Quantas realizações são suficientes para que a média
amostral, dada por
n
1X
Xn (ω),
X̄n (ω) =
n
j=1
não difira de seu valor esperado p por mais de 0,01, com probabilidade mı́nima
de 0,95? (Sugestão: Desigualdade de Chebyshev)
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