Introdução Vamos generalizar os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade, dados para funções reais de variável real, ao caso de funções definidas em subconjuntos do espaço vectorial R n e com valores em R m , com n e m números naturais. Isto é f : D ` Rn v Rm x 1 , ..., x n v fx 1 , ..., x n Notação: as características vectoriais da função e/ou do seu argumento são normalmente sugeridas escrevendo em letra carregada (“bold”) esses símbolos. Exemplos: S S fx v caso os argumentos e as imagens sejam vectores; fx v caso os argumentos sejam escalares e as imagens sejam vectores; S fx v caso os argumentos sejam vectores e as imagens sejam escalares. Muitos autores utilizam a notação fx ou f x . Se nenhuma notação em especial for utilizada é o contexto que permite averiguar das características vectoriais da função e/ou do seu argumento. Campos Escalares e Vectoriais Definição: Chama-se campo escalar a uma função f : D ` Rn v R x v fx . Exemplos: a distribuição espacial de temperaturas numa sala ou a distribuição das pressões na atmosfera. Definição: Chama-se campo vectorial a uma função f : D ` Rn v Rm x v f x . (Se m 1, a função é um campo escalar). Exemplos: o campo de velocidade de escoamento de um flúido, ou o seu campo de aceleração. Sendo f : D ` R n v R m um campo vectorial, chamamos componentes escalares associadas a f aos campos escalares f 1 , T, f m tais que fx f 1 x , C, f m x . Para cada 1 J i J m, fi : D ` Rn v R x v a i -ésima componente da imagem fx Deste modo, grande parte do estudo de campos vectoriais vai reduzir-se ao estudo das suas componentes escalares. Exemplos importantes: S identidade em R n : id R n : R n v Rn x 1 , ..., x n v x 1 , ..., x n que a cada vector de R n associa o mesmo vector. S projecção de ordem j em R n : =j : Rn v R x 1 , ..., x j , T, x n v x j que a cada vector de R n associa a sua componente de ordem j. Nota: A identidade em R n tem por componentes escalares as projecções em R n . Noção de Domínio e de Contradomínio Definição: Sendo f um campo vectorial ou escalar, chama-se domínio de f ao conjunto D dos elementos de R n para os quais a função está definida. Em geral consideramos D o maior conjunto para o qual a função pode ser definida. Observação: Sendo f um campo vectorial de R n em R m , tem-se que D f D f1 ' D f2 ' C ' D fm . Definição: Sendo f : D f ` R n v R m um campo vectorial ou escalar, chama-se contradomínio de f ao conjunto dos elementos de R m que são imagem por meio de f de algum x D f , isto é, a fD f y R m : y fx para algum x D f fx : com x D f . Composição de Funções Consideremos duas funções f : Df ` Rn v Rm e g : Dg ` Rp v Rn. A função h : Dh ` Rp v Rm x v hx fgx designa-se por composição da função g com a função f e representa-se por f g [lê-se f após g]. A função f g está definida se a intersecção do contradomínio de g com o domínio de f for não vazia, isto é, se gD g ' D f F . Neste caso D fg x R p : x D g e gx D f . Nota 1: se gD g ` D f então D fg D g . Nota 2: sendo f um campo vectorial de R n em R m tem-se que f j = j f. Representação Gráfica de Funções Considerando o sistema de eixos ortogonais XYZ, o gráfico de uma função f : D ` R 2 v R, é o conjunto x, y, z R 3 : z fx, y e x, y D f . Para campos escalares escalares definidas em R n , com n 2, podemos definir matematicamente o gráfico, mas não o podemos representar geometricamente. A visualização de gráficos faz-se frequentemente pela sua intersecção com certos planos simples de R 3 — geralmente planos paralelos aos planos coordenados, isto é, x C1, y C2 e z C3. Conjuntos de Nível Têm a vantagem de também poderem ser visualizados para campos escalares definidos em R 3 . Definição: Seja f : D ` R n v R um campo escalar e c um real. Ao conjunto Lc x R n : x D e fx c . chama-se conjunto de nível associado a c. Em R 2 designa-se por curva de nível ou linha de nível; em R 3 designa-se por superfície de nível. Exemplos: superfícies isobáricas e isotérmicas.