Aula Teórica 2

Velocidade e difusividade
Fluxo Advectivo e Fluxo Difusivo.
Matéria: Sólidos e Fluidos
• A Matéria é constituída por moléculas.
• Nos sólidos as moléculas mantêm as posições
relativas e nos fluidos não.
• Nos gases as moléculas movem-se
independentemente umas das outras
• Nos líquidos movem-se em grupos.
• Um corpo sólido pode ter movimentos de
rotação e de translação. Na translação todas
as moléculas têm a mesma velocidade.
O que é a velocidade num fluido?
• A velocidade num escoamento é o caudal
volúmico por unidade de área.
dQ
un 
dA
• Velocidade “zero” significa deslocamento
médio das moléculas nulo.
• Cada molécula (num gás) tem a sua
velocidade e cada grupo de moléculas (num
líquido) tem a sua velocidade e não são
nulos...
• O movimento não descrito pela velocidade é
contabilizado na difusividade.
Fluxo Advectivo
• Se existe velocidade existe movimento global do
fluido, com um saldo não nulo do deslocamento
das moléculas.
• O vector velocidade indica a direcção e o sentido
do deslocamento e o fluxo volúmico por unidade
de área perpendicular à velocidade.
• O fluxo através de uma área elementar,
dA, genérica (cuja orientação é
determinada pela normal) é dado por:

dQ  v.ndA
Fluxo advectivo (continuação)
• O fluxo através de uma área de dimensões
finitas é dado pelo integral do fluxo através de
uma área elementar:

dvol
  v .ndA
dt
A
• E tem como unidades volume por unidade de
tempo (fluxo volúmico).
Se a velocidade ser uniforme na área
• Se a velocidade for uniforme na área pode sair
do integral e o caudal é dado por:

Q   u .n dA  u A  uA
• A velocidade média é dada por:
Q
U
A
Fluxo através de uma área fechada
• No caso de uma área fechada (que delimita um
volume) o integral do fluxo dá a quantidade que
sai, menos a quantidade que entra.
• Se o volume for indeformável e o fluido for
incompressível não poderemos variar a
quantidade de fluido armazenado no seu interior
e por isso o fluxo que sai é igual ao que entra e
consequentemente o valor do integral é nulo.
Fluido que entra e fluido que sai
• O fluido entra quando o produto interno da
velocidade pela normal é negativo e sai
quando é positivo (porque a normal é a
normal exterior).
• Como consequência o fluxo que entra numa
superfície é dado pelo simétrico do integral
anterior.
Sumário
• A velocidade é o caudal volúmico através de uma
área elementar. Define-se por isso num ponto e
tem unidades de “deslocamento por unidade de
tempo”.
• O caudal através de uma área de dimensões
finitas é o integral na área da velocidade interna
da normal à área (componente da velocidade
normal à área).
• Se a área for fechada o integral do caudal é o
integral de volume da divergência da velocidade.
Fluxo advectivo
• O integral de superfície da velocidade dá o
fluxo volúmico de uma propriedade através da
superfície.
• O fluxo de uma propriedade é dado por
“propriedade”/tempo. No caso da massa o
fluxo mássico é “massa/tempo”.
Fluxo Advectivo (cont)
prop
tempo

prop
volume
x
volume
tempo


prop
volume


u.n dA
Ou, no caso de uma área de dimensões finitas:
prop
tempo

  cu.n dA
A
No caso da quantidade de movimento

c  u
No caso da energia cinética
1 2
c  u
2
Sumário
• A velocidade permite calcular o fluxo advectivo
de qualquer propriedade, desde que conhecido
o seu valor específico (valor por unidade de
volume). No caso da massa de um constituinte
esse valor é a concentração volúmica.
• Se a concentração volúmica for uniforme na
área pode sair do integral e o fluxo é dado pelo
produto da concentração pelo caudal:

