Matemática Computacional I

Universidade da Beira Interior
Departamento de Matemática
Matemática Computacional I
CURSO: ENGENHARIA INFORMÁTICA
Alberto Simões
[email protected]
2014/2015
Conteúdo
1 Funções Reais de Variável Real
1.1 O Conjunto dos Números Reais . . . . . .
1.2 Definições e Generalidades . . . . . . . . .
1.2.1 Função Inversa . . . . . . . . . . .
1.2.2 Função Composta . . . . . . . . . .
1.2.3 Funções Elementares . . . . . . . .
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Limites de Funções . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Noções Topológicas . . . . . . . . .
1.4.2 Definição de Limites e Propriedades
1.4.3 Limites Importantes . . . . . . . .
1.4.4 Assímptotas . . . . . . . . . . . . .
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Teoremas Importantes . . . . . . .
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Cálculo Diferencial
2.1 Definição de Derivada . . .
2.1.1 Regras de Derivação
2.1.2 Teoremas Principais
2.2 Derivada de Ordem Superior
2.3 Aplicação das Derivadas . .
2.4 Exercícios . . . . . . . . . .
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3 Cálculo Integral
3.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Primitivas Imediatas . . . . . . . .
3.1.2 Primitivação por Partes . . . . . .
3.1.3 Primitivação por Substituição . . .
3.1.4 Primitivação de Funções Racionais
II
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49
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CONTEÚDO
3.2
3.3
3.4
Integrais . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Integral de Riemann .
3.2.2 Propriedades . . . . .
3.2.3 Cálculo de Integrais . .
3.2.4 Aplicação dos Integrais
Integrais Impróprios . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . .
III
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4 Sucessões
4.1 Definição de Sucessão e Subsucessão . . . . . . . . .
4.2 Representação Gráfica de uma Sucessão . . . . . . .
4.3 Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas
4.4 Princípio de Indução Matemática . . . . . . . . . .
4.5 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Sucessões Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Sucessões Convergente . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Critérios de Convergência . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Recta Acabada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Cálculo de Limites com Indeterminações . . . . . .
4.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Séries
5.1 Noção de Somatório . . . . . . . . . . .
5.2 Definição de Série Numérica . . . . . . .
5.3 Séries Notáveis . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Série Geométrica . . . . . . . . .
5.3.2 Série de Mengoli . . . . . . . . .
5.3.3 Série de Dirichlet . . . . . . . . .
5.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Séries de Termos Não Negativos . . . . .
5.6 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . .
5.7 Convergência Absoluta . . . . . . . . . .
5.8 Séries de Potências . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Séries de Taylor e de Mac-Laurin
5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Testes e Exames do Ano Anterior (TSI e EI)
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92
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94
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96
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99
102
Capítulo 1
Funções Reais de Variável Real
1.1
O Conjunto dos Números Reais
Denotamos por IN o conjunto dos números naturais, ou seja
IN = {1, 2, 3, . . .}.
Este conjunto surge da necessidade em fazer contagens. Dada a impossibilidade
em resolver a equação x + 2 = 1 em IN surge o conjunto dos números inteiros, que,
para além dos naturais, contém o 0 e os inteiros negativos. Denotamos este conjunto
por Z. Temos
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Mas, também aqui, dada a impossibilidade em resolver equações do tipo 2x+1 =
4 surge o conjunto dos números racionais denotado por Q. Este conjunto contém
todos os números inteiros, bem como todas as fracções positivas ou negativas. É
definido por
o
nm
: m ∈ Z, n ∈ IN .
Q=
n
Por fim, o conjunto dos números reais, IR, aparece pela impossibilidade de resolver algumas equações que envolvem potências no conjunto dos números racionais.
Por exemplo, a equação x4 = 3 tem como solução o número irracional
√
4
3 = 1, 316074013 . . . com dízima infinita não periódica. São ainda irracionais os
chamados números transcendentes.
Como exemplo de transcendentes temos o nú√
1+ 5
mero de ouro φ = 2 = 1, 618033989 . . ., o número de néper e = 2, 718281828 . . .
e π = 3, 141592653. Temos assim,
IR = {x : x ∈ Q ou x é irracional} .
Temos,
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR.
1
2
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Os números Reais representam-se numa recta horizontal, orientada da esquerda
para a direita, a que chamamos de eixo numérico. O zero representa-se a meio deste
eixo, ficando os números negativos à esquerda e os positivos à direita.
Os subconjuntos de IR, que também são conjuntos, podem ser discretos ou contínuos definidos por conjuntos de números ou por intervalos, respectivamente.
Como exemplo de conjunto discreto temos, por exemplo,
A = {1, 2, 3, . . .}.
Dados dois números a, b ∈ IR tais que a ≤ b temos os seguintes conjuntos contínuos,
]a, b[= {x ∈ IR : a < x < b},
[a, +∞[= {x ∈ IR : a ≤ x},
]a, b] = {x ∈ IR : a < x ≤ b},
] − ∞, b[= {x ∈ IR : x < b},
[a, b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b},
] − ∞, b] = {x ∈ IR : x ≤ b},
[a, b[= {x ∈ IR : a ≤ x < b},
] − ∞, +∞[= IR.
]a, +∞[= {x ∈ IR : a < x},
Temos as seguintes propriedades para os números reais.
Propriedades 1.1.1 (Propriedades de Ordem)
Para quaisquer números reais a, b, c e d, temos
a) Se a < b e b < c, então a < c,
g) Se a < b e c > 0, então ac < bc,
b) Se a 6= b, então a < b ou b < a,
h) Se a < b e c < 0, então ac > bc,
c) Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b,
i) Se a > 0, então a−1 > 0,
d) Se a 6= 0, então a2 > 0,
j) Se a < 0, então a−1 < 0,
k) Se a < b, então a <
e) a < b se e só se a + c < b + c,
f ) Se a < b e c < d, então a+c < b+d,
a+b
2
< b,
l) ab > 0 se e só se (a > 0 e b > 0)
ou (a < 0 e b < 0).
No conjunto dos números reais estão definidas 4 operações.
A adição, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a + b.
A multiplicação, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a × b ou,
para simplificar, ab.
A subtração, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a − b.
1.1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
3
A divisão, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real ab .
Apresentamos de seguida algumas das suas principais e indispensáveis propriedades assim como algumas fórmulas que nunca são demais recordar.
Propriedades 1.1.2
1) Associatividade da Adição e da Multiplicação,
∀a, b, c ∈ IR,
∀a, b, c ∈ IR,
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c
2) Comutatividade da Adição e da Multiplicação,
∀a, b ∈ IR,
∀a, b ∈ IR,
a+b = b+a
a×b = b×a
3) Existência de Elemento Neutro para a Adição e para a Multiplicação,
a+0 = a
a×1 = a
∀a ∈ IR,
∀a ∈ IR,
4) Existência de Oposto para Adição,
∀a ∈ IR, ∃ − a ∈ IR : a + (−a) = 0,
5) Existência de Inverso para a Multiplicação,
∀a ∈ IR \ {0}, ∃b ∈ IR : a × b = 1,
6) Distributividade da Multiplicação em Relação à Adição,
a × (b + c) = a × b + a × c
7) Considerando b 6= 0 e d 6= 0,
a c
ad ± bc
± =
,
b d
bd
8) Considerando b 6= 0 e d 6= 0,
a c
ac
× = ,
b d
bd
9) Considerando b 6= 0, c 6= 0 e d 6= 0,
a
b
c
d
=
a d
ad
× =
.
b
c
bc
∀a, b, c ∈ IR,
4
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Propriedade 1.1.3 (Lei do Corte da Adição)
Sejam a, b e c números reais. Então,
a+c=b+c
se e só se
a = b.
Propriedade 1.1.4 (Lei do Corte da Multiplicação)
Sejam a, b e c números reais com c 6= 0. Então,
ca = cb
se e só se
a = b.
Propriedade 1.1.5 (Lei do Anulamento do produto)
Sejam a e b números reais. Então,
ab = 0
a = 0 ou b = 0.
se e só se
Fórmulas 1.1.6
Sejam a, b, c ∈ IR. Temos,
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
b) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
c) (a + b)(a − b) = a2 − b2 ,
⇔
d) a + x = b
e) ax = b
⇔
x = b − a,
x=
f ) ax2 + bx + c = 0
b
a
onde a 6= 0,
⇔
x=
√
−b± b2 −4ac
2a
com a 6= 0.
Definição 1.1.7 (Módulo)
Seja x ∈ IR. O módulo, ou valor absoluto, de x é definido por,
x
se x ≥ 0
|x| =
−x
se x < 0
Propriedades 1.1.8
Para quaisquer a, b ∈ IR, temos
a) |a| = 0 se e só se a = 0,
c) |ab| = |a||b|,
b) |a| ≥ 0,
d) |a + b| ≤ |a| + |b|.
Propriedades 1.1.9
Seja a ≥ 0 um real. Temos,
1.2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES
a) |x| = a ⇔ x = −a ou x = a ⇔ x = ±a,
5
d) |x| = |y| ⇔ x = y ∨ x = −y,
b) |x| ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ −a,
c) |x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a,
1.2
e) |x| = |y| ⇔ x2 = y 2 .
Definições e Generalidades
Definição 1.2.1 (Função real de variável real)
Uma Função real de variável real é uma correspondência que a cada elemento x de
um subconjunto D ⊂ IR associa um único valor y de um subconjunto C ⊂ IR.
De um modo geral representamos uma função por
f : D −→ C
x 7−→ y = f (x)
onde,
D chama-se domínio da função. É usualmente denotado por Df ,
C chama-se conjunto de chegada da função,
x é a variável independente e toma valores em D (x ∈ D),
y é a variável dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma
a variável x.
O número real que é imagem de x ∈ D, através da função, designa-se por imagem
de x e representa-se por y = f (x).
O conjunto das imagens, através da função f , dos pontos de D designa-se de contradomínio ou conjunto imagem e denota-se por Cf , Df0 ou f (D).
Observação 1.2.2
Não é obrigatório que o conjunto de chegada e o contradomínio sejam iguais. Ou
seja, podemos dizer que f : D −→ C mesmo que nem todos os pontos de C sejam
imagens de algum x ∈ D.
Definição 1.2.3 (Gráfico)
Dada uma função f : D ⊂ IR −→ IR, chama-se gráfico da função f ao conjunto
Gf = {( x, y) ∈ IR2 : x ∈ Df , y = f (x) ∈ IR}.
Definição 1.2.4
Uma função f : D ⊂ IR −→ IR diz-se
6
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
• crescente se x < y ⇒ f (x) ≤ f (y), ∀x, y ∈ D,
• estritamente crescente se x < y ⇒ f (x) < f (y), ∀x, y ∈ D,
• decrescente se x < y ⇒ f (x) ≥ f (y), ∀x, y ∈ D,
• estritamente decrescente se x < y ⇒ f (x) > f (y), ∀x, y ∈ D,
• par se f (x) = f (−x), ∀x ∈ D,
• ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Uma função diz-se monótona se é crescente ou decrescente. Diz-se estritamente
monótona se é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Observação 1.2.5
Uma função é par quando é simétrica em relação ao eixo dos yy.
Uma função é ímpar quando é simétrica em relação à origem.
Definição 1.2.6 (Máximo e Mínimo)
Sejam f : D ⊂ IR −→ IR e c ∈ D.
Diz-se que f (c) é um máximo de f se f (x) ≤ f (c), ∀x ∈ D. A c chamamos de
maximizante.
Diz-se que f (c) é um mínimo de f se f (x) ≥ f (c), ∀x ∈ D. A c chamamos de
minimizante.
De um modo geral, chamamos aos máximos e mínimos de extremos de f .
Geometricamente temos, por exemplo,
Definição 1.2.7 (Função limitada)
Uma função f : D ⊂ IR −→ IR diz-se limitada se
∃M ∈ IR+ : |f (x)| < M,
∀x ∈ D.
Ou seja, uma função é limitada quando o seu contradomínio é um conjunto limitado.
1.2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES
7
Definição 1.2.8 (Zeros)
Chamam-se zeros da função f aos elementos x do domínio tais que f (x) = 0.
Definição 1.2.9 (Restrição)
Sejam f : D ⊂ IR −→ IR e A ⊂ D. A restrição de f a A, denotada por f|A , é a
função de A em IR tal que f|A (x) = f (x) para cada x ∈ A.
Definição 1.2.10
Uma função f : D ⊂ IR −→ B ⊂ IR diz-se
• injectiva se
∀x, y ∈ D, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y),
• sobrejectiva se
∀y ∈ B, ∃x ∈ D : y = f (x),
• bijectiva se for injectiva e sobrejectiva, ou seja,
∀y ∈ B, ∃1 x ∈ D : y = f (x).
Observação 1.2.11
Uma função é injectiva se e só se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico
em mais do que um ponto.
não injectiva
1.2.1
injectiva
Função Inversa
Definição 1.2.12 (Função Inversa)
Seja f : D ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real. A função f −1 : f (D) ⊂
IR −→ IR tal que f −1 (f (x)) = f (f −1 (x)) = x define a função inversa de f .
Temos y = f (x) ⇔ f −1 (y) = x.
8
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1.2.2
Função Composta
Definição 1.2.13 (Função Composta)
Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que Df ⊆ Dg0 . Define-se a
composição das funções, f com g, como sendo a função que a cada elemento x ∈ Dg
faz corresponder um único elemento no conjunto de chegada de f . Denotamos a
composição de f com g por f ◦ g (que se lê f após g) e define-se por
f ◦ g : Df ◦g −→ IR
x 7−→ (f ◦ g) (x) = f (g(x)) ,
com Df ◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df }.
Observação 1.2.14
Note que a composição de funções não é comutativa, ou seja,
f ◦ g 6= g ◦ f.
Exemplo 1.2.15
A função h(x) = ln (x2 + 1), ∀x ∈ IR, pode ser vista como a composição da função
polinomial f (x) = x2 + 1 com a função logarítmica g(x) = ln x, ou seja, h(x) =
(g ◦ f ) (x).
1.2.3
Funções Elementares
Vamos apresentar algumas das mais importantes funções.
Definição 1.2.16 (Função Polinomial)
Uma função polinomial é definida por
f : D ⊆ IR −→ IR
x 7−→ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,
onde a0 , a1 , . . . , an ∈ IR e n ∈ IN0 .
Exemplos 1.2.17
• Se n = 0, obtemos a função constante f (x) = a0 , usualmente denotada por
f (x) = c com Df = IR e Cf = {c}.
• Se n = 1, obtemos a função afim f (x) = a1 x + a0 , usualmente denotada por
f (x) = ax + b com Df = IR e Cf = IR para a 6= 0.
O gráfico da função afim é uma recta de equação y = ax + b, onde a indica o
declive da recta.
No caso de a 6= 0, o zero da função é dado por x =
−b
.
a
1.2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES
9
• Se n = 2, obtemos a função quadrática f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 , usualmente
de
b2
−b
2
notada por f (x) = ax +bx+c e chamada de parábola com vértice 2a , c − 4a .
i
i
b2
. Para a > 0 temos
Temos Df = IR. Quando a < 0 temos Cf = −∞, c − 4a
h
h
b2
Cf = c − 4a
, +∞ .
Quando b2 − 4ac < 0 a função não tem zeros.
Se b2 − 4ac = 0 a função tem apenas o zero x =
Para b2 −4ac > 0 a função tem os dois zeros x1 =
−b
.
2a
√
−b+ b2 −4ac
2a
e x2 =
√
−b− b2 −4ac
.
2a
Definição 1.2.18 (Função Racional)
Uma função racional é definida por
f : D ⊆ IR −→ IR
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
,
x −
7 → f (x) =
bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
com a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm ∈ IR, n, m ∈ IN0 e onde o numerador e o denominador não são divisíveis entre si.
Uma função racional para estar bem definida tem de ter o denominador diferente
de 0. Assim
Df = x ∈ IR : bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 6= 0 .
Os zeros da função racional são dados pelos zeros do numerador.
Definição 1.2.19 (Função exponencial)
Definimos a função exponencial por
f : IR −→ ]0, +∞[
x 7−→ f (x) = ex .
A função exponencial não tem zeros.
Observação 1.2.20
Considerando a um número real positivo, definimos a função exponencial de base a
por
f : IR −→ ]0, +∞[
x 7−→ f (x) = ax .
Proposição 1.2.21
Sejam a, b ∈]0, +∞[ e x, y ∈ IR. Temos,
10
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
ax
,
ay
• a0 = 1,
• ax−y =
• ax+y = ax ay ,
• (ax )y = axy ,
• a−x =
• ax bx = (ab)x ,
1
,
ax
• É sempre positiva,
• Se x > y e a > 1, então ax > ay ,
• Se x > y e 0 < a < 1, então ax < ay ,
• É estritamente crescente se a > 1, estritamente decrescente se 0 < a < 1 e
constantemente igual a 1 se a = 1,
• É injetiva em todo o seu domínio se a 6= 1.
Definição 1.2.22 (Função Logarítmica de base a)
Seja a um número real positivo diferente de 1, definimos a função logarítmica de
base a por
f : ]0, +∞[ −→ IR
x 7−→ f (x) = loga x.
Esta função tem o único zero x = 1.
Quando a = e temos a notação f (x) = loga x ≡ ln x.
Proposição 1.2.23
Sejam a, b ∈ IR+ \ {1}, x, y ∈ IR+ e n ∈ IN. Temos,
• loga ( xy ) = loga (x) − loga (y),
• loga a = 1,
• loga 1 = 0,
• loga (xy) = loga (x) + loga (y),
• loga ( y1 ) = − loga (y)
,
• loga (xn ) = n loga (x),
• loga x = logb x loga b,
• Se x > y e a > 1, então loga (x) > loga (y),
• Se x > y e 0 < a < 1, então loga (x) < loga (y),
• É estritamente crescente se a > 1 e estritamente decrescente se 0 < a < 1,
• É uma função injetiva.
1.2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES
11
Definição 1.2.24 (Função Seno)
Definimos a função seno por
f : IR −→ [−1, 1]
x 7−→ f (x) = sen x.
É uma função ímpar.
Os zeros são x = kπ, k ∈ Z.
Definição 1.2.25 (Função Cosseno)
Definimos a função cosseno por
f : IR −→ [−1, 1]
x 7−→ f (x) = cos x.
É uma função par.
Os zeros são x = π2 + kπ, k ∈ Z.
Definição 1.2.26 (Função Tangente)
Definimos a função tangente por
nπ
o
f : IR\
+ kπ : k ∈ Z −→ IR
2
sen x
x 7−→ f (x) =
= tg x.
cos x
É uma função ímpar.
Os zeros são x = kπ, k ∈ Z.
Definição 1.2.27 (Função Cotangente)
Definimos a função cotangente por
f : IR\ {kπ : k ∈ Z} −→ IR
x 7−→ f (x) =
cos x
= cotg x.
sen x
É uma função ímpar.
Os zeros são x = π2 + kπ, k ∈ Z.
Apresentamos agora uma série de resultados e fórmulas muito úteis quando estamos a trabalhar com funções trigonométricas.
12
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Tabela 1.2.28 (Valores Principais)
0
0◦
0
1
0
-
Radianos
Graus
sen
cos
tg
cotg
π
6
◦
30
1
√2
3
√2
3
√3
3
π
4
◦
π
3
◦
45
√
60
√
1
1
√
2
√2
2
2
3
2
1
√2
3
3
3
π
2
π
180◦
0
-1
0
-
◦
90
1
0
0
3π
2
◦
270
-1
0
0
2π
360◦
0
1
0
-
Tabela 1.2.29 (Reduções ao Primeiro Quadrante)
π
±x
−x
π±x
2
sen −sen x
cos x
∓sen x
cos
cos x
∓sen x −cos x
tg x
−tg x ∓cotg x ±tg x
cotg −cotg x ∓tg x ±cotg x
3π
2
± x 2π ± x
−cos x ±sen x
±sen x
cos x
∓cotg x ±tg x
∓tg x ±cotg x
Fórmulas 1.2.30 (Fórmulas Trigonométricas)
• sen2 x + cos2 x = 1,
• 1 + tg 2 x =
1
cos2 x
• 1 + cotg 2 x =
= sec2 x,
1
sen2 x
= cosec2 x,
• sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x,
• cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y,
• tg(x ± y) =
tg x±tg y
,
1∓tg x tg y
• sen(2x) = 2 sen x cos x,
• cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x,
• sen x ± sen y = 2 sen x±y
cos x∓y
,
2
2
• cos x − cos y = −2 sen x+y
sen x−y
,
2
2
• tg x ± tg y =
sen(x±y)
,
cos x cos y
• cos x + cos y = 2 cos x+y
cos x−y
.
2
2
1.2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES
13
Fórmulas 1.2.31 (Resolução de Equações Trigonométricas)
• sen x = sen α ⇔ x = (−1)n α + nπ, n ∈ Z,
• cos x = cos α ⇔ x = ±α + 2nπ, n ∈ Z,
• tg x = tg α ⇔ x = α + nπ, n ∈ Z,
• cotg x = cotg α ⇔ x = α + nπ, n ∈ Z.
Apresentamos agora as funções trigonométricas inversas.
Definição 1.2.32 (Função arco-Seno)
Definimos a função
arco-seno como sendo a inversa da função seno restringida ao
π π
intervalo − 2 , 2 . Temos assim,
h π πi
f : [−1, 1] −→ − ,
2 2
x 7−→ f (x) = arcsen x.
É uma função ímpar.
O zeros é x = 0.
Por definição temos arcsen x = y ⇔ x = sen y e y ∈ − π2 , π2 .
Definição 1.2.33 (Função arco-Cosseno)
Definimos a função arco-cosseno como sendo a inversa da função cosseno restringida
ao intervalo [0, π]. Temos assim,
f : [−1, 1] −→ [0, π]
x 7−→ f (x) = arccos x.
É uma função que não é par nem ímpar.
O zeros é x = 1.
Por definição temos arccos x = y ⇔ x = cos y e y ∈ [0, π].
Definição 1.2.34 (Função arco-Tangente)
Definimos a função
como sendo a inversa da função tangente restrin
arco-tangente
π π
gida ao intervalo − 2 , 2 . Temos assim,
i π πh
f : IR −→ − ,
2 2
x 7−→ f (x) = arctg x.
É uma função ímpar.
O zeros é x = 0.
Por definição temos arctg x = y ⇔ x = tg y e y ∈ − π2 , π2 .
14
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição 1.2.35 (Função arco-Cotangente)
Definimos a função arco-cotangente como sendo a inversa da função cotangente
restringida ao intervalo ]0, π[. Temos assim,
f : IR −→ ]0, π[
x 7−→ f (x) = arccotg x.
É uma função que não é par nem ímpar.
Não tem zeros.
Por definição temos arccotg x = y ⇔ x = cotg y e y ∈ ]0, π[.
Temos agora duas funções hiperbólicas.
Definição 1.2.36 (Função Seno Hiperbólico)
Definimos a função seno hiperbólico por
f : IR −→ IR
x 7−→ f (x) = senh x =
ex − e−x
.
2
É uma função ímpar.
O zero é x = 0.
Definição 1.2.37 (Função Cosseno Hiperbólico)
Definimos a função cosseno hiperbólico por
f : IR −→ [1, +∞[
x 7−→ f (x) = cosh x =
ex + e−x
.
2
É uma função par.
Não tem zeros.
Fórmulas 1.2.38
• cosh2 x − senh2 x = 1,
• 1 − tgh2 x =
1
,
cosh2 x
• senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x,
• cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y.
1.3
Exercícios
1. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões.
1.3. EXERCÍCIOS
15
(j) cos(arcsen( 45 ))
(a) arcsen(3/2)
√
(b) arccos(−
(c)
π
3
3
)
2
√
− arctg(−
5
(k) sen(arccos(− 13
))
3
)
3
(l) tg(arcsen( 34 ))
(d) sen(arccos(−1/2))
(m) cotg(arcsen( 12
))
13
√
(e) cos(arcsen(−
2
))
2
(n) sen(2arcsen( 45 ))
(f) tg(arcsen(−1/2))
(o) tg(2 arccos(− 53 ))
(g) sen(arctg1)
√
(h) cos(arctg(− 3))
(p) sen(arcsen( 43 ) + arccos( 14 ))
(i) arccos(cos(− π4 ))
(q) cos(arccos( 41 ) + arcsen( 34 ))
2. Simplifique as seguintes expressões.
(a) sen(arccos x + π)
(b) cos2
arccos x
2
(c) cos(arcsen x)
3. Resolva as seguintes equações e inequações
(a)
1
arcsen(3x
2
1+2cosx
(b) e
√
− 2) = 0
(d) cos(arctg x) =
(e) ecos(2x) > 1
=1
√
(c) arcsen(−
3
)
2
2
2
=x
(f)
cos x−2
5+log1/2 x
>0
4. Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções
√
(a) f (x) = cosx
(f) f (x) = 1 − 12 arccos(1 + 2x)
(b) f (x) = cos(2x + π/3) + 1
(c) f (x) = arccos(|x| − 2)
(d) f (x) = sen(π/3) + 3tg(x/2)
(e) f (x) = 3 arcsen(2x − 1)
1
(g) f (x) = cos( π3 ) + 2arcsen( 2+x
)
(h) f (x) = ln(π/2 − arcsen(1 − x2 ))
(i) f (x) = 21/senx
5. Considere a função dada por f (x) = 1 + arcsen(1 + 3x).
(a) Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f .
(b) Calcule f (0) e f (−1/6).
(c) Determine as soluções da equação f (x) = 1 + π/3.
(d) Caracterize a função inversa de f .
6. A partir de gráficos conhecidos esboce graficamente as seguintes funções.
16
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
(a) f (x) = |ln x|
(d) f (x) = sen |x|
(g) f (x) = 5cos |x|
(b) f (x) = |x + 1|
(e) f (x) = log 1 (x + 3)
(h) f (x) = 10ex−5
(c) f (x) = ln2 |x|
(f) f (x) = tg x − π
(i) f (x) = |cos 2x|
2
7. Represente graficamente as funções, assinalando os zeros e o vértice das parábolas.
(a) f (x) = x2 + 2x + 1
(b) f (x) = x2 − 5x + 6
(c) f (x) = −x2 + 7x − 12
8. Indique quais das seguintes funções são pares ou ímpares.
(a) f (x) = x
(c) f (x) = |x + 4|
(b) f (x) = |x|
(d) f (x) =
x3 −x
x2 +1
(e) f (x) =
p
|1 − x2 |
(f) f (x) = cos 2x
9. Diga, justificando, quais das seguintes funções são limitadas.
(a) f (x) = cotg x, x ∈]0, π[
(c) f (x) = x2 , x ∈]0, 10[
(b) f (x) = x, x ∈ IR+
(d) f (x) =
2
cos x−7
10. Caracterize f ◦ g, sendo
(a) f (x) = e−2x+1
(b) f (x) =
x+|x|
2
e
e
x+3
g(x) = 2x−4
x x<0
g(x) =
x2 x ≥ 0
11. Considere a função f (x) = 1 − sen 3x.
(a) Determine Df e Df0 .
(b) Determine os seus zeros.
12. Considere a função f (x) = 1 + arcsen(3x + 1).
(a) Recorde o que já foi analisado no exercício 5.
(b) Determine os zeros de f .
(c) Sabendo que a função é crescente, calcule o maximizante e o minimizante
de f .
(d) Veja que defacto f é crescente.
1.3. EXERCÍCIOS
17
13. Seja f : IR+ −→ IR definida por
√
f (x) = 2 + log3 (27 4 x).
Mostre que f (x) =
20+log3 x
.
4
14. Considere a função real de variável real f definida por,
f (x) = log2 (x − 1) − log2 (x + 2) + 2.
(a) Indique Df .
4x−4
x+2
(b) Prove que f (x) = log2
.
(c) Determine os zeros de f .
(d) Caracterize f −1 .
15. Considere as funções
r
f (x) = −
x
ex (x + 1)
e
g(x) = √
sen x
.
ex + e−x
Determine Df e Dg .
16. Considere a função definida por
arcsen x −1 ≤ x ≤ 0
f (x) =
.
arctg x
0<x≤1
(a) Calcule f (−1), f (0) e f (1).
(b) Esboce o gráfico de f .
17. Considere a função dada por f (x) =
2 sen(2x)
.
cotg x
(a) Determine o domínio e os zeros de f .
(b) Mostre que a função é par.
(c) Resolva a equação |f (x)| = |2 sen x|.
18. Considere as funções dadas por f (x) =
1
cos x
e g(x) = 1 −
1
x2
.
(a) Determine o domínio de g ◦ f .
(b) Mostre que (g ◦ f )(x) = sen2 x, para todo o x pertencente ao domínio de
g◦f .
(c) Calcule (g ◦ f )( 2π
).
3
18
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
19. Durante uma promoção, o preço de venda de um portátil é dado por
p(x) =
455x + 150
x
em que p e x representam, respectivamente, o preço em euros e as unidades
do produto.
(a) Calcule p(1) e interprete o valor obtido no contexto do problema.
(b) Se forem vendidos muitos portáteis, o que sucede ao preço de cada um?
Justifique.
20. Dada a função g(x) = 3 arcsen(2x − 1),
(a) Calcule g(0) e g( 13 ).
(b) Determine o domínio e o contradomínio de g.
(c) Caracterize a função inversa de g.
(d) Calcule os zeros de g.
21. Calcule o domínio e o contradomínio das funções seguintes.
2
(d) f (x) = arctg(2x − x2 )
(a) f (x) = π + arccos 1−x
2
(b) f (x) = arcsen(x2 − 1)
1
(c) f (x) = arctg x+5
(e) f (x) = −3 + arcsen
2
(f) f (x) = arccos x−1
3x
2
22. Caracterize a aplicação inversa de cada uma das seguintes funções.
(a) f (x) = 21 arcsen(3x − 2)
(b) f (x) =
1.4
1.4.1
arctg x1
(c) f (x) = 1 + cos(2x)
(d) f (x) = (4x − 36)2
Limites de Funções
Noções Topológicas
Definição 1.4.1 (Vizinhança)
Sejam a ∈ IR, ε > 0. Chama-se vizinhança ε de a ao conjunto Vε (a) = ]a − ε; a + ε[.
Definição 1.4.2 (Pontos Interiores e Exteriores)
Sejam A um subconjunto de IR e a ∈ IR. Diz-se que a é um ponto interior a A se
existir uma vizinhança de a contida em A. Ou seja,
∃ε > 0 : Vε (a) = ]a − ε; a + ε[ ⊂ A.
1.4. LIMITES DE FUNÇÕES
19
Ao conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por
int(A).
Diz-se que a é um ponto exterior a A se existir uma vizinhança de a contida em
IR \ A (complementar de A), isto é,
∃ε > 0 : Vε (a) = ]a − ε; a + ε[ ⊂ AC = IR \ A.
Ao conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por
ext(A).
Definição 1.4.3 (Pontos Fronteiros)
Diz-se que a é um ponto fronteiro a A se toda a vizinhança de a interseta A e IR \ A.
Ou seja,
∀ε > 0, Vε (a) ∩ A 6= ∅ ∧ Vε (a) ∩ AC 6= ∅.
Ao conjunto dos pontos fronteiros chama-se fronteira de A e representa-se por f r(A).
Observação 1.4.4
Consideremos um conjunto A ⊂ IR qualquer. Temos,
int(A) ∩ ext(A) = ∅
f r(A) ∩ ext(A) = ∅
int(A) ∩ f r(A) = ∅
int(A) ∪ ext(A) ∪ f r(A) = IR.
Definição 1.4.5 (Aderência ou Fecho)
Ao conjunto
A = A ∪ f r(A)
= int(A) ∪ f r(A)
chama-se fecho ou aderência de A.
Diz-se que a é um ponto aderente a A se a ∈ A. Ou seja,
∀ε > 0, Vε (a) ∩ A 6= ∅.
Definição 1.4.6 (Ponto de Acumulação e Derivado)
Sejam a ∈ IR e A ⊂ IR. Diz-se que a é ponto de acumulação de A se toda a
vizinhança de A interseta A \ {a}, ou seja, se em qualquer vizinhança de a existe
pelo menos um elemento de A diferente de a. Isto é,
∀ε > 0, Vε (a) ∩ A \ {a} =
6 ∅.
O Derivado de A é o conjunto de todos os pontos de acumulação e representa-se por
A0 .
20
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição 1.4.7 (Ponto Isolado)
Diz-se que a é um ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhança de a que
não interseta A \ {a}. Ou seja,
∃ε > 0, : Vε (a) ∩ A = {a}.
Propriedades 1.4.8
1. A = A ∪ A0 .
2. Todo o ponto interior de A pertence a A.
3. Nenhum ponto exterior a A pertence a A (pois pertence ao complementar de
A, IR \ A).
4. Todo o ponto de A é aderente a A.
5. Um ponto fronteiro a A pode ou não pertencer a A e o mesmo sucede com um
ponto aderente e um ponto de acumulação de A.
6. Se a ∈ int(A), então a é ponto de acumulação de A.
7. Um ponto isolado de A pertence a A e a A mas não pertence a A0 .
Definição 1.4.9 (Conjuntos Abertos e Fechados)
Seja A ⊂ IR, diz-se que A é aberto se A = int(A).
Diz-se que A é fechado se A = A.
Observação 1.4.10
1. A é fechado se e só se f r(A) ⊂ A.
2. A é fechado se e só se IR \ A é aberto.
Definição 1.4.11 (Majorantes e Minorantes)
Sejam a, b ∈ IR e A um subconjunto de IR. Diz-se que a é majorante de A se a ≥ x,
∀x ∈ A.
Diz-se que b é minorante de A se b ≤ x, ∀x ∈ A.
Representamos o conjunto dos majorantes de A por M (A) e o conjunto dos minorantes por m(A).
Definição 1.4.12 (Conjunto Limitado)
Seja A um subconjunto de IR.
Diz-se que A é majorado se admitir majorantes. Diz-se que A é minorado se admitir
minorantes. Se A for majorado e minorado diz-se limitado.
1.4. LIMITES DE FUNÇÕES
21
Definição 1.4.13 (Supremo e Máximo)
Seja A um subconjunto majorado de IR. Diz-se que β é o supremo de A se β for o
menor dos majorantes de A, representando-se por sup(A). Se β, o supremo de A,
pertencer a A, diz-se que β é o máximo de A e representa-se por max(A).
Definição 1.4.14 (Ínfimo e Mínimo)
Seja A um subconjunto minorado de IR. Diz-se que α é o ínfimo de A se α for o
maior dos minorantes de A, representando-se por inf (A). Se α, o ínfimo de A,
pertencer a A, diz-se que α é o mínimo de A e representa-se por min(A).
Teorema 1.4.15
Em IR todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto minorado tem
ínfimo.
Nota 1.4.16
Um conjunto majorado pode não ter máximo e um conjunto minorado pode não ter
mínimo.
Exercício 1.4.17
Sejam
2
,
A=
n
n ∈ IN ,
B = ]−3, 0] ∪ {4}
e C = [−2, 3[.
Determine o conjunto dos pontos interiores, exteriores e fronteiros de A, B e C.
Exercício 1.4.18
Determine o derivado, o fecho e verifique se são abertos ou fechados os seguintes
conjuntos de números reais.
A = {x ∈ IR : |x − 5| > 1},
B = {x ∈ IR : (x − 1)2 + x < 7},
C = {x ∈ IR : x = cos(nπ) ∧ n ∈ IN}.
Exercício 1.4.19
Determine o conjunto dos majorantes, minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo dos seguintes conjuntos,
D = {x ∈ IR : 2x > |x + 3|},
E = {x ∈ IR : |2x + 1| > |x + 2|},
F = {x ∈ IR : x =
(−1)n
n+4
∧ n ∈ IN} ∪ [2, 3].
Apresente as restantes noções topológicas para o conjunto F .
22
1.4.2
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição de Limites e Propriedades
Vamos nesta secção considerar funções do tipo f : D ⊂ IR −→ IR, ou seja, funções
reais de variável real com domínio D ⊆ IR.
Definição 1.4.20 (Limite)
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação
de Df . Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, ou
quando x tende para a quando
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − b| < ε.
Se existir, escrevemos
lim f (x) = b.
x→a
Observação 1.4.21
Geometricamente, quando existe limite, a definição diz-nos que numa qualquer vizinhança próxima de x = a vai existir sempre uma vizinhança de y = b que contém a
imagem de f (x).
lim f (x) = b
lim f (x) não existe
x→a
x→a
Definição 1.4.22 (Limite no infinito)
Diz-se que um numero real b é o limite de uma função f quando x tende para +∞,
e escreve-se
lim f (x) = b
x→+∞
se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df ∧ x > δ ⇒ |f (x) − b| < ε.
Diz-se que um numero real b é o limite de uma função f quando x tende para −∞,
e escreve-se
lim f (x) = b
x→−∞
se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df ∧ x < −δ ⇒ |f (x) − b| < ε.
1.4. LIMITES DE FUNÇÕES
23
Quando o ponto x = a, onde se pretende calcular o limite, é, por exemplo, uma
extremidade do conjunto Df temos de saber por que valores de x ∈ Df nos vamos
aproximar de x = a, se por valores x > a ou x < a. Assim temos a definição de
limites laterais.
Definição 1.4.23 (Limites Laterais)
Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, um ponto de
acumulação do domínio da função, ou quando x tende para a, por valores à direita
de a quando
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df ∧ x < a + δ ⇒ |f (x) − b| < ε.
Se existir, escrevemos
lim f (x) = b.
x→a+
Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a (ponto de
acumulação) ou quando x tende para a, por valores à esquerda de a quando
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df ∧ a − δ < x ⇒ |f (x) − b| < ε.
Se existir, escrevemos
lim f (x) = b.
x→a−
Observação 1.4.24
Quando
lim f (x) = lim− f (x) = b,
x→a+
x→a
ou seja, quando os limites laterais existem e são iguais, podemos afirmar que
lim f (x) = b.
x→a
Apresentamos agora algumas propriedades.
Proposição 1.4.25
O limite de uma função, quando existe, é único.
Proposição 1.4.26
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e g : Dg ⊂ IR −→ IR duas funções reais de uma variável
real e x = a um ponto de acumulação de Df ∩ Dg ∪ {−∞, +∞}. Suponhamos que
existem os limites de f e g quando x tende para a e se tem
lim f (x) = b
x→a
e
lim g(x) = c
x→a
com b, c ∈ IR.
24
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Então, existem os limites de f + g, f − g, f g quando x tende para a e temos
lim [f (x) + g(x)] = b + c,
x→a
lim [f (x) − g(x)] = b − c,
x→a
lim [f (x)g(x)] = bc,
x→a
e se c 6= 0, então também existe o limite de f /g quando x tende para a e temos
f (x)
b
= .
x→a g(x)
c
lim
Se f (x) > 0 para todo x ∈ Df , então existe o limite de f g quando x tende para a e
temos
lim f (x)g(x) = bc .
x→a
Proposição 1.4.27
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e g : Dg ⊂ IR −→ IR duas funções reais de uma variável
real. Se lim f (x) = 0 e g é uma função limitada numa vizinhança de a, então
x→a
lim f (x)g(x) = 0.
x→a
Proposição 1.4.28
Seja a ∈ IR∪{−∞, +∞} e f , g e h funções reais de uma variável real cujos domínios
contém uma vizinhança de a e tais que nessa vizinhança se tenha
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).
Se existirem os limites de f e h quando x tende para a e
lim f (x) = lim h(x) = b,
x→a
x→a
então também existe o limite de g quando x tende para a e temos
lim g(x) = b.
x→a
Proposição 1.4.29
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e g : Dg ⊂ IR −→ IR duas funções reais de uma variável
real, a ∈ IR um ponto de acumulação de Df e b um ponto de acumulação de Dg . Se
lim f (x) = b
x→a
e
limg(x) = g(b),
x→b
então
lim (g ◦ f )(x) = lim g(f (x)) = g(b).
x→a
x→a
Com as devidas adaptações podemos considerar as propriedades anteriores considerando limites para o infinito. Para o efeito, é necessário ter em conta as convenções
apresentadas na Secção 4.9 e os casos particulares e as indeterminações apresentadas
na Secção 4.10.
1.4. LIMITES DE FUNÇÕES
1.4.3
25
Limites Importantes
No cálculo de limites, é usual usarem-se resultados sobre limites já conhecidos.
São os chamados limites notáveis que passamos a apresentar.
Nota 1.4.30
Temos os seguintes limites notáveis,
x
sen x
1
lim
= 1,
lim 1 +
= e,
x→0 x
x→+∞
x
1 − cos x
1
,
=
x→0
x2
2
lim
ln(x + 1)
= 1,
x→0
x
lim
tg x
= 1,
x→0 x
ex − 1
= 1,
x→0
x
ln x
= 0,
x→+∞ x
arctg x
lim
= 1.
x→0
x
ex
= +∞ (p ∈ IR),
x→+∞ xp
arcsen x
= 1,
x→0
x
lim
lim
lim
lim
lim
Temos agora, para recordar, uma proposição que também será de grande utilidade para o cálculo de limites de funções reais de variável real.
Observação 1.4.31
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e a um ponto de acumulação de Df ou a = ±∞, tais que
lim f (x) = c com c ∈ IR+ . Então,
x→a
h
i
lim [ln (f (x))] = ln lim f (x) = ln c.
x→a
x→a
Importante 1.4.32 (Indeterminações)
Para recordar tudo o que já sabe sobre o cálculo de limites com indeterminações veja
as regras da Secção 4.10 considerando funções no lugar de sucessões.
1.4.4
Assímptotas
Apresentamos agora um conceito importante quando queremos representar geometricamente uma função.
Definição 1.4.33 (Assímptota Vertical)
Diz-se que a recta de equação x = a é uma assímptota vertical da função f se algum
dos limites
lim f (x) = ±∞,
x→a+
existir.
lim f (x) = ±∞
x→a−
ou
lim f (x) = ±∞
x→a
26
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição 1.4.34 (Assímptota Oblíqua)
Diz-se que a recta de equação y = mx + b é uma assímptota oblíqua da função f se
existem e são finitos os limites
f (x)
x→±∞ x
m = lim
e
b = lim [f (x) − mx] .
x→±∞
Observação 1.4.35 (Assímptota Horizontal)
Quando m = 0 temos y = b que é a equação de uma Assímptota Horizontal.
1.5
Exercícios
1. Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado de cada
um dos conjuntos seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados.
(b) B = {x ∈ IR : −1 ≤ x − 2 < 1}
(g) G = {x ∈ IR : 0 ≤ x2 − 1 < 3}
x
x−1
> x−2
(h) H = x ∈ IR : x+3
(c) C = {x ∈ IR : x2 − x − 6 > 0}
(i) I = {x ∈ IR : 1 ≤ |x + 1| ≤ 2}
(d) D = {x ∈ IR : 2x2 − 3x > 5}
(j) J = {x ∈ IR : |x2 − 1| ≤ 1}
(e) E = {x ∈ IR : x3 > x}
(k) K = {x ∈ IR : |x + 2| ≥ |x − 3|}
(l) L = x ∈ IR : 1−2x > 2
(a) A =]0, 2] ∪ [3, 5[∪{6, 7}
(f) F = {x ∈ IR : x2 (x − 1) ≥ 0}
2x−3
2. Determine os seguintes limites.
3−x
x→2 x2 − 3
15x3 + 1
(b) lim
x→0 30x7 − 1
1 − x2
(c) lim
x→1 x − 1
x2 − 9
(d) lim
x→3 x − 3
(a) lim
(e)
(f)
(g)
(h)
x2 + 2x − 3
lim
x→1
x−1
x2 − 2x
lim 3
x→0 3x + x2 + x
√
2− 4−x
lim
x→0
x
√
√
1+x− 1−x
lim
x→0
x
3. Determine os seguintes limites.
1 − e−x
x→0
x
(c) lim
ex−4 − 1
x→4 16 − x2
ex+4 − e4
(d) lim
x→0
x
(a) lim
(b) lim
e7x − 1
x→0
x
1.5. EXERCÍCIOS
27
x3
3
x→0 1 − ex
ln(1 + 3x)
(f) lim
x→0
x
ln(1 + x2 )
x→0
x
ln x
(h) lim
x→0 1 − x
(e) lim
(g) lim
4. Determine, caso existam, os seguintes limites.
(a)
(b)
(c)
(d)
x2 + 3x
lim
x→+∞ 2x2
x3
lim
x→+∞ 1 + x
x3
lim
x→+∞ 1 + x4
lim − 2x4 + 3x2 + 1
p
(x − a)(x − b) − x
x→+∞
1
(f) lim x e x − 1
x→+∞
1
(g) lim x ln 1 +
x→+∞
x
(e) lim
x2 − 1
4
+
4
2
x→+∞ x − 1
ln(x + 1)
(h) lim
x→−∞
5. Calcule os limites laterais das seguintes funções no ponto x0 indicado. O que
pode concluir sobre a existência de lim f (x)?
x→x0
(a) f (x) =
(b) f (x) =
(c) f (x) =
x2 − 1
(x − 1)2
2 − x2
2
3x−a
1−x
x−a
1+x
etg x −1
,
etg x +1
x0 = 1
se |x| ≤ 2
,
se |x| > 2
x0 = 2
se x ≤ 0
,
se x > 0
√
8 x−1
(d) f (x) =
(x − 1)2
(e) f (x) =
se x ≤ 1
,
se x > 1
x0 = 0
se x < 5
,
se x ≥ 5
x0 = 5
x0 = π/2.
6. Escreva as equações das assímptotas das seguintes funções.
3x2 −2x+2
x+2
(e) f (x) =
(b) f (x) =
2x−1
2x−6
2x
(x−1)2
(c) f (x) =
2x2
x2 −1
(g) f (x) = e−x sen x
(h) f (x) = ln 2+x (a) f (x) =
(d) f (x) = 2x + 1 +
1
(f) f (x) = 2e− x
1
x−2
2−x
7. Considere a função real de variável real definida por g(x) = ex + ln x.
28
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
(a) Determine o domínio de g e calcule lim+ g(x) e lim g(x).
x→+∞
x→0
(b) Que pode concluir acerca da existência de assímptotas do gráfico de g.
(c) Mostre que a função tem pelo menos um zero no intervalo ]0.1, 1[.
8. Determine, caso existam, os seguintes limites.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
x3 − 27
lim
x→3 3 − x
√
2− 4−x
lim
x→0
x
1
lim x sen
x→+∞
x
1
lim x sen
x→0
x
|x|
para a = −1; 0; +∞; −∞
lim
x→a x
x sen x
lim
x→0 1 − cos x
lim xx
x→0+
x+1
e
lim 1 −
x→+∞
x+5
1 − tg x
limπ
x→ 4 cos (2x)
x4 − 1
com a ∈ IR
x→a x3 − 1
√
2
2
(k) lim x x + 1 − x
(j) lim
x→+∞
1
(l) lim x e x
x→0
|3 − x|
x−3
x
1
(n) lim cos
x→−∞
x
(m) lim
x→3
ex tg x
x→0 cos(2x)
(o) lim
sen x2
x→0 x sen(3x)
(p) lim
(q) lim (x3 − 3x2 + 2)
x→+∞
e3x − 1
x→0
5x
ln(2x + 1)
(s) lim
x→0
3x
arcsen(5x)
(t) lim
x→0
x
log(5 + x2 ) − log 5
(u) lim
x→0
x2
(r) lim
9. Considere a função f definida por
f (x) =


