Problemas sobre osciladores simples

Universidade de Coimbra
mecânica Clássica II | 2009.2010
Problemas sobre osciladores simples
1. Um objecto com 1 kg de massa está suspenso por uma mola e é posto a oscilar.
2
Quando a aceleração do objecto é 1.7514 cm/s , a elongação da mola é 43.735 cm.
Calcule a constante elástica da mola.
2. Uma barra horizontal homogénea está suspensa de duas molas iguais, ligadas em
paralelo. A massa das molas é desprezável.
(a) Analise as forças em presença e escreva a equação diferencial de movimento
da barra.
(b) Calcule a frequência de oscilação.
3. Um corpo está suspenso de duas molas, ligadas em série. A massa das molas é
desprezável.
(a) Analise as forças em presença e escreva a equação diferencial de movimento
do corpo.
(b) Calcule a frequência de oscilação.
4. Considere um oscilador linear livre, de massa m, caracterizado por uma força F~ =
−k~x, com atrito F~a = −b~v , com b constante. Mostre que
(a) a equação diferencial de movimento tem a forma ẍ +
b
m ẋ
+
k
mx
= 0;
p
k/m;
(b) obtenha a solução geral da equação;
(c) sem amortecimento a frequência angular de oscilação é ωo =
p
b
1
(d) a frequência de oscilação é ν = 4π
ζ 2 − 4ωo2 , com ζ = m
.
5. Considere o problema anterior.
(a) Calcule a energia do oscilador ao longo do tempo e represente-a graficamente;
(b) Mostre que se ζ ≪ ω0 (sub-amortecimento), a energia total média do oscilador
decresce exponencialmente com o tempo, i.e. < E(t) >= E0 e−ζt .
(c) Represente graficamente a potência dissipada, em função do tempo.
6. Uma barra homogénea pode rodar sem atrito em torno de um ponto da barra
situado a 32 ℓ, de uma das extremidades (onde ℓ é o comprimento).
(a) Obtenha a equação diferencial de movimento.
(b) Determine o perı́odo das oscilações de pequena amplitude.
7. Um anel circular homogéneo, de raio R, está suspenso de um prego e pode rodar
sem atrito.
(a) Obtenha a equação diferencial de movimento.
(b) Determine o perı́odo das oscilações de pequena amplitude.
8. Um tubo cilı́ndrico é fechado numa das extremidades e tem na outra um êmbolo
de massa m, que se desloca sem atrito. No tubo há um gás ideal.
(a) Obtenha a equação diferencial de movimento do êmbolo para oscilações
abiabáticas de pequena amplitude.
(b) Calcule a frequência de oscilação do êmbolo.
9. Represente a trajectória de um oscilador livre no espaço de fase e mostre que é uma
elipse se não houver atrito. Verifique também que a trajectória é uma espiral caso
haja atrito.
10. Um corpo de 2 kg está pendurado de uma mola de massa desprezável . A constante
elástica é 80 N/m e a força de atrito é da forma F~a = −γ~v , sendo ~v a velocidade
em
m/s. A aceleração da gravidade é g. A frequência de oscilação do sistema é
√
3
2 ω0 , com ω0 a frequência das oscilações sem atrito.
(a) obtenha a equação diferencial que descreve as oscilações do sistema.
(b) calcule o valor da constante γ.
(c) calcule o factor de redução da amplitude de oscilação após 2 ciclos.
11. Uma massa m = 1 kg está suspensa de uma mola de constante K = 0.9 N/m
e oscila dentro de um lı́quido viscoso sujeita a uma força de atrito F~a = −γ~v .
A energia mecânica média do sistema reduz-se a 1/e do seu valor inicial em 4 s.
Determine o valor da constante γ.
12. A energia potencial da molécula diatómica
NaF apresenta um mı́nimo para uma
distância interatómica r0 ≈ 0.193 nm (ver
fig.). A ligação é iónica, i.e. para r > r0
domina a interacção colombiana entre as nuvens electrónicas de Na+ e F− . Quando
r < r0 , começa a dominar o potencial repulsivo entre os dois núcleos. Considere
que em r ∼ r0 a energia potencial ainda é
1 e2
V ≈ 4πǫ
2.
0 r
U
r0
r
(a) Faça uma expansão de V em série de Taylor em torno de r0 e obtenha o
valor da frequência de oscilação da molécula para pequenas amplitudes. Verifique que essa frequência corresponde à gama do infravermelho do espectro
electromagnético.
(b) Qual é a frequência de ressonância da molécula?
13. Um pêndulo de torção é constituı́do por um fio de aço fino no qual está pendurada,
pelo centro de massa, uma barra homogénea m, de comprimento ℓ. A constante
de torção do fio é κ. Obtenha a equação diferencial de movimento da barra, e a
frequência das oscilações de torção.
2
14. Um corpo de massa m flutua na superfı́cie de um lı́quido de densidade ρf . A
aceleração da gravidade é g. O corpo oscila livremente em torno da sua posição de
equilı́brio, sem atrito. Obtenha a equação diferencial de movimento e a frequência
de oscilação do corpo.