m   cu.n dA  cQ
A
• É com base nesta hipótese que os programas de
monitorização em rios medem concentrações e caudais.
Difusão
As figuras abaixo representam dois fluidos, um branco e um preto). A
figura superior representa as moléculas e a inferior a vista
macroscópica. Na situação a) existe um diafragma a separá-los.
Quando se retira o diafragma inicia-se a mistura b). Quando o
gradiente é nulo a probabilidade de uma molécula preta passar para
a esquerda é igual à de uma outra passar para a direita e o fluxo
resultante é nulo.
(a)
(a)
(b)
(b)
(c)
(c)
Difusividade
Quando retirarmos o diafragma as moléculas
passam de um lado para o outro. O saldo do
fluxo é o fluxo difusivo.
Cx
Cx+∆x
 d  cl  cl  l ub
c
 d  l.ub
l
O fluxo de moléculas de um tipo para cada
um dos lados é proporcional à concentração
e à velocidade de cada molécula. O saldo é
dado por:
Mas,
c
cl  cl l    l
l
A difusividade é o produto do comprimento do
deslocamento pela diferença entre a velocidade de
uma porção de fluido e a usada na advecção.
Ver texto sobre propriedades dos fluidos e do campo de velocidades
Difusividade
• A difusividade é definida como   l.ub onde:
• u b é a velocidade não resolvida na nossa definição de
velocidade (browniana no caso do escoamento laminar
e flutuação turbulenta no caso do escoamento
turbulento, de sub-malha no caso dos modelos
matemáticos)
• l é a distância percorrida pela porção de fluido que
se desloca a essa velocidade, até adquirir uma nova
velocidade por ter chocado com outra porção de fluido
(no mínimo uma molécula).
2 1
L
T
• A difusividade tem sempre dimensões:
Fluxo Difusivo
• É o fluxo produzido pela difusividade:
 Dif 
 



c
n j dA
 c .n dA     

x j 
A

A

• O fluxo difusivo através de uma superfície é no
sentido contrário da componente do gradiente
perpendicular a essa superfície.
• O fluxo difusivo é nulo quando o gradiente da
propriedade é nulo.
E no caso da quantidade de
movimento?
• Escoamento com gradiente
de velocidade.
• Se uma porção de fluido (e.g. molécula) desce da zona de maior
velocidade para a de menor, vai aumentar a velocidade nessa zona.
Nesse caso uma porção igual de fluido subirá e irá reduzir a
velocidade em cima.
• Na presença velocidade aleatória e de gradiente de velocidades, o
fluido mais rápido arrasta o mais lento. De acordo com a Lei de
Newton, a uma aceleração corresponde uma força, que neste caso
é uma força de atrito.
• À difusividade de quantidade de movimento chama-se viscosidade,
que pode também ser vista como a relação entre a tensão de corte
(atrito) e a taxa de deformação de um elemento de fluido
(gradiente de velocidade).
Fluxo difusivo de Quantidade de
Movimento e Tensão de Corte
τ(y+Δy)
τ(y)
• O movimento aleatório não representado pela velocidade
origina um fluxo de quantidade de movimento que é sentido
como uma força (força de corte). Esta força aumenta com o
gradiente de velocidade e depende da quantidade de massa
que é necessário acelerar e da taxa a que a massa se move.

u 
u
         
y 
y

Nesta equação as unidades da viscosidade
(dinâmica) são (força/área)/segundo = >N/m2/s,
Poiseuille no SI)
Viscosidade
A viscosidade cinemática tem dimensões m2/s.
A dinâmica tem dimensões mais complicadas
porque a difusão de quantidade de movimento
é a difusividade de velocidade, multiplicada pela
massa....



u
  
y
ΔuΔt

Taxa de deformação e gradiente de velocidades
Δy
u t

y
 u
d du



 t y
dt dy
  tan   
Por isto se diz que a viscosidade é a relação entre a tensão e a taxa de deformação.
Viscosidade da água e do ar
 H 2O  10 6 m 2 s 1   H 2O  10 3 Poiseuille (kgm1 s 1 )
 Ar  10 5 m 2 s 1   Ar  1.2 *10 5 Poiseuille (kgm1 s 1 )
• A Água é cerca de 100 vezes mais viscosa do
que o Ar.
• Mas a Viscosidade cinemática do Ar é 10
vezes maior do que a da Água.
• Qual é que é mais fácil de parar?
Sumário
• A difusividade é a consequência do conceito
de meio contínuo e de velocidade do fluido.
• Associado à difusividade está associado um
fluxo difusivo proporcional ao simétrico do
gradiente.
• No caso da quantidade de movimento a
difusividade é designada por viscosidade e
relaciona tensão (fluxo difusivo) e taxa de
deformação (gradiente de velocidades).
Leitura recomendada
• Texto sobre propriedades dos fluidos e
do campo de velocidades.