x−2
x3 −4x

k−x
4
se x > 2
se x = 2 .
se x < 2
3
(a) Calcule lim f (x).
x→+∞
(b) Determine k de modo que exista lim f (x).
x→2
1.6. CONTINUIDADE
1.6
29
Continuidade
A continuidade é uma das mais importantes propriedades no estudo de funções.
Definição 1.6.1 (Continuidade num ponto)
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real e a um ponto de Df .
Diz-se que a função f é contínua no ponto x = a, se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df ∧ |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
Dizemos que f é contínua no ponto de acumulação x = a, se e só se
1. a ∈ Df ∩ Df’,
2. Existe lim f (x),
x→a
3. lim f (x) = f (a).
x→a
Os pontos onde a função não é contínua dizem-se pontos de descontinuidade.
Observação 1.6.2
Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentido considerar pontos
do domínio quando estamos a estudar a continuidade de uma função.
Se a é um ponto isolado de Df , então a função f é contínua em a.
Definição 1.6.3 (Continuidade à esquerda)
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação
de Df . Diz-se que a função f é contínua à esquerda de a, se
lim f (x) = f (a).
x→a−
Definição 1.6.4 (Continuidade à direita)
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação
de Df . Diz-se que a função f é contínua à direita de a, se
lim f (x) = f (a).
x→a+
Observação 1.6.5
Se f for contínua à esquerda e à direita do ponto a então f é contínua em a.
Proposição 1.6.6
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e g : Dg ⊂ IR −→ IR duas funções reais de uma variável
real contínuas em x = a. Então, as funções f + g, f − g, f g também são contínuas
em x = a e se g(a) 6= 0 a função f /g também é contínua em x = a.
30
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Proposição 1.6.7
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e g : Dg ⊂ IR −→ IR duas funções reais de uma variável
real. Se f é contínua em x = a e g é contínua em f (a) ∈ Dg , então, g ◦ f é contínua
em a.
Definição 1.6.8 (Continuidade num Conjunto)
Uma função f diz-se contínua no conjunto A ⊆ Df se for contínua em todos os
pontos de A.
Apresentamos agora um resultado que será muito útil quando estamos a estudar
a continuidade de funções no seu domínio.
Proposição 1.6.9
As funções elementares apresentadas na Secção 1.2.3 são contínuas em todo o seu
domínio.
1.6.1
Teoremas Importantes
Teorema 1.6.10 (Teorema do Valor Intermédio ou Teorema de Bolzano)
Sejam f uma função contínua no seu domínio Df e a e b números reais pertencentes
a um intervalo I ⊆ Df tais que f (a) 6= f (b). Então, para todo k entre f (a) e f (b),
existe um c entre a e b tal que k = f (c).(Veja Figura 1)
O Corolário seguinte é um caso particular do resultado anterior e permite-nos de
forma fácil localizar zeros de uma função.
Corolário 1.6.11
Sejam f uma função contínua no intervalo [a, b] e f (a) × f (b) < 0 então a função
f tem, pelo menos, um zero no intervalo ]a, b[.(Veja Figura 2)
Figura 1
Figura 2
1.7. EXERCÍCIOS
31
Teorema 1.6.12 (Teorema de Weierstrass)
Seja f uma função contínua no seu domínio Df e [a, b] ⊆ Df um conjunto fechado
e limitado. Se f é contínua em [a, b], então a função f admite um máximo e um
mínimo nesse conjunto.
1.7
Exercícios
1. Considere a função real de variável real definida por
sen x
se x =
6 0
|x|
f (x) =
.
1
se x = 0
(a) Estude a continuidade de f .
(b) f é contínua à esquerda de 0? E à direita de 0? Justifique.
2. Seja
f (x) =





1
x x−1
ek
ex+k
2
−1 −ek
x−1
2
se x > 1
se x = 1 .
se x < 1
Determine k de modo que,
(a) f seja contínua à esquerda mas não à direita de x = 1.
(b) f seja contínua em IR.
3. Estude, quanto à continuidade, as seguintes funções.
 x
se x < 0
 2e − 1
1
se x ∈ [0, 2]
(a) f (x) =

sen x
se x > 2
2
x sen x1 + 2x
se x 6= 0
(b) f (x) =
x
se x = 0
32
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
(c) f (x) =
(f) f (x) =
se x < 0
se x = 0
0
x
sen x
etg x −1
(d) f (x) =
(e) f (x) =
1
x
1
etg x +1
1
se x 6= 0
se x = 0
se x 6=
se x =
π
2
π
2
x+1
x3 +x
4. Considere a função real de variável real definida por
(
2sen(x−4π/3)
se x >
x−π/3
g(x) =
−6x/π
se x ≤
π
3
π
3
(a) Prove que lim g(x) = −2.
x→π/3
(b) Considere o intervalo [1, 5π/6]. Mostre que −5/π pertence ao contradomínio de g.
5. Seja f a função real de variável real definida por f (x) = x ln 5 − x1 .
(a) Determine o domínio de f .
(b) estude a existência de assímptotas oblíquas ao gráfico de f .
6. Mostre que,
(a) a função f (x) = sen3 x+cos3 x se anula, pelo menos uma vez, no intervalo
[π, 2π].
(b) a equação x5 + x3 − 1 = 0 tem, pelo menos, uma solução real.
7. Considere a função f definida por

 x − 2 sen x
k2
f (x) =
1

(x + 1) x
se x < 0
se x = 0 .
se x > 0
(a) Estude a continuidade de f no ponto x = 0.
(b) Determine k de modo que f seja contínua à direita do ponto x = 0.
(c) Prove que, em −π, − π2 , f tem pelo menos um zero.
(d) Averigue se existem assímptotas do gráfico de f .
1.7. EXERCÍCIOS
33
8. Seja

