Probabilidade e Inferência

Probabilidade e Inferência
José Victor Gomes
última modificação em 07 de março de 2016
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1
Probabilidade
1.
Distribuições
• Normal: X ∼ N (µ, σ 2 ), χ = x ∈ R
- Função de Probabilidade:
1
2
exp(− 21 ( x−µ
f (x) = √2πσ
2
σ ) )
• Binomial: X ∼ Bin(n, p), χ = [a, b]
- Distribuição de Probabilidade:
p(X = i) = ni pi (1 − p)n−i
- Valor esperado:
E[X] = np
-Variância:
V ar(X) = np(1 − p)
- FGM:
MX (t) = ((1 − p) + pet )n
- Função de Distribuição Acumulada:
Olhar tabela
- Valor Esperado:
E[X] = µ
- Variância:
V ar(X) = σ 2
- FGM:
2 2
MX (t) = exp(µt + σ 2t )
• Poisson: X ∼ P oi(λ), χ = x ∈ N
- Distribuição de Probabilidade:
−λ i
P (X = i) = e i! λ
- Valor esperado:
E[X] = λ
- Variância:
V ar(X) = λ
- FGM:
t
MX (t) = eλ(e −1)
• Exponencial: X ∼ Exp(λ), χ = x ∈ R+
- Função de Probabilidade:
f (x) = λe−λx
- Função de Distribuição Acumulada:
FX (x) = 1 − e−λx
- Valor Esperado:
E[X] = λ1 (pode ser λ)
- Variância:
V ar(X) = λ12 (pode ser λ2 )
- FGM:
λ
MX (t) = λ−t
• Geométrica: X ∼ Geo(p), χ = x ∈ N
- Distribuição de Probabilidade:
P (X = i) = (1 − p)i p
- Valor esperado:
E[X] = p1
- Variância:
V ar(X) = 1−p
p2
-FGM:
p
MX (t) = 1−(1−p)e
t
• Gama: X ∼ Gamma(α, β), χ = x ∈ R+
- Função de Probabilidade:
f (x) =
• Hipergeométrica: X ∼ H(n, N, m), χ = x ∈ N
- Distribuição de Probabilidade
(m)(N −m)
P (x = i) = i Nn−i , i = 1, ..., n
(n)
- Valor esperado:
E[X] = nm
N
- Variância:
(n−1)(m−1)
V ar(X) = nm
+ 1 − nm
N [
N −1
N ]
β α xα−1 e−βx
,
Γ(α)
x/in(0, 1) e α, β > 0
- Valor Esperado:
β α
E[X] = ( β−t
)
- Variância:
V ar(X) = βα2
- FGM:
−α
MX (t) = ( β−t
β )
OBSERVAÇÃO: Propriedades da Função Gama:
- Γ(x) = (x − 1)!
- Γ(1) = 1
- Γ( 2)=1√π
• Uniforme: X ∼ U (a, b), χ = x ∈ [a, b]
- Função de Probabilidade:
1
f (x) = b−a
- Função de Distribuição Acumulada:
FX (x) = x−a
b−a
- Valor esperado:
E[X] = a+b
2
- Variância:
2
V ar(X) = (a−b)
12
- FGM:
bt
−eat
MX (t) = et(b−a)
• Beta: X ∼ Beta(α, β), χ = x ∈ (0, 1)
- Função de Probabilidade:
Γ(α+β) α−1
f (x) = Γ(α)Γ(β)
x
(1 − x)β−1 , x ∈
- Valor Esperado:
α
E[X] = α+β
- Variância:
V ar(X) = (α+β)2αβ
(α+β+1)
2
2.
Equivalências de distribuições
• Função de distribuição acumulada:
Y = F (x) ∼ U (0, 1)
• Função de distribuição acumulada:
W = − log F (x) ∼ Exp(1)
• t-de-Student e F:
T ∼ t(ν) ⇒ T 2 ∼ F (1, ν)
• Chi-quadrado e F:
X ∼ χ2(ν1 ) ⊥ Y ∼ χ2(ν2 ) ⇒ F =
X/ν1
Y /ν2
∼ F (ν1 , ν2 )
• Variância Amostral, Populacional e F:
2
X1 , ..., Xn aa, X ∼ N (µX , σX
) ⊥ Y1 , ..., Yn aa, Y ∼ N (µY , σY2 ) ⇒
2
2
σY
SX
2 σ2
SY
X
F =
∼ F (n − 1, m − 1)
• F:
F ∼ F (ν1 , ν2 ) ⇒
1
F
∼ F (ν2 , ν1 )
• Normal Padrão, Chi-quadrado e t-de-Student:
X ∼ N (0, 1) ⊥ Y ∼ χ2(n) ⇒ T = √X ∼ t(n)
Y /n
• Normal Padrão:
x̄−µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
• Variância populacional e t-de-Student:
X̄−µ
√
S/ n
∼ t(n−1)
• Variâncias populacional e amostral e Chi-quadrado:
(n−1)S 2
σ2
∼ χ2(n−1)
• Normal padrão e Chi-quadrado:
Pn Xi −µ 2
2
i=1 ( σ ) ∼ χ(n)
• Exponencial, Gama e Chi-quadrado:
(a)
(b)
(c)
(d)
X ∼ Exp(λ) ⇐⇒ X ∼ Gamma(1, λ)
Pn
Xi ∼ Exp(λ) ⇒ i=1 Xi ∼ Gamma(n, λ)
Pn
X ∼ Exp(λ) ⇒ λ i=1 Xi ∼ Gamma(n, 1)
Pn
X ∼ Exp(λ) ⇒ 2λ i=1 Xi ∼ χ2(2n)
• Gama e Chi-quadrado:
X ∼ Gamma( ν2 , 12 ) ⇐⇒ X ∼ χ2(ν)
• Normal, Variância Amostral e t-de-Student (σ 2 desconhecido)
2
X ∼ N (µX , σX
)⇒Q=
X̄−µ
√X
SX / n
∼ t(n−1)
• Normal e t-de-Student:
X −µY )
√Ȳ )−(µ
T = (X̄−
∼ t(n+m−2) , SP2 =
1
1
2
( m + n )SP
2
2
(n−1)SX
+(m−1)SY
m+n−2
• Diferença de Normais:
X ∼ N (µX , σ 2 ) ⊥ Y ∼ N (µY , σ 2 ) ⇒ Z =
(X̄−Ȳ )−(µX −µY )
√
1
1
(m
+n
)σ 2
3
∼ N (0, 1)