15. Uma esfera rola sem escorregar na superfı́cie interior de uma calote esférica, sob
acção do campo gravitacional. Obtenha a equação diferencial de movimento e a
frequência de oscilação da esfera, no limite de pequenas amplitudes. Compare com
o perı́odo de um pêndulo simples.
16. Um corpo de massa m está pendurada numa mola homogénea de massa m′ e
constante elástica K. Calcule a frequência de oscilação do corpo e compare com a
situação em que a massa da mola é desprezável.
17. O condensador do circuito da fig. está carregado com uma carga q = q0 . O interruptor é fechado no instante t = 0 e a carga
oscila enquanto houver energia disponı́vel.
Despreze os efeitos radiativos. Obtenha a
equação diferencial do circuito e a frequência
de oscilação da carga.
C
I
L
R
18. Uma bobine de 0.1 H, está ligada em série com um condensador de 0.1 µF e uma
resistência R.
(a) Calcule a gama de valores de R para os quais o circuito não entra em oscilação.
(b) Se R = 100 Ω, calcule a frequência das oscilações que ocorrem no circuito.
(c) Qual é a constante temporal caracterı́stica do circuito?
Osciladores forçados
1. Uma massa m oscila linearmente sujeita a uma força F~ = −k~x e sob uma condição
de atrito F~a = −γ~v , com ~x e ~v a perturbação e a velocidade, respectivamente. Está
também presente uma força externa F = F0 cos ωt. O movimento dá-se a uma
dimensão.
(a) Mostre que a equação diferencial de movimento é ẍ +
k
com ω0 = m
.
γ
m ẋ
+ ω02 x =
(b) Obtenha a solução mais geral da equação diferencial e interprete-a.
3
F0
m
cos ωt,
2. Um pêndulo simples é constituı́do por por uma bola de massa m suspensa de
um fio de comprimento ℓ (e massa desprezável). O atrito é tal que a amplitude
se reduz a 1/e do valor inicial em 50 ciclos. O ponto de suspensão do pêndulo
é obrigado a oscilar horizontalmente, em movimento de vai-vem da forma ξ =
ξ0 cos ωt. Considere as condições do regime estacionário.
(a) Mostre que a equação diferencial de movimento é da forma ẍ + ζ ẋ + ω02 x = gℓ ξ,
com ω0 = gℓ .
(b) Resolva a equação e obtenha a frequência de ressonância do sistema.
(c) Qual é o valor da amplitude em condições de ressonância ?
(d) Calcule a potência média transferida para o sistema em condições de ressonância.
3. Um objecto de massa m oscila sob a acção de uma força exterior (em regime
estacionário). O atrito é do tipo F~ = −γ~v , com γ = 5 Hz. A frequência natural do
sistema é ν0 = 50 Hz.
(a) calcule a energia total do sistema em função do tempo.
(b) a razão entre as energias cinética e potencial médias em função de ν/ν0 .
(c) Quais são os valores de ω para os quais a energia cinética é igual à energia
potencial?
(d)
4. Um objecto de massa m = 0.2 kg está pendurado numa mola de constante elástica
K = 80 N/m. A força de atrito é dada por F~a = −γ~v , com γ = 4 Ns/m.
(a) Obtenha a equação diferencial de movimento e calcule o perı́odo de oscilação.
Compare com o perı́odo do mesmo oscilador se não houvesse atrito.
(b) Seguidamente o oscilador é excitado através de uma força exterior F =
F0 cos ωt, com F0 = 2 N e ω = 30rad/s. No estado estacionário,
i.
ii.
iii.
iv.
qual
qual
qual
qual
é
é
é
é
a
a
a
a
amplitude das oscilações forçadas?
fase do movimento oscilatório em relação à força aplicada?
energia dissipada em cada ciclo?
potência média fornecida ao sistema?
5. Um objecto de massa m = 2 kg está pendurado numa mola de massa desprezável.
A mola sofre uma deformação de 2.5 cm quando o dito objecto está pendurado e
parado. O topo da mola é forçado a oscilar com frequência ω e amplitude ξ0 = 1
mm. O factor de mérito do sistema é Q = 15. Calcule
(a) a frequência natural do sistema, ω0 .
(b) a amplitude das oscilações forçadas, quando ω = ω0 .
(c) verifique que a potência média fornecida ao sistema é dada por
< P (ω) >=
ζF02
1
2m 4(ω − ω0 )2 + ζ 2
com ζ uma constante de amortecimento.
4
6. Um anel de massa m desliza sem atrito dentro de um arco circular de raio R,
colocado ao alto. O arco roda com velocidade angular Ω em torno da vertical.
(a) escreva o Lagrangiano do sistema e obtenha as equações diferenciais de movimento do anel.
(b) calcule o valor da velocidade angular, Ωc , abaixo do qual o ponto mais baixo
do arco é um ponto de equilı́brio estável e calcule a frequência das (pequenas)
oscilações do anel em torno desse ponto.
(c) calcule a posição de equilı́brio estável para Ω > Ωc .
(d) interprete o resultado da alı́nea anterior à luz da solução das equações de
Newton para anel. Calcule a frequência de pequenas oscilações em função de
Ω.
5