 ax + b
−2x
f (x) =
 2
bx − a
se x ≤ −1
se − 1 < x < 2 .
se x ≥ 2
Determine a e b de modo que
(a) f seja contínua em IR.
(b) f seja contínua em IR\ {−1}.
9. Determine, se possível, a constante k que torna as seguintes funções contínuas.
(
k + x ln x
se x ≥ 1
(a) f (x) =
1−ex−1
se x < 1
2(1−x)
ex
se x ≥ k
k2 +1/e
(b) f (x) =
1+k
e
se x < k
ex−1 −e1−x
se x 6= 1
1−x
(c) f (x) =
k
se x = 1
( 2x
e −1
se x ∈ [−π/6, π/6]\{0}
sen(3x)
(d) f (x) =
k
se x = 0
Capítulo 2
Cálculo Diferencial
2.1
Definição de Derivada
Definição 2.1.1 (Derivada)
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e a um ponto de acumulação do Df . Chama-se derivada
de f no ponto a ao limite, se existir,
f (x) − f (a)
x→a
x−a
lim
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
lim
ou
Denota-se a derivada de f no ponto a por f 0 (a) ou
no ponto a, diz-se que f é diferenciável em a.
df
(a).
dx
(2.1.1)
Se f tem derivada finita
Note que o segundo limite em (2.1.1) poderá ser mais prático e de mais fácil
resolução.
Exercícios 2.1.2
1) Considere a função f (x) =
x2 −1
.
x+2
2) Considere a função f (x) =
Prove, por definição, que f 0 (0) = 41 .
3x2 + 1
6x − 2
se x < 1
. Prove, por definição,
se x ≥ 1
que f 0 (1) = 6.
Observação 2.1.3
Se f é diferenciável no ponto a, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a))
à recta que passa por esse ponto e tem declive igual a f 0 (a). Assim, a recta tangente
terá a equação
y = f (a) + f 0 (a)(x − a).
Ou seja, podemos dizer que a derivada de f no ponto a é o declive da recta tangente
ao gráfico no ponto (a, f (a)). Quando a derivada é ±∞ então a recta tangente é
vertical, ou seja x = a.
34
2.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA
35
Definição 2.1.4 (Derivada à Esquerda)
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e a um ponto de acumulação do Df . Chama-se derivada
à esquerda de f no ponto a ao limite, se existir,
lim−
x→a
f (x) − f (a)
x−a
ou
lim−
h→0
e denota-se por f 0 (a− ) ou
f (a + h) − f (a)
,
h
df
(a− ).
dx
Definição 2.1.5 (Derivada à Direita)
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e a um ponto de acumulação do Df . Chama-se derivada
à direita de f no ponto a ao limite, se existir,
lim+
x→a
f (x) − f (a)
x−a
ou
lim+
h→0
e denota-se por f 0 (a+ ) ou
f (a + h) − f (a)
,
h
df
(a+ ).
dx
Nota 2.1.6
Note que f 0 (a) existe se, e só se, existem e são iguais f 0 (a− ) e f 0 (a+ ).
Definição 2.1.7 (Função Derivada)
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real e A o conjunto dos números
reais pertencentes a Df que admitem derivada finita. Designa-se por função derivada
de f , denotada usualmente por f 0 à função
f 0 : A −→ IR
x 7−→ y = f 0 (x).
Exercícios 2.1.8
1) Considere a função f (x) = 3x2 + x. Defina a função derivada.
2) Considere a função f da alínea 2) do Exercício 2.1.2. Defina a função derivada.
36
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL
Apresentamos agora um dos mais importantes e úteis teoremas que relaciona
funções contínuas e funções diferenciáveis.
Teorema 2.1.9
Sejam f : Df ⊂ IR −→ IR e a ∈ Df . Se f é diferenciável no ponto a, então f é
contínua nesse ponto.
Note que o recíproco do teorema anterior pode não ser verdade. Ou seja, Uma
função pode ser contínua num dado ponto e não ter derivada finita nesse ponto.
Exemplo 2.1.10
A função f (x) = |x − 3| é contínua em x = 3 mas não tem derivada no ponto x = 3
2.1.1
Regras de Derivação
Vamos agora apresentar uma tabela com as regras que nos irão permitir calcular
as derivadas das funções elementares apresentadas anteriormente.
Tabela 2.1.11
x0 = 1,
c0 = 0,
(f ± g)0 = f 0 ± g 0
(f × g)0 = f 0 × g + f × g 0
0
0
f
×g 0
= f ×g−f
g
g2
c = constante
(cf )0 = cf 0 ,
c = constante
n 0
n−1
0
(f ) = n × f
×f ,
n ∈ IN
0
√
0
f
n
√
f =
,
n ∈ IN+
n× n f n−1
0
ef = ef × f 0
0
cf = cf × f 0 × log c,
c = constante
g 0
g
0
g−1
0
(f ) = f × g × log f + g × f
×f
0
f0
(logf ) = f
0
(lnf )0 = ff
f0
(logc f )0 = f ×log
,
c = constante
c
0
0
(senf ) = f × cosf
(cosf )0 = −f 0 × senf
0
(tgf )0 = cosf 2 f
0
(cotgf )0 = − senf 2 f
0
(arcsenf )0 = √ f 2
0
(arccosf ) = −
1−f
0
√f
1−f 2
2.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA
37
0
f
(arctgf )0 = 1+f
2
0
f0
(arccotgf ) = − 1+f
2
0
0
0
(f (g)) = f (g) × g
Exercício 2.1.12
Considere as funções dos exercícios anteriores. Apresente, quando possível, as funções derivada.
Proposição 2.1.13 (Teorema de Derivação da Função Inversa)
Sejam f uma função real de variável real, injectiva num intervalo I ⊆ Df e f −1 a
função inversa de f quando restringida ao intervalo I, ou seja f −1 : f (I) −→ I. Se
f é derivável num ponto de acumulação x de I e f 0 (x) 6= 0, então f −1 é derivável
no ponto y = f (x) e temos,
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (f −1 (y))
.
Nota 2.1.14
Na prática, para calcular a derivada da inversa de uma função elementar, fazemos
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (x)
e depois trocamos a variável x pela correspondente variável y, ou seja, fazemos
1
f 0 (x)
=
1
f 0 (f −1 (y))
.
Exemplo 2.1.15
Para calcular a derivada da função inversa de f (x) = 3x2 temos
(f −1 )0 (y) =
Como y = 3x2 ⇔ x =
1
f 0 (x)
=
1
.
6x
√
3y
,
3
temos
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (x)
=
=
1
6x
1
√
6
3y
3
1
= √ .
2 3y
Exercício 2.1.16
Apresente a derivada da função inversa de f (x) = arcsen x.
38
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL
Proposição 2.1.17 (Teorema de Derivação da Função Composta)
Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que g (Dg ) ⊆ Df , x um ponto de
acumulação de Dg e y = g(x) um ponto de acumulação de Df . Se g é derivável no
ponto x e f é derivável no ponto y = g(x), então a função composta f ◦ g é derivável
em x e temos,
(f ◦ g)0 (x) ≡ [f (g(x))]0 = f 0 (g(x))g 0 (x).
Exercício 2.1.18
Considere as funções f (x) = 4x3 + x4 e g(x) =
x+3
.
x2
Calcule (f ◦ g)0 .
Apresentamos uma definição que veremos ser muito útil quando for necessário
obter aproximações.
Definição 2.1.19 (Diferencial)
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função diferenciável num ponto a. Chama-se diferencial da função f no ponto x = a à aplicação linear
dy (a, ·) : IR −→ IR
x 7−→ dy (a, x) = f 0 (a) × x.
Exemplo 2.1.20
Para calcular uma aproximação de cos 29o , consideramos a função f (x) = cos x, o
ponto a = 30o = π6 (o ângulo mais próximo de 29o onde sabemos qual o valor do
π
cosseno) e 4x = −1o = − 180
, chamado de acréscimo de x. Sabemos que,
cos 29o = f (a + 4x) ' f (a) + dy (a, 4x)
= f (a) + f 0 (a) × 4x
π π π = cos + −sen
× −
6
180
√ 6
3
π
=
+
.
2
360
2.1.2
Teoremas Principais
Teorema 2.1.21
Seja f uma função real de variável real, derivável num ponto de acumulação x = a
de Df . Se f tem um extremo local em x = a, ou seja, se f (a) é máximo ou mínimo,
então f 0 (a) = 0.
Teorema 2.1.22 (Teorema de Rolle)
Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[, tal que f (a) = f (b). Então existe, pelo menos, um
ponto c com a < c < b tal que f 0 (c) = 0.
2.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA
39
Corolário 2.1.23
Entre dois zeros consecutivos de uma função derivável num intervalo aberto, existe,
pelo menos, um zero da função derivada.
Corolário 2.1.24
Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função derivável num intervalo
aberto, existe no máximo um zero da função.
Teorema 2.1.25 (Teorema de Lagrange)
Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então, existe pelo menos um ponto c, com a < c < b,
tal que
f (b)−f (a)
b−a
= f 0 (c).
40
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL
Teorema 2.1.26 (Teorema de Cauchy)
Sejam f e g funções reais de variável real, contínuas no intervalo fechado [a, b] e
deriváveis no intervalo aberto ]a, b[. Se g 0 (x) 6= 0 para qualquer x ∈]a, b[, então
existe c, com a < c < b, tal que
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
Teorema 2.1.27 (Regra de Cauchy)
Sejam f e g duas funções reais de variável real, deriváveis num intervalo aberto
]a, b[, onde a ou b poderão ser −∞ ou +∞, com a < b. Seja c um dos extremos do
intervalo ]a, b[. Se,
• g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈]a, b[,
0
f (x)
∞
f (x)
= ou lim
= ,
h→c g(x)
h→c g(x)
0
∞
• lim
então,
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
.
h→c g (x)
h→c g(x)
lim
Nota 2.1.28
O resultado anterior também é válido quando calculamos o limite em pontos pertencentes ao interior do domínio das funções.
Teorema 2.1.29 (Regra de L’Hôpital)
Sejam f e g duas funções reais de variável real, contínuas no intervalo fechado [a, b]
e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[ com a < b. Seja c um dos extremos do intervalo
[a, b]. Se,
• g 0 (c) 6= 0,
• f (c) = g(c) = 0,
então,
f (x)
f 0 (x)
= 0
.
h→c g(x)
g (x)
lim
Exemplo 2.1.30
A maior parte dos limites notáveis resolvem-se tendo em conta a regra de Cauchy.
Temos, por exemplo,
sen x
cos x
lim
= lim
=1
x→0 x
x→0 1
1
e
ln(x + 1)
lim
= lim x+1 = 1.
x→0
x→0 1
x
2.2. DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR
2.2
41
Derivada de Ordem Superior
Definição 2.2.1 (Derivada de Ordem 2)
Seja f uma função real de variável real derivável e com função derivada f 0 (x). Se a
função f 0 é derivável num ponto de acumulação x = a de Df 0 , dizemos que a função
f é duas vezes derivável no ponto x = a. Esta derivada designa-se por derivada de
segunda ordem, ou segunda derivada, da função f em x = a e define-se por
f 0 (x) − f 0 (a)
x→a
x−a
f 00 (a) = lim
ou
f 0 (a + h) − f 0 (a)
.
h→0
h
f 00 (a) = lim
Definição 2.2.2 (Derivada de Ordem n)
Seja f uma função real de variável real e n ∈ N. Dizemos que a função f é n−vezes
derivável no ponto x = a se a função f for (n − 1)−vezes derivável numa vizinhança
do ponto x = a e se existir
f
(n)
f (n−1) (a + h) − f (n−1) (a)
(a) = lim
.
h→0
h
Definição 2.2.3 (Classe de Funções)
Uma função f : Df ⊂ IR −→ IR diz-se de classe C n , e escreve-se
f ∈ C n (Df ),
se f é n vezes diferenciável em Df e a derivada de ordem n, f (n) , é contínua em
Df .
Quando n = 0, escrevemos f ∈ C 0 (Df ) ou, para simplificar, f ∈ C(Df ) para
designar que f é contínua em Df .
Quando f admite derivadas de todas as ordens em Df , então dizemos que f é
indefinidamente diferenciável ou de classe C ∞ .
Exercício 2.2.4
Determine a função derivada de segunda ordem para a função
f (x) =
x2
−1 + cos x
se x ≥ 0
.
se x < 0
42
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL
Definição 2.2.5 (Fórmula de Taylor)
Seja f : I ⊂ IR −→ IR uma função de classe C n , n+1 vezes diferenciável no interior
de I e a um ponto de I. Para cada x ∈ I \ {a}, existe c estritamente entre a e x tal
que
f (x) = f (a)+f 0 (a)(x−a)+
f 00 (a)
f (n) (a)
f (n+1) (c)
(x−a)2 +. . .+
(x−a)n +
(x−a)n+1 .
2!
n!
(n + 1)!
O polinómio
pn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + . . . +
(x − a)n
2!
n!
é chamado de Polinómio de Taylor de grau n da função f em trono de x = a.
Ao último elemento da Fórmula de Taylor, denotado usualmente por Rn (x), damos
o nome de Resto de Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a.
Definição 2.2.6 (Fórmula de Mac-Laurin)
Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de M ac−Laurin e o polinómio
de Taylor designa-se por polinómio de Mac-Laurin.
Nota 2.2.7
Ao polinómio de Taylor de grau um de uma função f em torno de a chamamos
linearização ou aproximação linear de f em torno de x = a, ou seja, a função dada
por
L(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a)
é a linearização de f em torno de x = a. Nestas condições escrevemos
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a).
Ao polinómio de Taylor de grau dois de uma função f em torno de x = a, isto é, à
função dada por
Q(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
(x − a)2 ,
2
chamamos aproximação quadrática de f em torno de x = a e escrevemos
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
(x − a)2 .
2
Proposição 2.2.8
As seguintes funções elementares admitem as fórmulas de Mac-laurin de ordem n
indicadas.
2.3. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
1)
1
1−x
43
= 1 + x + x2 + . . . + xn + Rn (x),
2) ex = 1 + x +
x2
2
+ ... +
3) ln(1 + x) = x −
4) sen x = x −
5) cos x = 1 −
x3
3!
x2
2!
x2
2
+
+
+ Rn (x),
n
+ . . . + (−1)n−1 xn! + Rn (x),
x5
5!
x4
4!
xn
n!
2n+1
x
+ . . . + (−1)n (2n+1)!
+ R2n+1 (x),
2n
x
+ . . . + (−1)n (2n)!
+ R2n (x).
Observação 2.2.9
Temos, por exemplo, para f (x) = ex a aproximação linear
ex ≈ 1 + x,
e a aproximação quadrática
ex ≈ 1 + x +
2.3
x2
.
2
Aplicação das Derivadas
A principal aplicação das derivadas é feita na representação geométrica das funções. Vamos ver que os resultados são úteis para estudar a monotonia e os extremos
locais.
Teorema 2.3.1
Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[.
• Se f 0 (x) = 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f (x) =constante em ]a, b[.
• Se f 0 (x) > 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f é estritamente crescente em
]a, b[.
• Se f 0 (x) < 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f é estritamente decrescente
em ]a, b[.
• Se f 0 (x) > 0 para todos x < c e f 0 (x) < 0 para todos x > c, então f tem um
máximo local em x = c.
• Se f 0 (x) > 0 para todos x > c e f 0 (x) < 0 para todos x < c, então f tem um
mínimo local em x = c.
44
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL
Teorema 2.3.2 (Teorema de Fermat)
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real diferenciável num ponto a
interior a Df . Se f (a) é um extremo local de f , então
f 0 (a) = 0.
Nota 2.3.3
A condição f 0 (a) = 0 não é suficiente para a existência de extremo. Por exemplo a
função f (x) = x3 , tem derivada nula no ponto x = 0, mas f (0) não é extremo local.
Teorema 2.3.4
Seja f : Df ⊂ IR −→ IR uma função real de variável real 2−vezes derivável num
ponto a interior a Df com f 0 (a) = 0. Temos,
• Se f 00 (a) > 0, a é um minimizante local,
• Se f 00 (a) < 0, a é um maximizante local.
Definição 2.3.5
Sejam f uma função real de variável real e x = a, um ponto de acumulação do Df ,
tal que existe f 0 (a).
Diz-se que f é uma função convexa no ponto x = a ou que tem a concavidade voltada
para cima no ponto x = a, se, numa vizinhança de x = a, o gráfico de f está sobre
a recta tangente ao gráfico da função de f nesse ponto.
Se, numa vizinhança de x = a, o gráfico de f está por baixo da recta tangente ao
gráfico da função de f em x = a, diz-se que f é uma função côncava em x = a ou
que tem a concavidade voltada para baixo nesse ponto.
Teorema 2.3.6
Seja f uma função real de variável real, com domínio Df , e 2−vezes derivável num
intervalo I ⊂ Df .
• Se f 00 (x) > 0 para x ∈ I, então f tem a concavidade voltada para cima em I.
• Se f 00 (x) < 0 para x ∈ I, então f tem a concavidade voltada para baixo em I.
Definição 2.3.7 (Pontos de Inflexão)
Os pontos onde a concavidade do gráfico da função passa de côncava a convexa, ou
vice-versa, são designados por pontos de inflexão da função.
Exercício 2.3.8
Para cada uma das seguintes funções, apresente o domínio, os zeros, estude a continuidade, a paridade, a monotonia, determine os extremos locais, indique os pontos
de inflexão, o sentido das concavidades e as assimptotas. Por fim, represente geometricamente as funções.
2.4. EXERCÍCIOS
45
4
1) f (x) = 2 − e−x ,
2.4
2) f (x) = x3 − 6x2 ,
3) f (x) =
x2
.
x−1
Exercícios
1. Recorrendo à definição, calcule o valor da derivada das seguintes funções nos
pontos indicados.
√
x
se x ≥ 4
(a) f (x) = 3x2 + 1 em x = 2
(e) f (x) =
x
+1
se x < 4
4
(b) f (x) = x−1
em x = 1
x+1
em
x
=
4
√
em x = 2
(c) f (x) = x
√
(d) f (x) = ex
em x = 0
(f) f (x) = x2 + 3x
em x = 1
2. Se possível, confirme os resultados obtidos no exercício anterior usando as
regras de derivação.
3. Calcule a e b de modo que a função real de variável real f : IR −→ IR definida
por
x2
se x < 2
f (x) =
ax + b
se x ≥ 2
seja diferenciável e determine para esses valores de a e b a função derivada.
4. Usando o teorema de derivação da função inversa, determine as derivadas das
inversas das seguintes funções.
√
(a) f (x) = 3 2x − 3
(c) f (x) = arctg(3x + 1)
(b) f (x) = log(x − 1)
(d) f (x) = ex
5. Confirme os resultados anteriores definindo primeiro a função inversa e derivando depois esse resultado.
6. Usando o teorema de derivação da função composta, determine as derivadas
das funções f ◦ g considerando
(a) f (x) = sen(x2 + 1) e g(x) = ln(x2 )
(b) f (x) = x e g(x) = x2 − 1
√
(c) f (x) = 3x2 + cos x e g(x) = x3
7. Confirme os resultados anteriores definindo primeiro a função composta e derivando depois esse resultado.
8. Analise a diferenciabilidade das seguintes funções e apresente a respectiva função derivada.
46
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL
(a) f (x) =
x2
4x + 2
(
x
se x 6= 0
1
1+e x
(b) f (x) =
0
(c) f (x) =
se x ≤ 2
se x > 2
e
−
1
x2
0
se x = 0
se x 6= 0
se x = 0
(d) f (x) =
1
se x 6= 0
se x = 0
x 3 ln|x|
0
1
sen x−1
0
 √
 3x
−5
(f) f (x) =
 πx
tg 2
se x 6= 1
se x = 1
(e) f (x) =
se x > 0
se x = 0
se − 1 < x < 0
9. Determine caso existam, os extremos e os pontos de inflexão das seguintes
funções.
x2 −4
x
−x
(a) f (x) = 1 − x2
(c) f (x) =
(b) f (x) = xln x
(d) f (x) = e (2x2 + 3x)
10. Utilize as regras de derivação para calcular as derivadas de ordem 1 e ordem
2 das seguintes funções.
(a) f (x) = sen2 (4x)
(b) f (x) =
sen x
cos(3x)
(h) f (x) = e−3x cos2 x4
√
(i) f (x) = arctg x2 + 1
(c) f (x) = 1 + 4x tg 2 (x3 )
(j) f (x) = x2
(d) f (x) = 5arcsen(2x)
√
(e) f (x) = ln x
(k) f (x) =
(f) f (x) = cos(arctg x)
q
(g) f (x) = 5 x+1
x−1
(m) f (x) = log 3 x
√1
x
(l) f (x) = e2x−3
(n) f (x) =
x2 +esen x
ex
11. Para as funções apresentadas nas alíneas (a), (b) e (c) do exercício 8 determine
a função derivada de 2a ordem.
, determine a recta tangente ao gráfico de f no ponto
12. Sendo f (x) = arcsen x−1
2
de intersecção com o eixo das abcissas.
13. Calcule um valor aproximado de,
(a) sen 31o
(c) (2, 003)5 − 3(2, 003)2 + 1
(b) tg 44o
(d)
14. Prove que,
√
2
0,99+(0,99)2
2.4. EXERCÍCIOS
47
(a) f (x) = x3 + 3x + 2 tem uma só raiz real.
(b) ex−1 = x admite apenas a solução x = 1.
(c) log x2 = x − 1 tem 3 raízes em IR.
15. Calcule os seguintes limites usando a regra de Cauchy ou de L’Hôpital.
x5 − 1
(a) lim 2
x→1 x − 1
1
(b) lim x x
x→+∞
π
(c) lim x arctg ex −
x→+∞
2
16. Considere a função g : IR −→ IR definida por
−x
xe
se x ≤ 0
g(x) =
.
x
se x > 0
x+1
(a) Mostre que g é contínua para x = 0.
(b) Prove que g é diferenciável para x = 0.
(c) Justifique, convenientemente, a afirmação
∃c ∈] − 2, 3[:
g(3) − g(−2)
= g 0 (c).
3 − (−2)
(d) Calcule lim g(x).
x→−∞
(e) Mostre que y = 1 é a única recta assíntota ao gráfico de g.
(f) Determine, caso existam, os pontos de inflexão do gráfico de g.
17. Considere a função g : IR −→ IR definida por
g(x) =
1
x + e x−1
1
se x 6= 1
.
se x = 1
(a) Mostre que g é contínua à esquerda de x = 1 mas não é contínua.
(b) Calcule lim g(x).
x→−∞
(c) Prove que g se anula em ] − ∞, 1[.
(d) Determine as assímptotas do gráfico de g.
48
CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL
2
18. Considere a função f (x) = 2x−x
. Calcule o domínio, o contradomínio, os
x−1
zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos
locais e o sentido das concavidades. Com a ajuda desses elementos, esboce o
respectivo gráfico.
19. Atendendo aos aspectos referidos no exercício anterior, esboce o gráfico das
funções
• f (x) =
ex
x
• f (x) =
x2 +x+1
(x+1)2
• f (x) = (ex − 1)2
• f (x) =
log x
x
20. Determine o polinómio de Taylor de f , de grau 5, em torno do ponto a para,
(a) f (x) = 1 + x3 e a = 1
(b) f (x) =
1
x
ea=1
(c) f (x) = ex e a = 1
(d) f (x) =
1
x−1
ea=0
21. Determine a aproximação quadrática da função f nos pontos indicados.
(a) f (x) = x3 e a = 1
(b) f (x) = ln x e a = 1
(c) f (x) = e−3x e a = 0
√
(d) f (x) = 3 x e a = −4
Capítulo 3
Cálculo Integral
3.1
Primitivas
Definição 3.1.1 (Primitivas)
Seja f uma função real de variável real definida num intervalo [a, b] de IR. Chama-se
função primitiva de f em [a, b], ou somente primitiva de f , a qualquer função F
definida em [a, b] que verifique a equação
F 0 (x) = f (x)
∀x ∈ [a, b].
Dizemos que uma função f é primitivável em [a, b], se existir, pelo menos, uma
