Engenharia do Ambiente 2º Teste de Mecânica dos Fluidos (1º semestre, 3º ano) (19 de Dezembro de 2013) Duração 1h30. Justifique todas as respostas. Problema I y x A Figura representa uma distribuição de concentração de uma descarga pontual atmosférica sujeita a transporte advectivo e difusivo (turbulento). Admita que se trata de um poluente conservativo (sem fontes nem poços). a) O transporte pela velocidade (advectivo) faz-se ao longo do eixo xx e o transporte difusivo ao longo do eixo yy. Qual destes fluxos é o mais importante? Poderia a partir da figura estimar a importância relativa dos dois fluxos? (2.0 val) b) Qual a relação entre a divergência dos fluxos advectivo e difusivo? (2.0 val) c) Se a velocidade do ar baixasse, o que aconteceria à largura da mancha laranja? (2.0 val) Resolução a) O fluxo mais importante é o advectivo porque a mancha é muito mais longa na direcção xx do que na direcção yy. Se o transporte advectivo fosse nulo a mancha seria circular. A importância relativa dos dois pode ser medida pela razão entre o comprimento de uma isolinha na direcção xx e na direcção yy (subtraindo 1, porque seriam iguais se existisse só difusão). b) Se o escoamento for estacionário a concentração num ponto mantém-se. Se o produto for conservativo o que entra é igual ao que sai e por isso a divergência é nula. Os dois únicos termos da equação de transporte são o termo advectivo e difusivo, que representam respectivamente as divergências dos fluxos correspondentes e por isso as divergências desses dois fluxos são simétricas. c) Se a velocidade do ar baixasse o transporte advectivo perderia importância e a razão entre a largura da mancha e o seu comprimento teria que aumentar. Por outro lado se a velocidade baixasse a intensidade de turbulência baixaria e por isso a dispersão baixaria, o que implicaria que a região com concentração elevada aumentasse de volume. Problema II Um carro a deslocar-se à velocidade de 100 km/h precisa de uma potência de 15 kw para vencer a força de resistência aerodinâmica. De que potência necessitará para vencer a mesma força de resistência quando se se deslocar a 200 km/h? Que hipótese teve de fazer para resolver o problema? (3 val) Resolução As velocidades são elevadas (100km/h = 100000/3600=32m/s) e por isso o Re é elevado. Se a largura do carro fosse 1.6 m Re seria 5E06. Vamos por isso admitir que o coeficiente de resistência se mantém constante. Nesse caso a força de resistência aumentará para o quádruplo (é proporcional ao quadrado da velocidade) e a potência aumentará 8 vezes (é proporcional à força vezes a velocidade e por isso ao cubo da velocidade). A Potência será por isso de 120 kw. Problema III A Figura ao lado representa dois perfis de velocidade numa camada limite. a) Para cada um dos perfis desenhe os perfis de tensão de corte e a divergência do fluxo difusivo (termo difusivo) (2 valores) b) Num dos casos o gradiente de pressão é adverso. Diga em qual. (2 val) c) O perfil superior corresponde a um escoamento laminar. Esboce a forma que teria se o escoamento fosse turbulento. Poderia dizer que a tensão de corte na parede era superior? (2 val) Resolução a) A tensão de corte é o produto da viscosidade pelo gradiente de velocidades. O primeiro perfil não tem ponto de inflexão e por isso a tensão de corte baixa desde a parede (onde é máxima) até ao limite da camada limite onde é nula. A divergência do fluxo difusivo é o termo difusivo e será sempre negativa pois todas as camadas perdem mais quantidade de movimento para a camada de baixo do que recebem da de cima. Se o perfil de tensão de corte fosse linear, a segunda derivada seria constante. Como no limite da camada limite a tensão tende assimptoticamente para zero, o termo difusivo também. A curva deve ser do tipo da curva a vermelho e não da curva a azul (que foi retirada da internet….) b) Quando o gradiente de pressão é adverso o perfil de velocidades apresenta um ponto de inflexão entre a parede e o limite da camada limite e por isso o segundo perfil corresponde a um caso com gradiente de pressão adverso. Sobre a parede a velocidade é nula e por isso a equação fica só com o termo de pressão (simétrico do gradiente) e o termo difusivo (2ª derivada da velocidade). Se o gradiente de pressão for positivo a segunda derivada da velocidade tem que ser positiva. Como na parte superior da camada limite ela tem que ser negativa isso significa que tem que haver ponto de inflexão quando o gradiente de pressão é positivo. c) Se o escoamento fosse turbulento, a difusividade aumentaria e consequentemente o perfil de velocidade ficaria mais cheio junto à parede (perfil a vermelho). Problema IV A Figura representa um sifão que despeja um reservatório. Assuma que H = 5 metros e que o comprimento total do tubo são 15 metros, que a rugosidade do tubo é 0.3 mm e que o diâmetro são 3 cm. a) Calcule o caudal escoado se não existisse dissipação de energia. (1 val) b) Calcule o caudal escoado se o escoamento fosse completamente rugoso (2 val) c) Será o escoamento completamente rugoso? (2 val) Resolução a) Se não existisse dissipação de energia toda a energia potencial perdida pela água se transformaria em energia cinética. Aplicando a equação de Bernoulli calcularíamos a velocidade e chegaríamos a: v 2gH =10m/s e o caudal seria o produto desta velocidade pela área da secção, Q v * D2 4 0.01m3 / s 7L / s b) Se o escoamento fosse completamente rugoso, o coeficiente de atrito seria independente de Re. Sendo a rugodidade relativa 0.001, o coeficiente de atrito seria 4f=0.02. A equação de Bernoulli v v L generalizada seria: H 2g 2g 4f D 2 10 2 v2 15 1 0.02 2g 0.03 2 * 9 .8 * 5 3m / s 1 10 Q 2.1L / s V c) Para verificar se o escoamento é completamente rugoso tenho que calcular Re e verificar no diagrama de Moody qual o coeficiente de atrito que corresponde a este Reynolds. UD 3 * 0.03 Re 9 * 10 4 e por isso o escoamento ainda não era completamente rugoso.4f seria 0.022 10 6 e o caudal seria menor do que o calculado. Para o conhecermos deveríamos repetir os cálculos da alínea b) e fazer um processo iterativo, até que a solução convergisse. Repetindo com 0.022 obteríamos a velocidade de 2.9 e por isso o valor lido no diagrama de Moody já não se alteraria. O caudal real deve por isso ser ligeiramente inferior ao calculado em b).