função F :[a,b]→ IR tal que F 0 = f . Denotamos o conjunto de todas as primitivas
de uma função f , no intervalo [a, b], por,
Z
f (x)dx
ou
P [f (x)]
com x ∈ [a, b].
Proposição 3.1.2
Seja F uma primitiva de uma função f num intervalo [a, b] de IR. Então, o conjunto
de todas as primitivas de f em [a, b] é constituído por todas as funções da forma
F (x) + constante.
Proposição 3.1.3 (Linearidade)
Sejam f e g duas funções primitiváveis num intervalo [a, b] de IR e α ∈ IR. Temos,
Z
Z
Z
i)
f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx,
Z
ii)
Z
αf (x)dx = α
f (x)dx.
49
50
3.1.1
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
Primitivas Imediatas
Pela definição podemos dizer que a primitivação é a operação inversa da derivação. Assim, as primeiras fórmulas para as primitivas, são obtidas por inversão
das fórmulas de derivação e são designadas por primitivas imediatas. Existem contudo funções que, não sendo imediatamente primitiváveis, podem ser reduzidas a
primitivas imediatas usando primeiro propriedades dessas funções. Estão neste caso
algumas funções trigonométricas e hiperbólicas. Estas primitivas são habitualmente
designadas por primitivas quase imediatas.
Exemplo 3.1.4
Vamos considerar a função f (x) = x. Vamos ter
Z
F (x) =
f (x)dx
Z
x dx
=
=
1 2
x + c,
2
pois F 0 (x) = x = f (x).
Vamos agora apresentar uma tabela com as regras que nos irão permitir calcular
as primitivas imediatas.
Tabela 3.1.5
Z
0 dx = c
Z
k dx = kx + c
Z
f 0 f n dx =
f n+1
+c
n+1
f0
dx = ln|f | + c
Z f
f 0 ef dx = ef + c
Z
1 f
af f 0 dx =
a +c
ln a
Z
k ∈ IR
n ∈ IR\{−1}
Z
f 0 sen f dx = −cos f + c
Z
f 0 cos f dx = sen f + c
f0
dx = tg f + c
2
Z cos 0 f
f
dx = −cotg f + c
sen2 f
Z
a ∈ IR+
3.1. PRIMITIVAS
51
f0
p
dx = arcsen f + c = −arccos f + c
2
1
−
f
Z
f0
dx = arctg f + c = −arccotg f
1 + f2
Z
Nota 3.1.6
Estas fórmulas também podem ser obtidas da tabela das derivadas. Basta ler a
tabela da direita para a esquerda e somar uma constante na 1a coluna. Ou seja
(lnf )0 =
(f n )0 = nf n−1 f 0
l
c+f
n
l
Z
=
f0
f
nf
Z
n−1 0
f dx
Z
fn
⇔ c+
= f n−1 f 0 dx
n
Z
f p+1
= f p f 0 dx,
⇔ c+
p+1
Exemplo 3.1.7
Determine as seguintes primitivas,
R
1. x2 + x − 2 dx,
R
2. 8x cos(4x2 − 3) dx,
R √
3. 2x x2 + 3 dx,
R x2
√
4.
dx,
3 3
x −1
c + lnf =
8.
R
8x sen(4x2 + 2) dx,
9.
R
e3x dx,
10.
R
2x2
x3 +1
dx,
11.
R
cos x
sen x
dx,
dx,
12.
R
1
√
4 3
x
dx,
dx,
13.
R
√ 1
1−9x2
14.
R
2
1+4x2
5.
R
3x2
x3 +2
6.
R
ln2 x
x
7.
R
x3 + 2x + 2 dx,
f0
dx.
f
dx,
dx.
Teorema 3.1.8
Seja f uma função primitivável num intervalo [a, b]. Então para cada x0 ∈ I e
cada y0 ∈ IR existe uma, e uma só, primitiva de F tal que F (x0 ) = y0 .
Exercício 3.1.9
1) Calcule f sabendo que f 0 (x) = 4x + 2 e f (1) = 4.
52
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
2) Calcule a primitiva F de f (x) = sen x tal que F (π) = π. Ou por outras
palavras, calcule f tal que f 0 (x) = sen x e f (π) = π.
3) Calcule f tal que f 00 (x) = 12x2 + 6x − 4, f (0) = 4 e f (1) = 5.
3.1.2
Primitivação por Partes
O método de primitivação por partes dá-nos uma forma de podermos determinar
a primitiva de uma expressão que envolva a multiplicação de duas ou mais funções.
Proposição 3.1.10 (Método de Primitivação por Partes)
Sejam f uma função primitivável num intervalo [a, b] de IR e g outra função, derivável no mesmo intervalo. A função f × g é primitivável no intervalo [a, b] e a sua
primitiva é determinada pela fórmula
Z
Z
Z Z
0
f (x) × g(x)dx = f (x)dx × g(x) −
f (x)dx × g (x) dx.
(3.1.1)
Observação 3.1.11
Uma forma mais simplificada e elegante para apresentar a fórmula (3.1.1) é
Z
Z
0
f gdx = f g − f g 0 dx.
Nota 3.1.12
A vantagem deste método na resolução de primitivas só é garantida pela escolha
correta da função que se vai derivar. Esta função deve ser escolhida de modo que a
primitiva obtida no segundo termo da fórmula seja mais simples de resolver que a
primitiva inicial. Assim, temos a seguinte tabela de recomendações.
Tabela 3.1.13
Considerando P (x) um polinómio em x, trigo(x) uma função trigonométrica em x
e (trigo(x))−1 uma função trigonométrica inversa em x, temos
Z
P (x)ekx dx
f 0 = ekx
g = P (x)
P (x)trigo(x) dx
f 0 = trigo(x)
g = P (x)
P (x)(trigo(x))−1 dx
f 0 = P (x)
g = (trigo(x))−1
P (x)ln(x) dx
f 0 = P (x)
g = ln(x)
Z
Z
Z
Exemplo 3.1.14
Determine as primitivas
3.1. PRIMITIVAS
1.
R
xex dx,
53
2.
R
x cos x dx,
3.
R
x ln x dx,
4.
R
x2 ex dx.
Observação 3.1.15
Por vezes poderá ser necessário usar o método de primitivação por partes mais do
que uma vez e ser necessário algum engenho para determinar a primitiva.
Exemplo 3.1.16
Z
Determine a primitiva
ex sen x dx.
Observação 3.1.17
O método de primitivação por partes poderá também ser utilizado para determinar as
primitivas de expressões que envolvam apenas uma função. Neste caso escolhemos
para derivar a única função da expressão e para primitivar a função identicamente
igual a 1. Este raciocínio é particularmente útil para determinar todas as primitivas
das inversas das funções trigonométricas e das funções hiperbólicas, assim como para
a função logaritmo.
Exemplo 3.1.18
Determine as primitivas
Z
ln x dx,
3.1.3
Z
3
ln(x ) dx
Z
e
arcsen x dx.
Primitivação por Substituição
Apresentamos agora o método de primitivação que consiste na mudança de variável de forma a facilitar a resolução da primitiva.
Proposição 3.1.19 (Método de Primitivação por Substituição)
Sejam [a, b] e [c, d] dois intervalos de IR, f : [a, b] → [c, d] uma função primitivavel
e g : [c, d] → [a, b] uma função bijectiva e derivável. A primitiva da função f pode
ser determinada pela fórmula
Z
Z
f (x)dx = f (g(t))g 0 (t)dt.
Depois de obter a primitiva por este método é necessário voltar à variável inicial,
fazendo a substituição inversa
t = g −1 (x).
Exemplo 3.1.20
Fazendo as mudanças de variáveis indicadas, determine as primitivas
54
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
a)
R
√ x dx,
x+1
b)
R
1
dx,
ex +1
c)
R
√
√
x + 1 = t,
d)
R
3
√x
x−1
e)
R
1
ex +e−x
dx, x = 1 + t2 ,
x = −ln t,
1
dx,
x(1−x)
x = cos2 t,
dx, ex = t.
Observação 3.1.21
Note que uma mesma primitiva pode ser determinada usando os dois Métodos de
Primitivação, ou seja, o Método de Primitivação por Partes e usando o Método de
Primitivação por Substituição.
3.1.4
Primitivação de Funções Racionais
Vamos recordar a definição de função racional apresentada em Definição 1.2.18.
Definição 3.1.22 (Função Racional)
Uma função racional é definida por
f : D ⊆ IR
−→
IR
x
7−→
f (x) =
Pn (x)
Qm (x)
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
=
,
bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
com a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm ∈ IR, n, m ∈ IN0 e onde o numerador e o denominador não são divisíveis entre si.
Para determinar as primitivas de funções racionais temos os seguintes casos:
Caso 1: Se o grau de Pn é maior ou igual ao grau de Qm , ou seja, se n ≥ m, é possível
dividir os polinómios e calcular a primitiva.
Exemplo 3.1.23
Z
Determine a primitiva
x4 − 2
dx.
x2 + 1
Caso 2: Se o grau de Pn é igual ao grau de Qm menos 1, ou seja, se n = m−1, podemos
usar a fórmula da primitivação imediata
Z 0
f
dx = ln|f | + c.
f
Exemplo 3.1.24
Z
Determine a primitiva
x−1
dx.
x2 + 1
3.2. INTEGRAIS
55
Caso 3: Se o grau de Pn é menor ao grau de Qm menos 1, ou seja, se n < m − 1, temos
de ter em conta outros factores.
i) Se o polinómio Qm tem m raízes reais distintas, x1 , x2 , . . . , xm , podemos
escrever a função na forma
Pn (x)
Pn (x)
=
.
Qm (x)
(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xm )
Recorrendo ao Método dos Coeficientes Indeterminados decompomos a
função f em
Pn (x)
A1
A2
Am
=
+
+ ... +
.
Qm (x)
x − x1 x − x2
x − xm
ii) Se o polinómio Qm tem raízes reais repetidas, por exemplo, x0 de multiplicidade k e x1 , x2 , . . . , xm−k as restates raízes distintas podemos escrever
a função na forma
Pn (x)
Pn (x)
=
.
k
Qm (x)
(x − x0 ) (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xm−k )
Recorrendo ao Método dos Coeficientes Indeterminados decompomos a
função f em
A1
A2
Ak
Ak+1
Am
Pn (x)
=
+
+. . .+
+
+. . .+
.
k
k−1
Qm (x)
(x − x0 ) (x − x0 )
x − x0 x − x1
x − xm−k
iii) Se o polinómio Qm tem raízes complexas a situação é mais delicada.
Poderá se necessário fazer uma mudança de variável aliado ao Método dos
Coeficientes Indeterminados. Veremos o método mais simples resolvendo
o último caso do Exemplo 3.1.25.
Exemplo 3.1.25
Determine as primitivas
Z
1
dx,
2
x + 2x − 3
3.2
3.2.1
Z
x−1
dx
(x + 1)2 (2x + 3)
Integrais
Integral de Riemann
Definição 3.2.1 (Partição do intervalo)
Z
e
x+1
dx.
+ 1)
x3 (x2
56
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
Seja [a, b] um intervalo contido em IR com a < b. Designa-se por partição do
intervalo [a, b] ao conjunto finito de n + 1 pontos, x0 , x1 , . . . , xn , que divide [a, b]
em n sub-intervalos tais que,
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b,
com n ∈ IN.
A partição é denotada por P.
Para cada um dos n intervalos, [xi−1 , xi ] i = 1, . . . n definimos os respectivos comprimentos por
4xi = xi − xi−1 ,
Observação 3.2.2
Note que a localização dos pontos x0 , x1 , . . . , xn é arbitrária, ou seja, a divisão do
intervalo [a, b] não é única. Temos ainda que os sub-intervalos [xi−1 , xi ] podem ter
comprimento diferentes.
Definição 3.2.3 (Soma de Riemann)
Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. Designamos por
soma de Riemann da função f no intervalo [a, b] ao valor
n
X
f (ξi )4xi = f (ξ1 )4x1 + f (ξ2 )4x2 + . . . + f (ξn )4xn ,
i=1
onde ξi são pontos escolhidos aleatoriamente nos intervalos [xi−1 , xi ].
Para podermos definir a noção de integral vamos denotar por p o comprimento
do maior intervalo contido na partição P, ou seja,
p = max 4xi .
i
3.2. INTEGRAIS
57
Definição 3.2.4 (Função Integrável)
Sejam f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR e P uma partição
do intervalo. Diz-se que a função f é integrável à Riemann no intervalo [a, b], se
existir e for finito o limite
limp→0
Pn
i=1
f (ξi )4xi ,
independentemente de como a partição P do intervalo [a, b] é feita ou de como os
pontos ξi , pertencentes aos sub-intervalos [xi−1 , xi ], são escolhidos.
No caso de existir, designamos o valor do limite por integral da função f e denotamos
o resultado por
Z
b
f (x) dx.
a
A função f designa-se por função integranda, a e b são, respectivamente, o limite
inferior e o limite superior de integração.
3.2.2
Propriedades
Apresentamos agora algumas das mais importantes propriedades dos integrais.
Proposição 3.2.5
Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. Se a função f é
integrável à Riemann no intervalo [a, b], então é limitada em [a, b].
Proposição 3.2.6
Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. Se f é contínua em
[a, b], então f é integrável em [a, b].
Proposição 3.2.7
Seja f uma função monótona num intervalo fechado [a, b] contido em IR. Então f
é integrável em [a, b].
Proposição 3.2.8
Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] contido em IR tais que
f (x) = g(x) para quase todo x ∈ [a, b]. Então
Z b
Z b
f (x) dx =
g(x) dx.
a
a
58
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
Proposição 3.2.9
Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] e c uma constante real.
Então as funções f + g e c × f também são integráveis em [a, b] e temos,
b
Z
b
Z
b
Z
b
Z
c × f (x) dx = c ×
ii)
a
f (x) dx,
a
b
Z
g(x) dx,
a
a
a
b
f (x) dx +
f (x) + g(x) dx =
i)
Z
a
Z
f (x) dx = −
iii)
a
f (x) dx.
b
Proposição 3.2.10
Sejam a, b e c números reais tais que a < c < b e f uma função integrável em [a, b].
Então,
Z b
Z b
Z c
f (x) dx.
f (x) dx =
f (x) dx +
a
c
a
Proposição 3.2.11
Seja f uma função integrável em [a, b]. Então,
Z
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]
b
f (x) dx ≥ 0.
⇒
a
Proposição 3.2.12
Sejam f e g duas funções integráveis no intervalo [a, b]. Então,
Z
i) f (x) ≥ g(x) ∀x ∈ [a, b]
b
Z
f (x) dx ≥
⇒
b
g(x) dx,
a
a
Z b
Z b
ii) f (x) dx ≤
|f (x)| dx.
a
a
Proposição 3.2.13 (Teorema da Média do Integral)
Seja f uma função contínua num intervalo [a, b], com a < b. Então existe, pelo
menos, um ponto c ∈]a, b[ tal que
1
f (c) =
b−a
Z
b
f (x) dx.
a
3.2. INTEGRAIS
59
Proposição 3.2.14 (Teorema Fundamental do Cálculo Integral)
Seja f uma função integrável num intervalo [a, b] e contínua em ]a, b[. Então, a
função contínua
Z
x
f (s) ds,
F (x) =
a ≤ x ≤ b,
a
é derivável em cada ponto de ]a, b[ e temos,
F 0 (x) = f (x) para todo x ∈]a, b[.
Quando temos para g uma função derivável
Z g(x)
F (x) =
f (s) ds,
a ≤ x ≤ b,
a
então,
F 0 (x) = f (g(x)) × g 0 (x) para todo x ∈]a, b[.
Proposição 3.2.15 (Fórmula de Barrow)
Seja f uma função limitada num intervalo [a, b] e contínua em ]a, b[. Se F é uma
função contínua em [a, b] tal que
F 0 (x) = f (x) em x ∈]a, b[,
então
b
Z
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
3.2.3
Cálculo de Integrais
Apresentamos agora, de forma sucinta, os métodos usados para o cálculo de integrais recorrendo à Fórmula de Barrow e aos métodos de primitivação apresentados
anteriormente.
Observação 3.2.16
Para integrar, devemos primeiro primitivar e só depois recorrer à fórmula de
Barrow. Ou seja, calcular a primitiva caso ela seja imediata, para depois substituir x
pelo limite superior do intervalo menos x substituído pelo limite inferior do intervalo.
Exemplos 3.2.17
h 3 i2
R2
1) 0 x2 dx = x3 =
0
2)
R1
0
x2
xe dx =
1
2
h
x2
e
23
3
i1
0
−
=
03
3
e
2
= 83 .
− 21 .
60
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
Proposição 3.2.18 (Método de Integração por Partes)
Sejam f uma função contínua em [a, b] e g uma função com derivada contínua em
[a, b]. Então f × g é integrável em [a, b] e temos
Z
b
Z
f (x)g(x) dx =
x=b Z b Z
f (x) dx × g(x)
f (x) dx g 0 (x) dx.
−
a
x=a
a
Proposição 3.2.19 (Método de Integração por Substituição)
Sejam f uma função contínua em [a, b] e ϕ uma aplicação bijectiva sobre [a, b]. Se
ϕ é uma função derivável com derivada contínua, então temos
Z ϕ−1 (b)
Z b
f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt.
a
ϕ−1 (a)
Exercício 3.2.20
Calcule
Re
1) 1 ln x dx.
R1 √
2) −1 1 − x2 dx considerando x = sen t.
3.2.4
Aplicação dos Integrais
Os integrais são uma ferramenta utilizada para o cálculo de áreas.
Definição 3.2.21 (Cálculo de Áreas)
Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo [a, b]. A área da região
R limitada pelas rectas verticais x = a e x = b, pela recta horizontal y = 0 e pelo
gráfico de f é dada pelo integral
Z b
f (x) dx.
A(R) =
a
Rb
Se f (x) ≤ 0 no intervalo [a, b], vamos ter a f (x) dx ≤ 0. Assim, para calcular a
área da região consideramos o seu valor absoluto, ou seja,
Z b
A(R) = −
f (x) dx.
a
Se f (x) muda um número finito de vezes de sinal sobre o segmento [a, b] o integral
Rb
f (x) dx irá decompor-se em integrais parciais sobre o mesmo intervalo. O integral
a
é positivo sobre os segmentos onde f (x) ≥ 0 e negativo naqueles em que f (x) ≤
0. O integral sobre o segmento completo representa a diferença das áreas que se
3.2. INTEGRAIS
61
encontram de um lado e do outro do eixo Ox. Ou seja, é necessário encontrar-se
a soma dos valores absolutos dos integrais sobre os intervalos parciais indicados, o
que corresponde a calcular
Z
b
|f (x)| dx.
A(R) =
a
Se a região R estiver compreendida entre quaisquer duas funções continuas f e g,
com x ∈ [a, b], então a área de R é dada por
Z b
f (x) − g(x) dx.
A(R) =
a
Exercício 3.2.22
1) Calcule a área da figura limitada pelas curvas y =
2) Calcule a área da figura limitada pelas curvas y =
√
√
4 − x2 e y = 0.
2 − x2 e y = x2 .
Definição 3.2.23 (Cálculo de Comprimento de Arcos)
Seja f uma função derivável com derivada contínua num intervalo [a, b]. O comprimento de arco s da curva y = f (x) entre x = a e x = b é dado por
Z bq
s=
1 + (f 0 (x))2 dx.
a
Exercício 3.2.24
√
Calcule o comprimento do arco da curva y = 4 − x2 entre os pontos x = 0 e x = 2.
Definição 3.2.25 (Volumes de Sólidos de Revolução por uma Curva)
Considerando uma curva C descrita por f (x) = y não negativa no intervalo [a, b].
O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do
eixo 0x no intervalo [a, b] é dado por
Z b
V (S) = π
f 2 (x) dx.
a
62
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
Considerando uma curva C descrita por g(y) = x não negativa no intervalo [c, d].
O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do
eixo 0x no intervalo [c, d] é dado por
Z
d
yg(y) dy.
V (S) = 2π
c
Se uma curva C é descrita por g(y) = x (não negativa em [c, d]), o volume V (S) do
sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo 0y no intervalo
[c, d] é dado por
Z d
V (S) = π
g 2 (y) dy.
c
Se uma curva C é descrita por f (x) = y (não negativa em [a, b]), o volume V (S) do
sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo 0y no intervalo
[a, b] é dado por
Z b
V (S) = 2π
xf (x) dx.
a
Definição 3.2.26 (Volumes de Sólidos de Revolução por duas Curva)
Podemos definir um sólido "oco", ou seja, um sólido com uma face externa e outra
interna, recorrendo a duas curvas, uma para cada face. Para a determinação das
duas faces considere as duas funções f e g não negativas no intervalo [a, b] sendo que,
para determinar o sólido de forma regular, estabelecemos que f (x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 e
f (x) > g(x).
3.2. INTEGRAIS
63
O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação das curvas em torno do
eixo 0x no intervalo [a, b] é dado por
b
Z
g 2 (x) − f 2 (x) dx.
V (S) = π
a
De modo análogo obtém-se a fórmula para o cálculo do volume de um sólido de
revolução gerado pela rotação de 2π de uma região limitada por duas curvas em
torno do eixo dos 0y. O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação
das curvas em torno do eixo 0y no intervalo [c, d] é dado por
d
Z
g 2 (y) − f 2 (y) dy.
V (S) = π
c
Definição 3.2.27 (Áreas de Sólidos de Revolução)
Considere-se a superfície de revolução obtida fazendo rodar a curva f (x) = y em
volta do eixo 0x. Suponha-se que a função f é contínua com derivada em todos os
pontos do segmento [a, b].
A área desta superfície no intervalo [a, b] é dada por
b
Z
A(S) = 2π
q
f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
De modo idêntico se obtém a área da superfície de revolução obtida pela rotação da
curva x = g(y) em torno do eixo 0y,
Z
A(S) = 2π
d
g(y)
q
1 + [g 0 (y)]2 dy.
c
Exercício 3.2.28
1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva f (x) = x3 em torno
do eixo 0x, no intervalo [1, 2].
64
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
2) Calcule o volume gerado pela função f (x) =
√
a2 − x2 em [−a, a].
3) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo 0y, no
intervalo [0, 4].
4) Calcule o volume formado pela rotação da região entre y = x2 e y = x + 2.
3.3
Integrais Impróprios
Vimos na secção anterior que a função que compõe o integral tem de ser limitada
no intervalo [a, b] e que este intervalo também tem de ser limitado. No entanto, nem
sempre isso acontece. Poderemos ter, por exemplo,
Z
+∞
Z
f (x) dx
b
f (x) dx com f (x) → ∞ para algum x ∈ [a, b].
ou
a
a
São os chamados integrais impróprios de primeira espécie e de segunda espécie,
respectivamente, que passamos a definir.
Definição 3.3.1 (Integral Impróprio de Primeira Espécie)
Seja f uma função contínua, definida no intervalo [a, +∞[, e integrável em todo o
intervalo [a, b] ⊂ [a, +∞[. Designa-se por integral impróprio de primeira espécie da
função f sobre o intervalo [a, +∞[ a
+∞
Z
β
Z
f (x) dx = lim
β→+∞ a
a
f (x) dx.
De modo análogo, para f uma função contínua, definida no intervalo ] − ∞, b], e
integrável em todo o intervalo [a, b] ⊂] − ∞, b]. Designa-se por integral impróprio de
primeira espécie da função f sobre o intervalo [−∞, b[ a
Z
b
b
Z
f (x) dx = lim
β→−∞ β
−∞
f (x) dx.
Exemplos 3.3.2
Alguns exemplos de integrais impróprios de primeira espécie são,
Z
1
+∞
1
dx,
x
Z
3
2
x dx
−∞
Z
+∞
e
−∞
x2
x
dx.
+1
3.3. INTEGRAIS IMPRÓPRIOS
65
Definição 3.3.3 (Integral Impróprio de Segunda Espécie)
Seja f uma função contínua e integrável no intervalo ]a, b]. Designa-se por integral
impróprio de segunda espécie da função f sobre o intervalo ]a, b] a
Z b
Z b
f (x) dx = lim+
f (x) dx.
β→a
a
β
Se f é uma função contínua e integrável no intervalo [a, b[. Designa-se também por
integral impróprio de segunda espécie da função f sobre o intervalo [a, b[ a
Z b
Z β
f (x) dx = lim−
f (x) dx.
β→b
a
a
Temos ainda o caso em que, se f é uma função contínua e integrável no intervalo
[a, b] mas existe um c ∈ [a, b] onde f é descontínua então também se designa por
integral impróprio de segunda espécie da função f sobre o intervalo [a, b] a
Z b
Z β
Z b
f (x) dx.
f (x) dx + lim+
f (x) dx = lim−
a
β→c
a
β→c
β
Exemplos 3.3.4
Alguns exemplos de integrais impróprios de segunda espécie são,
Z 1
Z 2
Z 2
1
1
1
√
dx,
dx
e
dx.
2
1−x
0
0 x
0 x−1
Definição 3.3.5 (Integral Impróprio Misto)
Quando o integral é simultaneamente de primeira e de segunda espécie, ou seja,
quando o intervalo de integração não é limitado e a função também não é limitada
em algum ponto do interior do intervalo considerado, designamos os integrais por
integrais impróprio mistos.
Exemplo 3.3.6
Um exemplo de integral impróprio misto é
Z +∞
x
√
dx.
x2 − 1
1
Definição 3.3.7 (Convergência dos Integrais Impróprios)
Os integrais impróprios dizem-se convergentes, se existirem e forem finitos os limites
que os definem. Caso contrário, os integrais impróprios dizem-se divergentes.
Exercício 3.3.8
Diga se são convergentes ou divergentes os integrais impróprios apresentados anteriormente como exemplos.
66
CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL
3.4
Exercícios
1. Calcule as seguintes primitivas.
R 7
R
(a) x 6 dx
(h) sen(7x) dx
R√
R
5
(b)
20 + x dx
(i) cos( x7 ) dx
R 1
R
√
dx
(c) x+3
(j) (2 − x) x dx
R 1
R 2x
(d) 2x−5
dx
(k) √1−x
4 dx
R 4−x
R
√
(e)
dx
(l) tg(2x) dx
6
8x−x2
R
R ex
(m) ex 3x dx
(f) e2x +9 dx
R
R
x)
(n) sen(arctg
dx
(g) e3x dx
1+x2
2. Calcule as seguintes primitivas, utilizando a fórmula
tes.
R
R
(a) x2 ex dx
(f) sen2 x cos x dx
R √
R
(g) x x + 1 dx
(b) sen2 x dx
R
R
(h) x2 cos x dx
(c) ex sen x dx
R
R
x
(i) x ln x+1
dx
(d) ln2 x dx
R
R
(j) arcsen x dx
(e) cos4 x dx
(o)
R
1
x(3+ln 3x)
(p)
R
ex
ex +9
(q)
R
x2
x2 +4x+5
(r)
R
2x+1
x2 +1
(s)
R
sen x
5+cos2 x
(t)
R
5
2
3x
√ −x
9−x6
dx
dx
dx
dx
dx
dx
de primitivação por par-
(k)
R
cos x cos(5x) dx
(l)
R
sen(ln x) dx
(m)
R
(x3 + x)ex dx
(n)
R
x5 sen x3 dx
(o)
R
2
ln(x2 + 1) dx
3. Calcule as seguintes primitivas, utilizando as substituições indicadas.
R
R
(a) x√x12 −2 dx, x = 1t
dx, x = sen2 t
(f) √ 1
x(1−x)
R√
R √
√
(b)
9 − x2 dx, x = 3 sen t
(g) cos√x x dx,
x=t
R x
R
√
√
(c) √x+1 dx, x = t2 − 1
(h) x 1 + 3x dx,
1 + 3x = t
R 1
√ x
R ln x
e −1=t
(i) √ex −1 dx,
(d)
dx, x = et
x
R x2
R sen x
(j) √1−x2 dx, x = sen t
(e) 2−sen2 x dx, cos x = t
4. Calcule as seguintes primitivas de funções racionais
R
R 5 4 −8
x
(a) (x+1)(x−2)(x−3)
dx
(d) x x+x
dx
3 −4x
R
R
x
x
(b) (x+1)(x−1)
(e) (x+1)(x
2 dx
2 +1) dx
R 1+x+x3
(c) x2 −2x3 +x4 dx
3.4. EXERCÍCIOS
67
5. Calcule os seguintes integrais definidos.
R1
2
(a) 0 xex dx
R2
(b) 0 √4xx2 +9 dx
R1
(c) 0 x2 + x dx
R1 √
(d) −1 1 − x2 dx, x = sen t
R 2 2 x−ln x
dx
(e) 1 x lnx+1
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Re
ln x dx
R π2
√
4
cos x dx, x = t2
0
R1 x
e cos πx dx
−1
R3
√ 1
dx
−1 7+3x
√
R 2
2
x arcsen x2 dx
0
1
6. Indique a natureza dos seguintes integrais impróprios.
R +∞
R1
(a) 1 x12 dx
(f) 0 x12 dx
R +∞
R2 1
(b) 1 cos x dx
√ dx
(g)
0 4x
R +∞ 1
(c) 1 x dx
R1 1
R +∞ 1
(h) 1 x log
dx,
x
(d) 1 1+x2 dx
2
R1
R +∞
1
2
(e) −∞ 1+x
(i) 0 x12 dx
2 arctg x dx
3
Z
0
x = et
t2 esen t dt.
7. Calcule f (x) quando f (x) =
x
8. Calcule a derivada em ordem a x das seguintes funções.
Z x
cos t2 dt
(a) f (x) =
1/2
Z
x2
(b) f (x) =
arcsen x
sen t
dt,
t
|x| < 1 ∧ x 6= 0
Z
x
9. Considere a função f : [0, 1] → IR definida por f (x) =
e mostre que f tem, pelo menos, um extremo.
10. Calcule
Z
lim
x→0
x
2
e−t dt
0
1 − e−x2
.
x2
2
et dt. Calcule f 0 (x)
Capítulo 4
Sucessões
4.1
Definição de Sucessão e Subsucessão
Definição 4.1.1 (Sucessão)
Chama-se sucessão infinita de termos reais, ou apenas, para simplificar, sucessão a
toda a aplicação de IN em IR.
Uma sucessão pode ser representada por
u : IN −→ IR
n 7−→ u(n) = un
onde
n denota a ordem do termo,
un denota o valor do termo ou termo geral,
(un ) denota a sucessão,
u (IN) denota o conjunto dos termos da sucessão.
Observação 4.1.2
Também é usual denotar a sucessão por
(un )n∈IN ,
(un )n
ou
(un ).
Considerando os termos da sucessão
u1 , u2 , . . . , un , . . . ,
denominamo-los por
primeiro termo, segundo termo, . . . , n-ésimo termo, . . . .
68
4.1. DEFINIÇÃO DE SUCESSÃO E SUBSUCESSÃO
69
Exemplos 4.1.3
1) Considerando o termo geral un = n1 , para todo n ∈ IN, temos a sucessão
1 1
1
(un ) = 1, , , . . . , , . . . ,
2 3
n
ou apenas n1 .
Vamos ter u (IN) = n1 : n ∈ IN .
2) Para un = 2, n ∈ IN, temos a sucessão
(un ) = (2, 2, . . . , 2, . . .),
onde u (IN) = {2}.
3) Para un = (−1)n+2 , n ∈ IN, temos a sucessão
(un ) = (−1, 1, −1, 1, . . .),
onde u (IN) = {−1, 1}.
4) Para un = (−1)n+1 − 3, n ∈ IN, temos a sucessão
(un ) = (−2, −4, −2, −4, . . .),
onde u (IN) = {−4, −2}.
5) Para un = n, n ∈ IN, temos a sucessão
(un ) = (1, 2, 3, 4, . . .)
onde u (IN) = IN.
6) Por vezes, duas ou mais fórmulas podem ser indicadas para definir uma sucessão. Por exemplo, as fórmulas
u2n−1 =
1
,
n2
u2n = n2 ,
n ∈ IN,
definem a sucessão
1
1
1
(un ) = 1, 1, , 4, , 9, , 16, . . . .
4
9
16
Neste caso temos u (IN) = n12 : n ∈ IN ∪ {n2 : n ∈ IN\{1}}.
70
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
7) Outro modo de definir uma sucessão consiste em indicar as instruções de como
se podem obter os seus termos. Quando assim é, dizemos que a sucessão é
definida por recorrência. Como exemplo, considerando as fórmulas
u1 = u2 = 1,
un+1 = un + un−1 ,
n ∈ IN,
temos a célebre sucessão de Fibonacci
(un ) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .) .
Neste caso temos u (IN) = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .}.
Observação 4.1.4
O exemplo 2) mostra que (un ) e u (IN) são coisas diferentes e que, por conseguinte,
não devem ser confundidos. Neste exemplo temos (un ) = (2, 2, . . . , 2, . . .), enquanto
que u (IN) = {2}. Algo de semelhante acontece nos exemplos 3), 4), 6) e 7).
Definição 4.1.5 (Subsucessão)
Uma subsucessão é uma sucessão cujo conjunto dos seus termos é um subconjunto do conjunto dos termos de uma dada sucessão. Por exemplo, considerando
a sucessão (u1 , u2 , u3 , u4 , . . .) podemos considerar a subsucessão dos termos pares
(u2 , u4 , u6 , u8 , . . .), a subsucessão dos termos ímpares (u1 , u3 , u5 , u7 , . . .), ou a subsucessão dos termos cuja ordem é um número primo (u2 , u3 , u5 , u7 , u11 , . . .), etc.
Nota 4.1.6
Toda sucessão é subsucessão de si própria. Assim, considerando uma sucessão constante, a sua única subsucessão é ela mesma.
Exemplos 4.1.7
Consideremos a sucessão de termo geral un = n1 , para todo n ∈ IN, apresentada em
1) dos Exemplos 4.1.3. Podemos definir as seguintes duas subsucessões,
1 1
1
(vn ) = 1, , , . . . , 2 , . . . ,
4 9
n
(wn ) =
1 1 1
1
, , ,..., ,... .
2 4 6
2n
Exercício 4.1.8
Defina subsucessões para as restantes sucessões apresentadas nos Exemplos 4.1.3.
4.2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA SUCESSÃO
4.2
71
Representação Gráfica de uma Sucessão
A representação gráfica de uma sucessão, num sistema de eixos cartesianos, faz-se
do mesmo modo como para qualquer função. No eixo das abcissas (0x) indicamos
os números naturais e no eixo das ordenadas (0y) as correspondentes imagens por
meio da sucessão (termos da sucessão).
O gráfico de uma sucessão (un ) é o conjunto de pontos discretos {(n, un ) : n ∈ IN}.
Exemplos 4.2.1
A representação gráfica dos seis primeiros termos da sucessão un =
é
2(−1)n
,
n
n ∈ IN,
Exercício 4.2.2
Represente geometricamente os 4 primeiros termos das sucessões 1), 2) e 4) dos
Exemplos 4.1.3.
4.3
Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas
Apresentamos agora duas importantes classes de sucessões.
Definição 4.3.1 (Progressão Aritmética)
Uma progressão aritmética é uma sucessão em que cada termo, a partir do segundo,
é igual à soma do termo anterior com uma constante real r a que se dá o nome de
razão.
A fórmula para o seu termo geral é
un = u1 + (n − 1)r,
n ∈ IN.
72
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
Este tipo de sucessão caracteriza-se por a diferença de quaisquer 2 dos seus
termos sucessivos ser a constante r, ou seja,
un+1 − un = r,
n ∈ IN.
Deste modo podemos definir a sucessão por recorrência,
u1 = a
un+1 = un + r,
n ∈ IN
sendo a, r ∈ IR conhecidos.
Proposição 4.3.2
A soma Sn dos primeiros n termos de uma progressão aritmética (un ) é dada pela
fórmula
Sn =
u1 + un
× n.
2
Exercício 4.3.3
Calcule a soma S50 da progressão aritmética (un ) = n.
Exercício 4.3.4
Determine o termo geral de uma progressão aritmética (an ) sabendo que
a4 + a7 = 12
.
a4 × a7 = 27
Definição 4.3.5 (Progressão Geométrica)
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo, a partir do segundo,
é igual à multiplicação do termo anterior por uma constante real r 6= 0 a que se dá
o nome de razão. Para estar bem definida temos de ter u1 6= 0.
A fórmula para o seu termo geral é
un = u1 × rn−1 ,
n ∈ IN, u1 6= 0, r 6= 0.
A sucessão caracteriza-se pelo facto da divisão entre quaisquer 2 dos seus termos
sucessivos ser a constante r, ou seja,
un+1
= r,
n ∈ IN.
un
Podemos também aqui definir a sucessão por recorrência através das fórmulas
u1 = a
(u1 6= 0, r 6= 0)
un+1 = un × r,
n ∈ IN
sendo a, r ∈ IR conhecidos.
4.4. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
73
Proposição 4.3.6
A soma Sn dos primeiros n termos de uma progressão geométrica (un ) é dada pela
fórmula
Sn = u1
1 − rn
.
1−r
Exercício 4.3.7
Determine o termo geral de uma progressão geométrica sabendo que a razão é
terceiro termo é 24.
1
2
eo
Exercício 4.3.8
Numa progressão geométrica temos v5 = 32 e v8 = 4.Calcule S10 .
4.4
Princípio de Indução Matemática
O Princípio de Indução Matemática é um método simples para demonstrar que
determinada propriedade é verdadeira para todos os números naturais. Isto é conseguido através dos seguintes dois passos:
1) Base de indução: Estabelecer a propriedade para o primeiro dos números
naturais, ou seja, o número 1;
2) Passo de indução: Estabelecer que caso a propriedade se verifique para um
número natural n (Hipótese de Indução) então ela também é verificada para o
número natural seguinte, n + 1.
Definição 4.4.1 (Princípio de Indução Matemática)
Se, no universo IN, representamos uma condição por P (n) e se,
1) P (1) é verdadeira;
2) P (n) ⇒ P (n + 1), para n > 1;
então P (n) é verdadeira para todo n ∈ IN.
Exemplos 4.4.2
Vamos provar que 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 .
1) Para n = 1 temos 1 = 12 . Logo, a propriedade é verdadeira para n = 1.
74
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
2) Vamos supor que é verdade para n ∈ IN, ou seja que,
1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 .
Vamos provar então que é verdade para n + 1, ou seja , que
1 + 3 + 5 + . . . + 2(n + 1) − 1 = (n + 1)2 .
Temos,
1+3+5+. . .+[2(n + 1) − 1] =
=
=
=
1 + 3 + 5 + . . . + [2n − 1] + [2(n + 1) − 1]
[1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1] + [2(n + 1) − 1]
n2 + 2n + 1
(n + 1)2 ,
c.q.d.
Assim, é verdade que 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 , ∀n ∈ IN.
Exercício 4.4.3
Prove por indução matemática que,
1) 3n × 2n = 6n , ∀n ∈ IN,
2) 1 + 2 + 3 + . . . + n =
4.5
n(n+1)
,
2
∀n ∈ IN.
Monotonia
Definição 4.5.1 (Sucessão Monótona)
Uma sucessão (un ) diz-se monótona estritamente crescente se
un < un+1 ,
∀n ∈ IN.
Uma sucessão (un ) diz-se monótona estritamente decrescente se
un > un+1 ,
∀n ∈ IN.
Uma sucessão (un ) diz-se estritamente monótona se for estritamente crescente ou
estritamente decrescente.
Uma sucessão (un ) diz-se monótona crescente (no sentido lato) se
un ≤ un+1 ,
∀n ∈ IN.
Uma sucessão (un ) diz-se monótona decrescente (no sentido lato) se
un ≥ un+1 ,
∀n ∈ IN.
Uma sucessão (un ) diz-se monótona (no sentido lato) se for crescente ou decrescente.
Uma sucessão (un ) que não é monótona diz-se oscilante
4.6. SUCESSÕES LIMITADAS
75
Para estudar a monotonia de uma sucessão, determinamos a diferença
un+1 − un
e comparamos o resultado com 0. Se o resultado for maior que 0, a sucessão é
monótona crescente. Se for menor que 0, a sucessão é monótona decrescente. Se,
por outro lado, for igual a 0 a sucessão é constante.
Por vezes poderá ser mais fácil estudar a monotonia de uma sucessão determinando
un+1
un
e comparando o resultado com 1 desde que que un 6= 0. Se o resultado for maior
que 1, a sucessão é monótona crescente. Se é menor que 1, a sucessão é monótona
decrescente. Se, por outro lado, for igual a 1, a sucessão é constante.
Exercício 4.5.2
Estude a monotonia das seguintes sucessões,
un = 3n − 2,
4.6
n ∈ IN,
e
vn =
1
,
n
n ∈ IN.
Sucessões Limitadas
Recordar 4.6.1
Seja A um subconjunto de IR.
• b ∈ IR é um majorante de A se ∀x ∈ A ⇒ x ≤ b.
• b ∈ IR é um minorante de A se ∀x ∈ A ⇒ b ≤ x.
• A é um conjunto majorado se tiver pelo menos um majorante.
• A é um conjunto minorado se tiver pelo menos um minorante.
• A é um conjunto limitado se for majorado e minorado.
Exemplos 4.6.2
Considerando A =] − 1, 1[∪]1, 4[∪{−3}, temos os minorantes ] − ∞, −3] e os majorantes [4, +∞[.
Definição 4.6.3 (Sucessão Majorada)
Uma sucessão diz-se majorada, se o conjunto dos seus termos for majorado, isto é,
se existir um real maior ou igual do que todos os termos da sucessão. Ou seja, se
∃L ∈ IR : un ≤ L,
∀n ∈ IN.
76
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
Definição 4.6.4 (Sucessão Minorada)
Uma sucessão diz-se minorada, se o conjunto dos seus termos for minorado, isto é,
se existir um real menor ou igual do que todos os termos da sucessão. Ou seja, se
∃l ∈ IR : un ≥ l,
∀n ∈ IN.
Definição 4.6.5 (Sucessão Limitada)
Uma sucessão diz-se limitada se for majorada e minorada. Ou seja, se
∃L, l ∈ IR : l ≤ un ≤ L,
∀n ∈ IN.
Exercício 4.6.6
Verifique se as seguintes sucessões são limitadas,
un = n,
4.7
n ∈ IN,
e
vn =
1
,
n
n ∈ IN.
Sucessões Convergente
Dizemos que uma sucessão (un ) tende para determinado elemento a, finito ou não,
se, a partir de determinada ordem p ∈ IN, os termos da sucessão vão estar tão
próximos de a quanto se queira. Abreviadamente, podemos escrever
lim un = a,
n→+∞
lim un = a,
n→∞
lim un = a,
n
lim un = a ou un −→ a.
No caso de a ser finito, isto é, ser um número real, dizemos que a sucessão é
convergente ou converge.
Definição 4.7.1 (Sucessão Convergente)
Uma sucessão (un ) converge para a ∈ IR se
∀ε > 0 ∃p = p(ε) ∈ IN : ∀n ∈ IN e n > p ⇒ un ∈ ]a − ε, a + ε[ ,
ou
∀ε > 0 ∃p = p(ε) ∈ IN : ∀n ∈ IN e n > p ⇒ |un − a| < ε.
Isto é, por mais pequeno que seja ε > 0, e portanto a amplitude do intervalo ]a −
ε, a+ε[, existe uma ordem p = p(ε) ∈ IN a partir da qual todos os termos da sucessão
"caem"dentro desse intervalo.
O real a da definição anterior chama-se limite da sucessão.
Apresentamos agora uma denominação particular para as sucessões convergentes.
Definição 4.7.2 (Infinitésimo)
Quando a sucessão (un ) converge para 0 dizemos que (un ) é um infinitésimo.
4.8. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA
Exercício 4.7.3
Usando a definição, mostre que a sucessão
77
1
n
é um infinitésimo.
Uma sucessão (un ) que não é convergente diz-se divergente.
Casos particulares importantes das sucessões divergentes são aquelas que tendem
para +∞ ou −∞. Assim, temos as seguintes definições.
Definição 4.7.4 (Infinitamente Grandes)
Diz-se que a sucessão (un ) é um infinitamente grande positivo, ou que tende para
+∞, denotando-se por un → +∞, se para qualquer número real b for possível determinar uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucessão são maiores do
que b.
Diz-se que a sucessão (un ) é um infinitamente grande negativo, ou que tende para
−∞, denotando-se por un → −∞, se para qualquer número real b for possível determinar uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucessão são menores do
que b.
4.8
Critérios de Convergência
Vamos agora apresentar alguns Teoremas e Proposições que nos permitirão estudar a convergência das sucessões. Não se assuste com a palavra Teorema. Vamos
apenas apresentar os resultados que lhe permitirão conhecer melhor algumas propriedades das sucessões. Deixaremos assim as demonstrações para outro ciclo de
ensino.
Proposição 4.8.1
Sejam (un ) uma sucessão e a, b ∈ IR. Se
lim un = a,
n→+∞
e
lim un = b,
n→+∞
então a = b.
Proposição 4.8.2
Se (un ) é uma sucessão constante, então (un ) converge para a própria constante.
Proposição 4.8.3
Se (un ) é uma sucessão convergente, então (un ) é limitada.
Note que o recíproco da proposição anterior não é verdade. Ou seja, uma sucessão
limitada pode não ser convergente. Veja-se o exemplo da sucessão
−1
se n é par
un =
.
2
se n é ímpar
78
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
Proposição 4.8.4
Se (un ) é uma sucessão monótona e limitada, então é convergente.
Note que também para esta última
proposição o recíproco não é verdade. Veja-se
(−1)n
o exemplo da sucessão un = n , convergente para 0 mas não monótona.
Teorema 4.8.5 (Teorema de Bolzano-Weierstrass)
Seja (un ) uma sucessão limitada. Então (un ) tem, pelo menos, uma subsucessão
convergente.
Teorema 4.8.6 (Teorema das Sucessões Enquadradas)
Sejam (un ), (vn ) e (wn ) sucessões tais que (un ) e (wn ) são convergentes com
lim un = a = lim wn ,
n→+∞
n→+∞
a ∈ IR,
e, a partir de certa ordem, un ≤ vn ≤ wn . Então (vn ) é convergente e
lim vn = a.
n→+∞
Exercício 4.8.7
Usando o Teorema das Sucessões Enquadradas, mostre que a sucessão
1
,
+1
1
1
u2 = 2
+ 2
,
2 +1 2 +2
..
.
1
1
un = 2
+ ... + 2
,
n +1
n +n
u1 =
12
é convergente e calcule o seu limite.
Teorema 4.8.8
Sejam (un ) uma sucessão limitada e (vn ) uma sucessão convergente tal que
lim vn = 0.
n→+∞
Então (uv)n = un vn é uma sucessão convergente e
lim un vn = 0.
n→+∞
4.9. RECTA ACABADA
79
Note que poderá já conhecer este último teorema com o texto ”O produto de um
infinitésimo por uma limitada é um infinitésimo”.
Proposição 4.8.9 (Operações com Sucessões Convergentes)
Sejam (un ) e (vn ) sucessões convergentes com
lim un = a
lim vn = b,
e
n→+∞
n→+∞
a, b ∈ IR. Então
1)
2)
3)
4)
5)
lim (un + vn ) = lim un + lim vn = a + b,
n→+∞
n→+∞
n→+∞
lim (un − vn ) = lim un − lim vn = a − b,
n→+∞
n→+∞
n→+∞
lim (un × vn ) = lim un × lim vn = a × b,
n→+∞
n→+∞
n→+∞
lim (k × un ) = k × lim un = k × a, com k ∈ IR,
n→+∞
n→+∞
lim un
un
a
n→+∞
=
= , se lim vn 6= 0, ∀ n ∈ IN,
n→+∞ vn
n→+∞
lim vn
b
lim
n→+∞
6)
lim vn
n→+∞
lim uvnn = lim un
n→+∞
n→+∞
= ab desde que a e b não sejam simultaneamente
nulos,
q
√
√
7) lim k un = k lim un = k a, com k ∈ IN.
n→+∞
4.9
n→+∞
Recta Acabada
Na última proposição da secção anterior vimos como é fácil calcular o limite
quando temos operações entre sucessões convergentes. Imagine agora que temos
duas sucessão, (un ) e (vn ), tais que
lim un = a,
n→+∞
a ∈ IR,
e
lim vn = +∞,
n→+∞
e queremos calcular
lim (un + vn ) =?,
n→+∞
lim
n→+∞
un
=?
vn
ou
lim uvnn =?.
n→+∞
(4.9.1)
Surge assim a necessidade de definir recta acabada e as suas operações habituais
(+, −, ×, ÷, potenciação,...) de forma a ser possível operar com os elementos +∞
e −∞.
80
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
Definição 4.9.1 (Recta Acabada)
Define-se recta acabada, denotando-a por IR, ao conjunto dos números reais mais os
dois elementos +∞ e −∞. Ou seja,
IR = IR ∪ {−∞, +∞} .
Vamos agora definir as operações algébricas entre dois elementos deste conjunto,
dando particular importância ao caso de pelo menos um deles ser +∞ ou −∞.
Definição 4.9.2 (Operações com +∞ e −∞)
Para a adição temos,
a + (+∞) = +∞,
a + (−∞) = −∞,
∀ a ∈ IR,
(−∞) + (−∞) = −∞.
(+∞) + (+∞) = +∞,
Para a subtracção temos,
a − (+∞) = −∞,
a − (−∞) = +∞,
(+∞) − (−∞) = +∞,
∀ a ∈ IR,
(−∞) − (+∞) = −∞.
Para a multiplicação temos,
a × (+∞) = +∞,
a × (−∞) = −∞,
∀ a > 0,
a × (+∞) = −∞,
a × (−∞) = +∞,
∀ a < 0,
(+∞) × (+∞) = +∞,
(+∞) × (−∞) = −∞,
(−∞) × (−∞) = +∞.
Para a divisão temos,
+∞
−∞
= +∞,
= −∞,
a
a
+∞
−∞
= −∞,
= +∞,
a
a
a
a
=
= 0.
+∞
−∞
Para a potenciação temos,
0
se 0 ≤ a ≤ 1
+∞
a
=
,
+∞ se a > 1
b
(+∞) =
0
se b < 0
,
+∞ se b > 0
a
−∞
=
1
∀ a ≥ 0,
∀ a ≤ 0,
=
a+∞

 0
+∞
(−∞)b =

−∞
+∞ se 0 ≤ a ≤ 1
,
0
se a > 1
se b < 0
se b > 0 e b par
.
se b > 0 e b ímpar
4.10. CÁLCULO DE LIMITES COM INDETERMINAÇÕES
81
Estamos em condições de responder às perguntas lançadas em (4.9.1). Vamos
ter
un
lim
=0 e
n→+∞ vn
lim (un + vn ) = +∞,
n→+∞
lim
n→+∞
uvnn
=
Recordar 4.9.3
No conjunto IR, recorde os casos particulares,
a
a
+∞
se a > 0
−∞
=
,
=
+
−
−∞
se a < 0
+∞
0
0
0
se a > 0
0a =
+∞ se a < 0
4.10
0
se 0 ≤ a ≤ 1
.
+∞ se a > 1
se a > 0
se a < 0
Cálculo de Limites com Indeterminações
Imagine agora que temos (un ), (vn ) e (wn ) tais que
lim un = 0,
n→+∞
lim vn = +∞ e
n→+∞
lim wn = −∞.
n→+∞
Vamos ter,
+∞
vn
=
n→+∞ wn
−∞
lim (un × vn ) = 0 × (+∞),
lim
n→+∞
e
lim vnun = (+∞)0 .
n→+∞
Ou seja as célebres indeterminações, que acontecem quando não é possível determinar uma operação. Assim,
Definição 4.10.1 (Indeterminações)
As indeterminações em IR são do tipo,
•
0
0
•
∞
∞
−∞
,
−∞
+∞
,
+∞
• 00
0
0 =
1
±∞
+∞
,
−∞
0
=
−∞
,
+∞
1
,
(±∞)0
• ∞−∞
+∞ + (−∞) = +∞ − ∞,
+∞ − (+∞) = +∞ − ∞,
−∞ + (+∞) = −∞ + ∞,
−∞ − (−∞) = −∞ + ∞,
82
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
• 0 × ∞,
0 × (+∞),
0 × (−∞),
• 1∞
1−∞ =
1+∞ ,
1
1+∞
,
• ∞0
(±∞)0 .
Apresentamos agora de forma sucinta algumas regras para o levantamento de
indeterminações. Mas, note primeiro que,
Importante 4.10.2
Antes de aplicar qualquer método para levantar uma indeterminação, dever ver se é
possível simplificar o termo da sucessão.
Regra 1: levantamento de indeterminações do tipo ∞ − ∞
Este tipo de indeterminação pode, normalmente, ser levantada pondo em evidência o termo de maior grau, ou, no caso em que temos raízes, multiplicar e dividir
pelo conjugado.
Exercício 4.10.3
Calcule os seguintes limites,
lim (n2 − 3n)
n→+∞
√
√
lim ( n + 2 − n)
e
n→+∞
Regra 2: levantamento de indeterminações do tipo ∞
, 0 e 0×∞
∞ 0
Podemos levantar estas indeterminações pondo em evidência o termo de maior
grau, ou, no caso de termos a mesma potência, pondo em evidência a potência cuja
base é maior. Para a última em particular, podemos ter em conta que
lim (un × vn ) = 0 × ∞
n→+∞
un
0
=
n→+∞ (vn )−1
0
vn
∞
= lim
= .
n→+∞ (un )−1
∞
=
Exercício 4.10.4
Calcule os seguintes limites,
√
3
n3 + 2
23n − 5n+1
lim
,
lim 2n+1
,
n→+∞ n − 1
n→+∞ 4
− 2n
lim
32n − 5n+1
n→+∞ 4n+1 − 22n
lim
e
lim
n→+∞ n2
2
×(1+n).
+1
4.10. CÁLCULO DE LIMITES COM INDETERMINAÇÕES
83
Para podermos avançar nas técnicas de levantar indeterminações vamos apresentar uma importante definição e algumas proposições.
Definição 4.10.5 (Número de Neper)
Define-se o número de Neper e como sendo o limite finito
n
1
lim 1 +
= e
n→+∞
n
= 2, 718281828459045235360287 . . . .
Curiosidade 4.10.6
A primeira referência a esta grandeza surgiu pelas mãos de John Napier. No entanto,
os primeiros trabalhos dedicados exclusivamente a ela apareceram meio século mais
tarde nos trabalhos do matemático Jakob Bernoulli. É pelas mãos de Leonhard Euler
que o número de Neper se torna verdadeiramente conhecido. Aliás, o número de
Neper é também denominado de Número de Euler e a sua notação é a letra inicial
de Euler.
Com base na definição anterior podemos definir a sucessão limitada e convergente
n
1
.
un = 1 +
n
Proposição 4.10.7
Seja k ∈ IR e un uma sucessão tal que
lim |un | = +∞.
n→+∞
Então,
un
k
lim 1 +
= ek .
n→+∞
un
Proposição 4.10.8
Seja a ∈ IR+
0 ∪ {+∞} e un uma sucessão de termos positivos tal que
un+1
= a.
n→+∞ un
lim
Então,
lim
n→+∞
√
n
un = a.
84
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
Regra 3: levantamento de indeterminações do tipo 00 , 1∞ e ∞0
Este tipo de indeterminações podem ser levantadas tendo em conta que
lim uvnn =
n→+∞
=
vn
lim eln(un
)
n→+∞
lim ln (uvnn )
en→+∞
lim (vn × ln un )
= en→+∞
.
Para as do tipo 1∞ , podemos ainda recorrer à Proposição 4.10.7 e as do tipo ∞0
à Proposição 4.10.8.
Exercício 4.10.9
Calcule os seguintes limites,
lim
n→+∞
4.11
1
n2
2n
n+1
,
−2n2
3
lim 1 − 2
,
n→+∞
n
lim
n→+∞
n+5
n+1
2n
,
lim
n→+∞
√
n
n2 + 1.
Exercícios
1. Indique os cinco primeiros termos de cada uma da seguintes sucessões,
(a) an = 1 + (0, 2)n
n+1
(b) bn =
3n − 1
3(−1)n
(c) cn =
n!
(d) un = 2, 4, 6, . . . , (2n)
(e) v1 = 3,
vn+1 = 2vn − 1
(f) w1 = 4,
wn+1 =
wn
wn − 1
2. Faça a representação gráfica dos cinco primeiros termos das sucessões do exercício anterior.
3. Estabeleça, a partir dos primeiros termos, uma expressão para o termo geral
das seguintes sucessões,
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 16
1 1 1 1
(b) , , , , . . .
2 4 6 8
(a)
(c) 2, 7, 12, 17, 22, . . .
2 4
8
(e) 1, − , , − , . . .
3 9 27
1 2
3 4
(d) − , , − , , . . .
4 9 16 25
(f) 5, 1, 5, 1, 5, 1, . . .
4. Considere as seguintes sucessões de números reais,
un =
2n + 1
n
e vn =
n + (−1)n
.
1+n
4.11. EXERCÍCIOS
85
(a) Calcule os 5 primeiros termos de cada uma delas.
(b) Represente-as geometricamente.
5. Seja (un ) a sucessão definida por
un = 1 +
n+2
.
n
(a) Calcule u3 , u4 e u6 .
(b) Determine un+1 − un . O que pode dizer sobre a monotonia de (un )?
42
e
(c) Veja se 20
suas ordens.
47
22
são termos da sucessão e, em caso afirmativo, indique as
(d) Mostre que é verdadeira a proposição
2 < un ≤ 4,
∀n ∈ IN.
6. Estude a monotonia das seguintes sucessões,
n
n+1
1
(c) bn =
−3
(a) un =
n+2
2
2n − 5
, com n ≥ 5
(b) vn =
n2
7. Para cada uma das seguintes sucessões, estude a sua monotonia e verifique se
são limitadas,
(a) an =
1
5n
(c) an = cos nπ
2
(b) an =
1
2n + 3
(d) an = ne−n
n
+1
1
(f) an = n +
n
(e) an =
n2
8. Dadas as sucessões definidas por
n+3
an =
3n + 1
e bn =
n+2
n−4
2n
.
(a) Prove que (an ) é monótona e limitada. Que pode concluir sobre a convergência?
(b) Calcule, caso exista, lim (an + bn ).
n→+∞
9. Considere a sucessão de termo geral un = (−1)
n
q
1
.
n+1
86
CAPÍTULO 4. SUCESSÕES
(a) Calcule o limite l da sucessão.
(b) Verifique, utilizando a definição de limite, que de facto lim un = l.
n→+∞
(c) Determine a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão se encontram na vizinhança δ = 0, 1 do limite l.
10. Considere a sucessão de termo geral un =
2n
.
n+1
(a) Calcule o limite l da sucessão.
(b) Explique o que significa lim un = l.
n→+∞
(c) Determine a mais baixa ordem a partir da qual todos os termos da sucessão distam do limite l menos do que 0, 05.
11. Indique, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras.
(a) Qualquer sucessão não limitada é divergente.
(b) Toda a sucessão decrescente é divergente.
(c) Se, para todo n ∈ IN, tivermos un > 0 e un → 0, então un é decrescente.
(d) Dadas as sucessões de termos gerais un = 2n e vn =
partir da qual up = vp é 2.
22−3n
,
4
a ordem p a
(e) Qualquer sucessão crescente de termos em ] − 1, 1[ converge.
(f) A sucessão un =
2n−5
n2
é, a partir de certa ordem, decrescente.
12. Estude quanto à convergência as seguintes sucessões,
√
(a) n3 − 108 n2 − 105 n
(h) n 2n + 1
n
n2
(b) 14 + en
(i) 3n+2
3n+5
100
(c) 2(−1)n + n+1
−n
(j) 2 sen n
3
5 +2n
(d) n n+n
2 +n4
n −en+1
(k) 2en −2
n+1
2nπ
(e) sen 3
n5
q
n10 −1
n n2 +n−1
(l)
(f)
n10
n−3
2n+1 2n
(g) 2n+3
(m) n ln 1 + n1
13. Utilize o Teorema das Sucessões Enquadradas para estudar quanto à convergência as sucessões,
(a)
1
(n+1)2
+
1
(n+2)2
+ ... +
1
(2n)2
4.11. EXERCÍCIOS
(b)
(c)
cos (2k)
, k ∈ IR
n2 +1
1
1
√
+ √
+
3 3
3 3
n +4
n +5
87
... +
1
√
3 3
n +2n
14. Dada a sucessão (vn ) definida por

v1 = 1
vn+1 =
onde vn <
vn + 3
, ∀n ∈ IN
3
3
, ∀n ∈ IN.
2
3
, ∀n ∈ IN.
2
(b) Mostre que a sucessão é crescente.
(a) Prove, por indução, que vn <
(c) Conclua que a sucessão é convergente e calcule o seu limite.
15. Considere a sucessão (un ) definida por recorrência

u 1 = 5
5u − 4
un+1 = n
, ∀n ∈ IN
un
onde un > 4, ∀n ∈ IN.
(a) Prove, por indução, que ∀n ∈ IN un > 4.
(b) Mostre que a sucessão é decrescente.
(c) Prove que a sucessão é convergente.
16. Considere a sucessão (un ) definida por:
(
u1 = 0
√
un+1 = un + 6 , ∀n ∈ IN
com un < 3 , ∀n ∈ IN.
(a) Prove, por indução, que un < 3 , ∀n ∈ IN.
(b) Mostre que a sucessão é monótona crescente.
(c) Justifique que (un ) é convergente e calcule o seu limite.
Capítulo 5
Séries
5.1
Noção de Somatório
A noção de Somatório surge da necessidade em escrever a soma de termos de uma
sucessão. Assim temos a definição de Somatório.
Definição 5.1.1 (Somatório)
Um somatório é um operador matemático que nos permite representar facilmente
a soma de um
Pnúmero finito ou infinito de elementos. É representado com a letra
grega sigma, , e é definido por,
n
X
xk = xm + xm+1 + xm+2 + . . . + xn .
k=m
A variável k é o índice do somatório. Percorre os valores inteiros desde o limite
inferior m até ao limite superior n. Temos naturalmente m ≤ n.
Proposição 5.1.2
Sejam (uk ) e (vk ) sucessões e c ∈ IR. São válidas as seguintes propriedades,
Aditiva
n
X
(uk + vk ) =
k=1
n
X
uk +
k=1
n
X
vk ,
k=1
Homogénea
n
X
(cuk ) = c
k=1
n
X
uk ,
k=1
Telescópica
n
X
(uk − uk−1 ) = un − u0 .
k=1
88
5.2. DEFINIÇÃO DE SÉRIE NUMÉRICA
89
Exercício 5.1.3
Calcule os seguintes somatórios.
4
X
2n−1
3
n=1
5.2
e
6
X
3n − n2 .
n=4
Definição de Série Numérica
Estamos interessados em aplicar o conceito de somatório através da soma infinita
dos elementos de uma sucessão.
Definição 5.2.1 (Série)
Seja (un ) uma sucessão de números reais. Chama-se Série de Termo Geral (un ) à
soma
∞
X
un = u1 + u2 + u3 + . . . .
n=1
Definição 5.2.2 (Sucessão das Somas parciais)
∞
X
un , chama-se sucessão das somas parciais a
Dada uma série
n=1
Sn =
n
X
uk ,
k=1
ou seja, à sucessão cujo termo geral é a soma dos n termos da série. Temos
(Sn ) = (S1 , S2 , S3 , . . . , Sn , . . .) ,
onde
S1 = u1
2
X
S2 =
uk = u1 + u2
k=1
..
.
Sn =
n
X
k=1
..
.
uk = u1 + u2 + . . . + un
90
CAPÍTULO 5. SÉRIES
Exemplo 5.2.3
∞
X
1
Considerando a séries
temos a sucessão das somas parciais
2n
n=1
(Sn ) = (S1 , S2 , S3 , . . . , Sn , . . .)
!
n
X
1
1 1 1 1 1 1
, + , + + ,...,
,...
k
2 2 4 2 4 8
2
! k=1
n
X
1
1 3 7
, , ,...,
,... .
k
2 4 8
2
k=1
=
=
Exercício 5.2.4
Apresente a sucessão das somas parciais (com pelo menos 4 elementos) das séries
∞ n
X
2
n=1
n
e
∞
X
n=1
n−
n3
.
2
Definição 5.2.5 (Convergência)
∞
X
Seja
un uma série e Sn a sucessão das suas somas parciais.
n=1
1. Diz-se que a série
∞
X
un é convergente se a sucessão Sn for convergente.
n=1
2. Se a sucessão Sn é divergente, a série
∞
X
un diz-se divergente.
n=1
A convergência de uma série reduz-se portanto à convergência da sucessão das
somas parciais.
∞
X
No caso em que a série
un converge, então existe um real S, denominada de
n=1
soma da série, tal que
lim Sn = S.
n→+∞
5.3. SÉRIES NOTÁVEIS
5.3
91
Séries Notáveis
Apresentaremos agora algumas das mais importantes famílias de sérias e os respectivos critérios para estudar a a convergência.
5.3.1
Série Geométrica
Definição 5.3.1 (Série Geométrica)
Sejam a ∈ IR\{0} e r ∈ IR. Designa-se por série geométrica uma série da forma
∞
X
arn .
n=0
Denotamos por a o primeiro termo da série, enquanto que r designa a razão da
série.
Proposição 5.3.2
Uma série geométrica
∞
X
arn , com a 6= 0, é convergente se e somente se |r| < 1.
n=0
Neste caso temos
a
.
1−r
S=
A série é divergente para |r| ≥ 1
Nota 5.3.3
Se a série geométrica aparecer na forma
∞
X
arn ,
n=1
o critério de convergência fica igual mas
S=
Exercício 5.3.4
Verifique se a série
1
2
ar
.
1−r
+ 14 + 18 + . . . é convergente.
Exercício 5.3.5
Verifique se as seguinte séries são convergentes e calcule as respectivas somas,
∞
X
π2n−1
n=0
7n+2
e
∞
X
32n−1
n=0
23n+1
.
92
5.3.2
CAPÍTULO 5. SÉRIES
Série de Mengoli
Definição 5.3.6 (Série de Mengoli ou Série Telescópica)
Designa-se por série de Mengoli uma série da forma
∞
X
(un − un+p ) ,
p ∈ IN.
n=1
Proposição 5.3.7
A série de Mengoli é convergente se a sucessão (un ) for convergente. Neste caso
temos
S = u1 + u2 + . . . + up − p lim un .
n→+∞
É divergente se o limite de (un ) não existe ou é infinito.
Exercício 5.3.8
Estude a natureza das seguintes séries e, no caso de existirem, calcule as respectivas
somas,
∞
∞
X
X
1
6
e
.
n(n
+
1)
(n
−
2)(n
+
1)
n=1
n=3
5.3.3
Série de Dirichlet
Definição 5.3.9 (Série de Dirichlet)
Designa-se por série de Dirichlet uma série da forma
∞
X
1
,
α
n
n=1
α ∈ IR.
Quando α = 1 a série de Dirichlet passa a designar-se por Série Harmónica.
Proposição 5.3.10
Se α > 1 a série de Dirichlet converge.
Se α ≤ 1 a série de Dirichlet diverge.
5.4
Propriedades
Apresentamos agora algumas propriedades úteis no estudo da convergência das
séries.
5.4. PROPRIEDADES
93
Proposição 5.4.1
∞
∞
X
X
Sejam
un ,
vn duas séries convergentes com as somas parciais Su e Sv , resn=1
n=1
pectivamente, e k ∈ IR. Temos,
1. A série
∞
X
un + vn converge e a sua soma parcial é Su + Sv .
n=1
2. A série
∞
X
kun converge e a sua soma parcial é kSu .
n=1
Nota 5.4.2
1. A soma de uma série convergente com uma divergente é uma série divergente.
2. A soma de duas séries divergentes poderá ser uma série convergente ou divergente.
Proposição 5.4.3 (Condição Necessária de Convergência)
∞
X
Se
un é uma série convergente então lim un = 0.
n→+∞
n=1
Nota 5.4.4
O recíproco da proposição anterior não é verdade, ou seja, se lim un = 0 nada se
n→+∞
∞
X
pode concluir sobre a natureza da série
un .
n=1
Podemos no entanto considerar a negação da proposição, ou seja, se lim un 6= 0
n→+∞
então a série
∞
X
un é divergente.
n=1
Exemplo 5.4.5
∞
X
n
n
A séries
é divergente pois lim
= 1 6= 0
n→+∞ n + 1
n+1
n=1
Exercício 5.4.6
Estude a natureza da série
∞
X
n=1
2n
.
1 + 3n
94
CAPÍTULO 5. SÉRIES
5.5
Séries de Termos Não Negativos
As séries de termos não negativos são geralmente estudadas em separado, uma
vez que, embora não seja possível calcular o limite da sucessão das somas parciais,
é possível, de forma mais fácil, estabelecer critérios de convergência. Vamos assim
começar com a definição deste tipo de série e apresentar vários critérios para o estudo
da natureza deste tipo de série.
Definição 5.5.1 (Série de Termos Não Negativos)
Designa-se por Série de Termos Não Negativos a uma série da forma
∞
X
com un ≥ 0, ∀ n ∈ IN.
un ,
n=0
Proposição 5.5.2 (Critério Geral de Comparação)
∞
∞
X
X
Sejam
un e
vn séries de termos não negativos tais que, a partir de certa
n=0
n=0
ordem, un ≤ vn . Temos que,
1. Se
∞
X
vn é convergente, então
2. Se
un também é convergente.
n=0
n=0
∞
X
∞
X
un é divergente, então
n=0
∞
X
vn também é divergente.
n=0
Exercício 5.5.3
Estude a natureza das seguintes séries.
∞
X
n=1
1
,
n2 + ln n
∞
X
1
nn
n=1
e
∞
X
1
√ .
n
n=1
Proposição 5.5.4 (Critério do Limite)
un
Se existir lim
= L então,
n→+∞ vn
1. Se L 6= 0 ou L 6= +∞, as séries
∞
X
n=0
2. Se L = +∞, então se
∞
X
n=0
un e
∞
X
vn são da mesma natureza.
n=0
vn for divergente,
∞
X
n=0
un também é divergente.
5.5. SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS
95
∞
∞
X
X
3. Se L = 0, então se
vn for convergente,
un também é convergente.
n=0
n=0
Exercício 5.5.5
Estude a natureza das seguintes séries.
∞
X
5n2 + 2n + 3
n=1
n3 + 4n
∞
X
,
n=1
1
2n − 1
∞
X
1
.
n2
n=1
e
Proposição 5.5.6 (Critério da Razão − D’Alembert)
∞
X
un+1
= L. Então,
Seja
un uma série de termos não negativos tal que lim
n→+∞ un
n=0
1. Se L < 1, a série é convergente.
2. Se L > 1, a série é divergente.
3. Se L = 1, nada se pode concluir acerca da natureza da série
Exercício 5.5.7
Estude a natureza das seguintes séries.
∞
X
2n
n=1
n!
∞
X
n!
3n
n=1
,
e
∞
X
n2
n=1
2n
.
Proposição 5.5.8
∞
X
Seja
un uma série de termos positivos. Se, a partir de uma certa ordem se verifica
que
n=0
un+1
un
≥ 1, então a série é divergente.
Exercício 5.5.9
Estude a natureza da série
∞
X
n!
n=1
3n
.
Proposição 5.5.10 (Critério da Raiz − Cauchy)
∞
X
√
Seja
un uma série de termos não negativos tal que lim n un = L. Então,
n=0
1. Se L < 1, a série é convergente.
2. Se L > 1, a série é divergente.
n→+∞
96
CAPÍTULO 5. SÉRIES
3. Se L = 1, nada se pode concluir acerca da natureza da série
Exercício 5.5.11
Estude a natureza das seguintes séries.
∞
X
n=1
5.6
n
4 ,
∞
X
n=1
1
(n + 1)n
n2
∞ X
n+1
e
n
n=1
.
Séries Alternadas
Definição 5.6.1 (Série Alternada)
∞
X
Uma série
un diz-se Alternada se o seu termo geral for da forma un = (−1)n an
n=1
com an > 0, ou seja se for da forma
∞
X
(−1)n an = −a1 + a2 − a3 + . . . + (−1)n an + . . . .
n=1
Para este tipo de séries existe o seguinte critério de convergência.
Proposição 5.6.2 (Critério de Leibniz)
Seja (an ) uma sucessão monótona decrescente e lim an = 0, então a série
n→+∞
∞
X
(−1)n an
n=1
é convergente.
Exercício 5.6.3
Estude a natureza das seguintes séries.
∞
X
cos(πn)
n=1
5.7
3n + 1
e
∞
X
(−1)n
n=1
n
.
Convergência Absoluta
A presentamos agora a definição de dois tipos de convergência relacionados com
a série dos módulos.
Definição 5.7.1 (Convergência Absoluta)
∞
∞
X
X
Uma série
un diz-se absolutamente convergente se a série
|un | for convergente.
n=1
n=1
5.8. SÉRIES DE POTÊNCIAS
97
Definição 5.7.2 (Convergência Simples)
∞
∞
X
X
Uma série
un diz-se simplesmente convergente se a série
|un | for divergente
e
∞
X
n=1
n=1
un for convergente.
n=1
Proposição 5.7.3
∞
∞
X
X
Se
|un | é uma série convergente, então
un também é convergente.
n=1
n=1
Exercício 5.7.4
Diga se são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes
as seguintes séries.
n
∞ ∞
X
X
sen πn
−5
4
e
.
2+n
n
+
2
3n
n=1
n=1
5.8
Séries de Potências
Nesta secção iremos apresentar apenas as definições e propriedades mais importantes, ficando ao cuidado do leitor fazer um estudo mais pormenorizado.
Definição 5.8.1 (Série de Potências)
Uma série de potências de x − a é uma série da forma
2
n
a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a) + . . . + an (x − a) + . . . =
∞
X
ak (x − a)k ,
k=0
onde a, a0 , a1 , ..., an ∈ IR.
Uma série de potências é sempre convergente para x = a uma vez que quando
fazemos x = a, obtemos a série numérica a0 + 0 + 0 + ..., cuja soma é a0 ∈ IR.
O seguinte Teorema mostra que podem existir outros valores de x para os quais
uma série de potências é convergente.
Teorema 5.8.2 (Teorema de Abel)
∞
X
Dada a série de potências
ak (x − a)k temos um dos dois seguintes casos:
k=0
i) a série converge apenas para x = a;
98
CAPÍTULO 5. SÉRIES
ii) a série converge (absolutamente) para todos os valores reais de x;
iii) existe um número real R > 0 (chamado raio de convergência) tal que a série
converge absolutamente para todos os valores de x para os quais x − a < R, e
diverge para todos os valores de x para os quais x − a > R.
Definição 5.8.3 (Intervalo de Convergência)
Chama-se intervalo de convergência da série de potências ao conjunto de todos os
valores de x para os quais a série converge.
Para estudar a convergência de uma série de potências, podemos aplicar o critério
de Cauchy ou de D’Alembert à série dos módulos.
Teorema 5.8.4
O raio de convergência de uma série de potências da forma
∞
X
ak (x − a)k é dado
k=0
por
ak , desde que o limite exista ou seja igual a + ∞
R = lim x→+∞ ak+1 ou
1 R = lim √ , desde que o limite exista ou seja igual a + ∞.
x→+∞ k ak Temos ainda que,
i) se R = 0 então a série converge para x = a;
ii) se R = +∞ então a série converge ∀ x ∈ IR;
iii) se R ∈]0, +∞[ então a série converge pelo menos para todos os x ∈]a−R, a+R[.
5.8.1
Séries de Taylor e de Mac-Laurin
Apresentamos agora duas séries de potência especiais. Deve recordar as Definições
2.2.5 e 2.2.6.
Definição 5.8.5 (Série de Taylor)
Seja f uma função que admite derivadas de todas as ordens no ponto a. Chama-se
série de Taylor de f em torno de a à série
∞
f (a) + f 0 (a)(x − a) +
X f (k) (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + . . . +
(x − a)n + . . . =
(x − a)k
2!
n!
k!
k=0
Definição 5.8.6 (Série de Mac-Laurin)
Quando a = 0, a série da definição anterior é designada por série de Mac-Laurin.
5.9. EXERCÍCIOS
5.9
99
Exercícios
1. Use a definição de série numérica para estudar a natureza das seguintes séries.
Em caso de convergência calcule a respectiva soma.
∞
∞ n
∞ X
X
X
1
2 + 3n
1
4
(a)
(d)
(g)
+ n
n
n
(2n
−
1)(2n
+
1)
6
2
3
n=1
n=1
n=1
∞
∞ n
X
X
1
5
(b)
ln 1 +
(e)
n
2
n=1
n=1
∞
∞
X
X
1
1
(c)
ln 1 − 2
(f)
n
(3n − 1)(3n + 2)
n=2
n=1
2. Use a a condição necessária de convergência para determinar a natureza da
série.
∞
∞
∞ r
X
X
X
n+1
n+1
(−2)n
(a)
(b)
(c)
n+2
n
n=1
n=1
n=1
3. Mostre que as seguintes séries são convergentes e calcule a respectiva soma.
∞
X
2−n
(a)
n=1
∞
X
1
(b)
2
n + 2n
n=1
∞
X
2
(c)
n−1
3
n=1
(d)
∞ n−1
X
2
n=0
6n
+ e−n
∞
X
π
π
cos −cos
(e)
n
n+3
n=1
√
√
∞
X
n+1− n
√
(f)
n2 + n
n=1
4. Use a teoria das séries geométricas para expressar cada um dos seguintes números como um número racional.
(a) 3, 666666 . . .
(c) 0, 999999 . . .
(b) 2, 181818 . . .
(d) 3, 417417 . . .
5. Usando o critério de comparação estude a natureza das seguintes séries.
(a)
∞
X
1
ln(n + 1)
n=1
∞
X
n+1
(b)
n(n + 2)
n=1
(c)
∞
X
1
n2 + 1
n=1
∞
X
π
(d)
sen n
2
n=1
100
CAPÍTULO 5. SÉRIES
∞
X
π
(e)
tg
4n
n=1
∞
X
1
(f)
(2n − 1)22n−1
n=1
(g)
∞
X
√
n
n=1
∞
X
3
n+1
n(n + 2)
√
1 √ 2
2
n +n+1− n −n+1
(h)
n
n=1
6. Usando o critério da razão estude a natureza das seguintes séries.
(a)
(b)
∞
X
2 × 5 × . . . × (3n − 1)
n=1
∞
X
1 × 5 × . . . × (4n − 3)
(c)
∞
X
10n × 2 × n!
n=1
(2n)!
nn
n!3n
n=1
7. Usando o critério de Cauchy estude a natureza das seguintes séries.
n
∞
∞
∞ X
X
X
n
1
2n
(a)
(b)
(c)
2n
lnn (n + 1)
n+1
n=1
n=1
n=1
8. Calcule os seguintes limites usando a teoria das séries.
n
nn
2
(c)
(b)
lim
(a) lim
n
n→+∞ (2n)!
n→+∞
3
nn
n→+∞ n!2
lim
9. Estude a natureza das seguintes séries. Quando for possível calcule a soma da
série.
n
∞
∞
∞ X
X
X
n
n+2
n 1−2n
2 3
(a)
(g)
(m)
3n+1
n+4
n=1
n=1
n=1
∞
∞
2
n
X
X
∞ 1
1 + n2
X
n
(b)
(h)
(n)
n2 + 4n + 3
1 + n3
2n + 1
n=1
n=1
n=1
∞ √
∞
X
X
n+1
(n + 1)!
∞
X
(c)
(i)
(2n)!
3
3n
n
e
(o)
n=1
n=1
2n
n + 2n
∞
∞
n=1
n
X
X
2
ln n
(d)
(j)
∞
X
2
n
2n nn
n +3
n3
n=1
n=1
(p)
(3 + 9n)n
∞
∞
X
X
n=1
1+n
3n − 2n
(e)
(k)
2n2
∞
n2n
4n + 3n n
X
n
n=1
n=1
n
(q)
n5
∞
∞
X
X
n+2
1
1
n=1
(f)
(l)
n sen
n!
n
n=1
n=1
5.9. EXERCÍCIOS
101
10. Estude a natureza das seguintes séries alternadas.
(a)
∞
X
n=1
n+1
(−1)
1
2n − 1
∞
X
2n + 1
(b)
(−1)n 2
n −n
n=1
∞
X
n+1
(d)
(−1)n
n
n=1
(e)
∞
X
cos(πn)
n=1
3n + 1
∞
X
1
(c)
(−1)n tg √
n
n=1
11. Diga se são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as seguintes séries.
∞
∞
X
X
sen π4 + πn
n n
(b)
(−1)
(a)
n+2
3n + 1
n=1
n=1
Capítulo 6
Testes e Exames do Ano Anterior
(TSI e EI)
1◦ Teste (16-03-2011)
1. Determine o termo geral de uma progressão aritmética (un ) sabendo que
u1 + u3 = 6
.
u1 × u3 = 8
2. Seja (un ) a sucessão definida por
un = −1 +
2n + 1
.
n
(a) Calcule u2 , u3 e u7 .
(b) Determine un+1 − un . O que pode dizer sobre a monotonia de (un )?
(c) Veja se
21
20
é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique a sua ordem.
(d) Mostre que é verdadeira a proposição
1 < un ≤ 2,
∀n ∈ IN.
3. Estude quanto à convergência as seguintes sucessões,
√
√
4
3n+1 3n
(c) n n2 + 1
(a) nn+1
(b) 3n+2
4. Estude a natureza da seguinte série de Mengoli e, no caso de existir, calcule a
respectiva soma.
+∞
X
2
.
(n
+
1)(n
+
3)
n=1
5. Estude a natureza das seguintes séries,
102
103
(a)
+∞
X
3n2 + 2
n=1
n4 + n
+∞
X
1
(b)
2
n + ln n
n=1
(c)
+∞
X
3n
(n + 1)!
n=1
6. Use a teoria das séries geométricas para expressar 2, 444(4) como um número
racional.
7. Prove por indução matemática que 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 , ∀n ∈ IN.
2◦ Teste (11-05-2011)
1. Considere a função real de variável real, definida
 π
se
 2 (x + ln x)
πk
f (x) =

arccos (x − 1)
se
por
0<x<1
se x = 1 .
1<x<2
(a) Determine k de modo que f seja contínua em x = 1.
(b) Apresente a função f 0 .[Considere o valor de k obtido em (a).]
2. Estude a função
f (x) =
ex
,
x2
focando os seguintes pontos:
•
•
•
•
• Concavidades;
Domínio;
Paridade;
Intervalos de monotonia;
Extremos;
• Assímptotas;
• Esboço do gráfico.
3. Apresente um valor aproximado para
de diferencial.
√
4, 01 + (4, 01)2 recorrendo à definição
4. Considere a função
f (x) = ln
2x + 1
.
x
(a) Apresente a função f 00 recorrendo à definição. Confirme o resultado obtido usando as fórmulas de derivação.
(b) Caracterize a inversa de f .
2◦ Teste (2a Parte) (18-05-2011)
104
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
1. Estude a continuidade da função real de variável real, definida por
1
x + e x−1
se x 6= 1
f (x) =
.
1
se x = 1
2. Considere a função real de variável real, definida por
x ln(e + 1 − x)
se x < 1
f (x) =
.
1
se x ≥ 1
x
(a) Veja se existe f 0 (1).
(b) Apresente a função f 0 .
3. Estude a função
f (x) = ex x2 ,
focando os seguintes pontos:
a) Domínio;
b) Zeros;
c) Monotonia;
d) Extremos;
e) Concavidades ∗ ;
f) Assímptotas ∗∗ ;
g) Esboço do gráfico.
∗
Note que
∗∗
√
√
8 = 2 2 ' 2, 83
Note que ex x2 =
x2
e−x
4. Apresente um valor aproximado para ln(1, 01) recorrendo à definição de diferencial.
5. Derive a função
3x2 + 1
f (x) = arctg
,
x
apresentando o resultado na forma mais simplificada possível.
2◦ Teste (2a Parte) (19-07-2011)
1. Estude a continuidade da função real de variável real, definida por
x ln(e + 1 − x)
se x < 1
f (x) =
.
1
se x ≥ 1
x
2. Considere a função real de variável real, definida por
1
x + e x−1
se x 6= 1
f (x) =
.
1
se x = 1
(a) Veja se existe f 0 (1).
(b) Apresente a função f 0 .
3. Estude a função
f (x) = xex ,
focando os seguintes pontos:
105
a) Domínio;
b) Zeros;
c) Monotonia;
d) Extremos;
e) Concavidades;
f) Assímptotas;
4. Apresente um valor aproximado para
cial.
ln(1,01)
1,01
g) Esboço do gráfico.
recorrendo à definição de diferen-
5. Derive a função
3x2 − 1
f (x) = arcsen
,
x
apresentando o resultado na forma mais simplificada possível.
3◦ Teste (A) (08-06-2011)
1. Calcule as seguintes primitivas imediatas.
R 3
R√
4
3 − xdx
(b) 1+4x
(a)
2 dx
(c)
R
1+2cos(4x)
dx.
2x+sen(4x)
2. Calcule a primitiva e o integral utilizando a fórmula de primitivação por partes.
R
Rπ
(a) x2 ex dx
(b) 02 ex sen xdx.
3. Calcule a seguinte primitiva utilizando a substituição indicada.
Z
−1
dx considerando x = t2 .
1+x
4. Calcule a área da região A representada na seguinte figura.
3◦ Teste (B) (08-06-2011)
1. Calcule as seguintes primitivas imediatas.
106
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
(a)
R√
5
2 + 3xdx
(b)
R
√ 4
dx
1−9x2
(c)
R
1+ 23 sen(2x)
dx.
3x−cos(2x)
2. Calcule a primitiva e o integral utilizando a fórmula de primitivação por partes.
Rπ
R √
(b) 0 x2 cos xdx.
(a) x x + 1dx
3. Calcule a seguinte primitiva utilizando a substituição indicada.
Z
x sen x2 dx considerando x2 = t.
4. Calcule a área da região A representada na seguinte figura.
1◦ EXAME (21-06-2011)
1. Considere a sucessão de termo geral un =
(a) Estude a monotonia da sucessão.
4n−1
.
2n+2
(b) Verifique se é limitada.
2. Estude quanto à convergência a sucessão (un ) =
3. Estude a natureza das séries:
+∞
X
3n+2 3n
.
3n+4
4
(a)
2
n + 8n + 15
n=1
(b)
+∞
X
(2n)!
n=1
4. Estude a continuidade da função real de variável real definida por
(
1
se x ≤ 0
1
1+e x
f (x) =
.
sen x
se
x
>
0
x
n2n
107
5. Considere a função f (x) =
3x2
.
2x+1
(a) Calcule f 0 (1) por definição.
(b) Confirme o resultado anterior usando as fórmulas de derivação.
6. Calcule
R1
(a) 0
2x
dx
2x2 +1
(b)
R
x2 ln x dx
(c)
R
√ x dx,
1+x
x = t2 − 1
2◦ EXAME (29-06-2011)
1. Considere a sucessão de termo geral un =
(a) Estude a monotonia da sucessão.
3n+1
.
n+1
(b) Verifique se é limitada.
2. Estude quanto à convergência a sucessão (un ) =
2n−3 4n
.
2n−1
+∞
X
6
(a)
2
n + 5n + 4
n=1
3. Estude a natureza das séries:
(b)
+∞
X
n × n!
n=1
n3n
Caso seja possível apresente a soma das séries.
4. Determine k ∈ IR de modo que f seja contínua em IR.

1
se x < 1
 x + e x−1
k
se x = 1 .
f (x) =
 sen (x−1)
se x > 1
x−1
5. Considere a função f (x) =
4x
.
2x2 −1
(a) Calcule f 0 (1) por definição.
(b) Confirme o resultado anterior usando as fórmulas de derivação.
6. Calcule
R 6x
(a) 1+9x
4 dx
(b)
R2
1
x3 ln x2 dx
EXAME - Época Especial (19-07-2011)
1. Considere a sucessão de termo geral un =
n+2
.
2n+1
(c)
R
√ x dx,
1+x
x = t2 − 1
108
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
(a) Estude a monotonia da sucessão.
(b) Verifique se é limitada.
2. Estude quanto à convergência a sucessão (un ) =
3n+2 3n
.
3n+4
+∞
X
4
(a)
2
n + 8n + 15
n=1
3. Estude a natureza das séries:
(b)
+∞
X
(2n)!
n=1
n2n
4. Estude a continuidade da função real de variável real definida por
(
1
se x ≤ 0
1
1+e x
f (x) =
.
sen x
se
x
>
0
x
5. Considere a função f (x) =
2x2 −1
.
x+4
(a) Calcule f 0 (−1) por definição.
(b) Confirme o resultado anterior usando as fórmulas de derivação.
6. Calcule
R
(a) 3x sen(3x2 + 1)dx
(b)
R2
1
x2 ln x dx
(c)
R
√ x dx,
1+x
x = t2 − 1
1◦ Teste (21-03-2012)
1. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões.
√ (a) cos arcsen 56 .
(b) sen arctg − 3 .
2. Considere a função
√
f (x) =
−x2 + x + 6
1
+
.
x+2
x+1
(a) Apresente Df sob a forma de um intervalo.
(b) Considere A = Df ∪ {4}. Apresente o interior, o exterior, a fronteira, o
fecho, o derivado e os pontos isolados de A.
(c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado.
3. Considere as funções f (x) = 1 − sen(3x) e g(x) =
1
.
x−π
109
(a) Caracterize f −1 .
(b) Caracterize f ◦ g.
4. Determine, caso existam, os seguintes limites.
√
ln(1 + 5x)
2− 4−x
(b) lim
.
(a) lim
.
x→0
x
x→0
x
5. Determine, caso exista, lim g(x) considerando a função
x→−2
g(x) =



(x−1)2 −x2 +5x+5
x+2
2


e3x+9 −e3
e3 (x+2)
x
se x < −2
se x = −2 .
se x > −2
2◦ Teste (26-04-2012)
1. Considere a função f : IR −→ IR definida por
 x2 +3x+2
se x < −1
 x+1
ex+1
se x = −1 .
f (x) =
 sen(x+1)
se x > −1
x+1
(a) Estude a continuidade de f .
(b) Analise a diferenciabilidade de f e apresente a respectiva função derivada.
2. Considere a função
f (x) = arctg(2x + 1).
(a) Apresente a sua derivada de primeira ordem.
(b) Calcule f 00 (0) recorrendo à definição.
(c) Confirme o resultado obtido na alínea anterior usando as fórmulas de
derivação.
3. Considere a função f (x) = ln x.
(a) Determine a aproximação quadrática de f em torno de x = 1.
(b) Use o resultado anterior para apresentar um valor aproximado de ln (1, 1).
4. Calcule um valor aproximado de
√2 .
1,01
5. Estude a função
f (x) =
focando os seguintes pontos:
x2
,
x+2
110
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
g) Assímptotas;
d) Monotonia;
e) Extremos Locais;
f) Concavidades;
a) Domínio;
b) Zeros;
c) Paridade;
h) Esboço do gráfico.
3◦ Teste (23-05-2012)
1. Calcule as seguintes primitivas imediatas.
R 3
R√
4
(a)
3 − 2xdx
(b) 2+8x
2 dx
(c)
R
1−2sen(4x)
dx.
2x+cos(4x)
2. Calcule a primitiva e o integral utilizando a fórmula de primitivação por partes.
R
Rπ
(a) x2 ex dx
(b) 02 cos2 xdx.
3. Calcule a seguinte primitiva utilizando a substituição indicada.
Z
−1
dx considerando x = t2 .
1+x
4. Determine o termo geral de uma progressão aritmética (un ) sabendo que
u2 + u4 = 16
.
u2 × u4 = 55
5. Seja (un ) a sucessão definida por
un = −2 +
n−1
.
2n
(a) Calcule u2 , u3 e u7 .
(b) Determine un+1 − un . O que pode dizer sobre a monotonia de (un )?
31
(c) Veja se − 20
é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique a sua
ordem.
(d) Mostre que é verdadeira a proposição
3
−2 ≤ un < − ,
2
6. Calcule
∀n ∈ IN.
2x7 + 4x6 + 2x5 + 6x4 + 3x3 + 7x2 + x + 2
dx
x4 + x2
e confirme a primitiva derivando o resultado obtido.
Z
111
4◦ Teste (6-06-2012)
1. Estude a natureza da seguinte série de Mengoli e, no caso de existir, calcule a
respectiva soma.
+∞
X
4
2
n + 4n + 3
n=1
2. Estude a natureza da seguinte série geométrica e, no caso de existir, calcule a
respectiva soma.
+∞ n−2
X
2
+ e−n
n
3
n=1
3. Estude a natureza das seguintes séries.
+∞
X
n2 + 1
(a)
n3 + 3n
n=1
+∞
X
2n
(b)
n2 + 3n
n=1
+∞
X
n2
(c)
n! 3n
n=1
Use o critério de comparação, o critério do limite ou o critério da razão.
4. Use a teoria das séries geométricas para expressar 1, 3333(3) como um número
racional.
5. Estude a natureza da seguinte série usando o critério da raíz.
+∞
X
2n nn
(3 + 9n)n
n=1
Exame (19-06-2012)
1. Seja A o subconjunto de R dado por
A = {0} ∪ Df \ {1}
onde Df representa o domínio da função real de variável real definida por
f (x) = ln
−x
.
x−2
(a) Mostre que A = [0, 2[\{1}.
(b) Determine o Interior, o Exterior, a Fronteira, o Fecho e o Derivado de A.
(c) Diga, justificando, se A é um conjunto aberto, fechado e/ou limitado.
(d) Considere g(x) = x + 2. Caracterize a função f ◦ g.
112
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
2. Considere a função real de variável real definida por
x2 ex
se x < 0
f (x) =
.
x
arcsen 1+x
se x ≥ 0
(a) Estude a continuidade de f .
(b) Estude a diferenciabilidade de f e apresente a função derivada.
3. Calcule
R
(a) (3x22x+2)3 dx,
(b)
R2
1
x ln x dx,
(c)
R
√1
dx,
x x2 −1
(x2 −1 =
.
t2 )
4. Seja (un ) a sucessão definida por
un =
n+2
.
3n − 1
(a) Estude a monotonia de (un ).
(b) Estude quanto à convergência a sucessão (un ).
(c) Veja se é verdadeira a proposição
3
1
< un ≤ ,
3
2
∀n ∈ IN.
5. Estude a natureza da seguinte série de Mengoli e, no caso de existir, calcule a
respectiva soma.
+∞
X
12
(2n + 1)(2n + 7)
n=1
6. Use a teoria das séries geométricas para expressar 2, 1414(14) como um número
racional.
7. Estude a natureza das seguintes séries.
(a)
+∞
X
3n3 − 2
n=1
n5 + n
+∞
X
(2n)!
(b)
2n
n + 2n
n=1
1◦ Teste (08-11-2012)
1. Simplifique cada uma das seguintes expressões.
113
(a) sen arccos
4
5
(b) tg (2 arcsen x), considerando x ∈
[0, 1].
.
2. Considere a função
f (x) =
3 arccos(|2x| − 5)
.
x−2
(a) Apresente o domínio de f , Df , sob a forma de um intervalo.
(b) Calcule f (−2).
(c) Considere o conjunto A = Df ∪ {0}. Apresente o interior, o exterior, a
fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A.
(d) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado.
3. Considere as funções f (x) = arctg x1 e g(x) = x1 . Resolva apenas uma das
seguintes alíneas
(a) Caracterize f −1 .
(b) Caracterize f ◦ g.
4. Determine, caso existam, os seguintes limites.
ln(5 + x2 ) − ln 5
(b) lim
.
x→0
x2
|3 − x|
.
x→3 x − 3
(a) lim
5. Estude a continuidade da função
 ex−3 −1
 x2 −9
x−2
f (x) =
6
 −x−x
2
2x+2
6. Considere a função g definida por

 k 1−x
k
g(x) =
1

(x + 1) x
se x > 3
se − 1 ≤ x ≤ 3 .
se x < −1
se x < 0
se x = 0 .
se x > 0
Determine k de modo que g seja contínua em x = 0.
2◦ Teste (13-12-2012)
1. Estude a diferenciabilidade e apresente a respetiva função derivada da função
 π
se 0 < x < 1
 2 (x + ln x)
π
se
x=1
f (x) =
.
2

arccos(x − 1)
se 1 < x < 2
114
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
2. Considere a função f (x) = arctg(x + 1).
(a) Usando o teorema de derivação da função inversa, determine a derivada
de f −1 .
(b) Confirme o resultado anterior definindo primeiro a função inversa e depois
derivando esse resultado.
3. Determine caso existam os pontos de inflexão da função f (x) = ex (x2 −7x+14).
4. Calcule um valor aproximado de
5. Calcule,
R
x−1
√
(a)
dx
3
3x2 −6x+1
R 2
(b) 3x ln(x2 + 1)dx
R1
(c) 0 x cos(x2 + 3)dx,
R x+2
(d) x3 −x
2 −2x dx
ln(1,01)
.
2,01
usando a substituição x =
√
t−3
6. Confirme o resultado obtido no exercício 5. c) calculando o integral sem recorrer à substituição.
Rx
7. Calcule a derivada de f (x) = π y 2 + sen y dy de duas formas distintas.
8. Estude a natureza do integral impróprio
Z 1
1
arctg 2 x dx.
2
1
+
x
−∞
3◦ Teste (17-01-2013)
1. Seja (un ) a sucessão definida por un =
2n−1
.
n+1
(a) Calcule u1 , u5 e u9 .
(b) Estude a monotonia de (un ).
(c) Veja se
5
4
é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique as sua ordem.
1
2
≤ un < 2,
2n
2. Estude quanto à convergência a sucessão vn = n+3
.
n−2
(d) Mostre que é verdadeira a proposição
3. Considere a sucessão (un ) definida por recorrência

u1 = 1
u +8
un+1 = n
, ∀n ≥ 1.
5
∀n ∈ IN.
115
(a) Prove, por indução, que ∀n ∈ IN, un < 2.
(b) Mostre que a sucessão é crescente.
(c) Justifique que (un ) é convergente e calcule o seu limite.
4. Mostre que as seguintes séries são convergentes e calcule a respetiva soma.
(a)
∞
X
8
(2n + 1)(2n + 5)
n=1
(b)
∞
X
π2n−1
n=1
32n
5. Use a teoria das séries geométricas para expressar 2, 242424 . . . como um número racional.
6. Estude a natureza das seguintes séries.
(a)
∞
X
n(n + 2)
n=1
n3
+1
∞
X
1
(b)
3
n + ln n
n=1
(c)
∞
X
(n + 1)!
n=1
4n
(d)
n
∞ X
2n
n+1
n=1
1◦ Exame (29-01-2013)
h
i
√
1. Simplifique a expressão tg arctg 33 + arcsen 53 .
2. Considere a função f (x) =
q
x
.
(x−1)ln x
(a) Apresente o domínio de f , Df , sob a forma de um intervalo.
(b) Considere o conjunto A = Df ∪ {−1}. Apresente o interior, o exterior, a
fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A.
(c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado.
3. Considere a função g definida por
k + x log x
g(x) =
ex−1 −1
2x−2
se x ≥ 1
.
se x < 1
Determine k de modo que g seja contínua em IR.
2
4. Considere a função f (x) = x2x
2 −1 . Calcule o domínio, os zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais, o sentido
das concavidades e os pontos de inflexão. Com a ajuda desses elementos,
esboce o gráfico da função.
5. Calcule as seguintes primitivas e o integral.
(No integral use a substituição t = ln x)
116
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
(a)
R
3x
√
dx
5
1+5x2
R
(b)
Z
(x2 + 1)cos x dx
(c)
R2
1
dx
1 x(ln2 x−1)
3x
esen(t) dt.
6. Considere a função F (x) =
π
0
(a) Determine F (x).
(b) Indique o polinómio de Taylor de F de ordem 3 em torno do ponto a = π3 .
7. Estude a natureza das seguintes séries.
(a)
∞
X
5 + 2n3
n=1
(b)
n4 + 2n
∞
X
(n + 1)n
n=1
n!
2◦ Exame (05-02-2013)
h
√
√ i
1. Simplifique a expressão sen arcsen 23 + arctg 511 .
2. Considere a função f (x) =
arcsen(x2 +x−1)
.
x2 +x
(a) Apresente o domínio de f , Df , sob a forma de um intervalo.
(b) Considere o conjunto A = Df \{ 12 } ∪ {3}. Apresente o interior, o exterior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A.
(c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado.
3. Considere a função g definida por
(
g(x) =
sen(2x2 −2)
x2 −1
x2 −3
x−2
se x > 1
.
se x ≤ 1
(a) Estude a continuidade de g.
(b) Calcule g 0 (1).
2
4. Considere a função f (x) = x2x
2 −1 . Calcule o domínio, os zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais, o sentido
das concavidades e os pontos de inflexão. Com a ajuda desses elementos,
esboce o gráfico da função.
5. Calcule as seguintes primitivas e o integral.
(No integral use a substituição t = ln x)
117
(a)
R
3x
√
dx
5
1+5x2
(b)
Z
R
(x2 + 1)cos x dx
(c)
R2
1
dx
1 x(ln2 x−1)
2x
6. Considere a função F (x) =
ln(sen t)dt.
π
2
(a) Determine F 0 (x).
(b) Indique o polinómio de Taylor de F de ordem 3 em torno do ponto a = π4 .
7. Estude a natureza das seguintes séries. (a)
∞
X
5 + 2n3
n=1
(b)
n4 + 2n
∞
X
(n + 1)n
n=1
n!
Exame de Época Especial (16-07-2013)
1. Simplifique a expressão tg arcsen 43 .
2. Considere a função f (x) =
ln(x2 +x−2)
.
x−2
(a) Apresente o domínio de f , Df , sob a forma de intervalos.
(b) Considere o conjunto A = Df ∪ {0, 1}. Apresente o interior, o exterior, a
fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A.
(c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado.
3. Considere a função g definida por
(
ln(x+1)
3x
x2 −1
x−3
f (x) =
se x > 0
.
se x ≤ 0
(a) Estude a continuidade de f .
(b) Calcule, caso exista, f 0 (0).
4. Considere a função f (x) = ex 1 + x1 . Calcule o domínio, os zeros, estude
a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais, o
sentido das concavidades e os pontos de inflexão. Com a ajuda desses ele√
mentos, esboce o gráfico da função. (Note que √5 ' 2, 24, f ( −1−2 5 ) = f (−1, 62) ' 0, 075 e
√
5
f ( −1+
) = f (0, 62) ' 4, 85)
2
5. Calcule as seguintes primitivas e o integral.
(a)
R
3
6x
√
dx
3
1+3x4
(b)
R
(No integral use a substituição t =
(2x + 1)ln x dx
(c)
R π2
4
0
√
x)
√
cos x
√ dx
x
118
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
6. Dada a sucessão (vn ) definida por

v1 = 1
v +3
vn+1 = n
, ∀n ∈ IN
3
onde vn <
3
, ∀n ∈ IN.
2
3
, ∀n ∈ IN.
2
(b) Mostre que a sucessão é crescente.
(a) Prove, por indução, que vn <
(c) Conclua que a sucessão é convergente e calcule o seu limite.
∞
X
6 + n3
7. Estude a natureza das seguintes séries. (a)
n4 + 2n
n=1
(b)
∞
X
(n + 1)n
n=1
n!
1◦ Teste (01-11-2013)
1. Simplifique cada uma das seguintes expressões.
(b) sen (arccos x).
(a) tg arcsen 35 .
2. Considere a função
f (x) =
1 − 2 arccos(x2 − x − 1)
.
x
(a) Apresente o domínio de f , Df , sob a forma de reunião de intervalos.
(b) Calcule f (1).
(c) Considere o conjunto A = Df ∪ {3}. Apresente o interior, a fronteira, o
fecho, o derivado e os pontos isolados de A, caso existam.
(d) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado.
3. Considere as funções f (x) = 1 + arcsen x e g(x) = ln x. Caracterize f ◦ g.
4. Determine as assíntotas da função f (x) =
5. Considere a função f definida por
 sen(x−1)
 2x−2
1
f (x) =
4

x
x2 +1
x−2
.
x2 −3x+2
se x > 1
se x = 1 .
se x < 1
(a) Prove que existe lim f (x) mas f não é contínua em x = 1.
x→1
119
(b) Considere o intervalo [−1, 0]. Mostre que −1/3 pertence ao contradomínio
de f .
6. Considere a função g definida por
ex+2 −e2
x
g(x) =
k2 + x
se x < 0
.
se x ≥ 0
Determine k de modo que g seja contínua em x = 0.
2◦ Teste (06-12-2013)
1. Considere a função f definida por
x+1
xe
f (x) =
x
x+2
se x ≤ 0
.
se x > 0
(a) Calcule a expressão de f 0 (x).
(b) Mostre que ∃c ∈] − 1, 0[ tal que f 0 (c) = 1.
(c) Estude a monotonia e existência de extremos de f no intervalo ] − ∞, 0].
(d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de f .
2. Seja f (x) = x ln(x). Calcule o polinómio de Taylor de grau 3 em torno de
x = 1 para aproximar f .
3. Indique a familia das primitivas de
(a) f (x) = x sen(2x2 )
(b) f (x) =
√ x
4−4x4
4. Calcule f (x) sabendo que f 0 (x) = (x2 − 2x + 3) ln(x) e f (1) =
7
.
18
5. Utilize a substituição indicada para calcular o seguinte integral.
Z 4
1
√
√ 2 dx, x = t2 .
x(1
+
x)
1
6. Calcule a área da região do plano limitada pelas linhas de equação xy = 3 e
y + x − 4 = 0.
3◦ Teste (17-01-2014)
1. Considere a sucessão (un ) definida por
un =
3n + 1
.
6n − 1
120
CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI)
(a) Calcule u1 , u3 e u5 .
(b) Estude a monotonia de (un ).
(c) Veja se
ordem.
11
25
é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique as sua
(d) Mostre que é verdadeira a proposição
1
2
< un ≤ 45 ,
∀n ∈ IN.
2. Seja a sucessão (un ) definida por recorrência da forma
u1 = 2
.
un+1 = 31 un + 1 , n ≥ 1
(a) Mostre por indução que un ≥ 23 .
(b) Estude a monotonia de (un ).
(c) Justifique que (un ) é convergente.
3. Calcule
lim
3n−1 + 2
.
22n + 3
4. Mostre que as séries seguintes são convergentes e calcule a respectiva soma.
(a)
∞
X
2n−1
n=1
5n+2
(b)
∞
X
n=1
1
1
√
−√
n+2
n+5
5. Use a teoria das séries geométricas para escrever a = 0.851851851... na forma
racional.
6. Estude a convergência das seguintes séries
(a)
∞
X
n=1
n
(n + 1)!
n
∞ X
5
(b)
1+
n
n=1
(c)
∞
X
n=1
√
1
.
n+3
7. Analise se a série dada por
∞
n
X
n 3
(−1) n
4 +1
n=1
é absolutamente convergente, simplesmente convergente ou divergente.
1◦ Exame (28-01-2014)
121
1. Considere a função
f (x) =
1 + 2 arcsen(x2 − x − 1)
.
x−1
(a) Apresente o domínio de f , Df , sob a forma de reunião de intervalos.
(b) Considere o conjunto A = Df ∪ {3}. Apresente o interior, a fronteira, o
fecho, o derivado e os pontos isolados de A, caso existam.
(c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado.
2. Considere a função f (x) = ln(x2 − x + 6).
(a) Estude a monotonia de f .
(b) Estude o sentido das concavidades de f .
3. Considere a função g definida por
e4x+2 −1
2x+1
f (x) =
2x+3
se x > − 21
.
se x ≤ − 12
−2x
(b) Calcule a expressão de f 0 (x).
(a) Estude a continuidade de f .
4. Calcule as seguintes primitivas e o integral.
Z
Z 5
Z
x2
2
2
√
dx
(b)
x
cos
xdx
(c)
(a)
dx
2 + 8x2
x−1
2
2
use a substituição x = t + 1
5. Utilize o Teorema das Sucessões Enquadradas para estudar a natureza da
sucessão
1
1
1
+ 2
+ ... + 2
.
2
n +1 n +2
n + 2n
6. Mostre que as seguintes séries são convergentes e calcule a respectiva soma.
(a)
∞
X
4n+1
n=1
π23n
(b)
∞
X
n=1
4
(2n + 1)(2n + 5)
7. Estude a convergência das seguintes séries.
(a)
∞
X
n=1
n
(n + 2)!
∞
X
2n
(b)
n+1
n=1
(c)
∞
X
n=1
n2
1
+1