PDF do Artigo - Gazeta de matemática

A N O
xxii—N.®
•DITOK: Gazeta
84-85
de Matemática,
G A Z E T A DE M A T E M Á T I C A
A MIRAIS™ A DOR : A.
Lda.
REDACTORES: J. Gaspar
JULHO/DEZ.-i9éi
Teixeira,
J. Morgado
e J. da Silva
Sá
da
Costa
Paulo
Composto na Tipografia Maiemálica, Lda. — Rua Diário da Notícias, 134-1." - Eiq. — Telef. 36 94 49 — LISBOA 2
Existência de produto escalar em espaços
vectoriais normac/os (*)
por Luiz Adauto da Justa
Medeiros
Centro Brasileiro do Pesquisas Físicas, ljistituro de Matemática Pura e Aplicada.
Universidade do liiat.ll, Rio da Janeiro
Introdução.
Esta redacção, contém o
resumo (le uma exposição feita por nós no
I M P A , como trabalho complementar ao curso
de Teoria Espectral das Transformações
Lineares em Espaços de IIILBBUT, ministrado
p e l o P r o f . LEOI'OLDO NACHBIN em
19Ü0.
N o que segue, procuraremos descrever,
sob forma didáctica, as ideias contidas no
trabalho
de
VON
N E U M A N N - P . JOKDAX,
uOn
Inner Products in Linear Metric Spaces»,
A n n . Math. 3 (1935), 719-723. O objectivo
doa autores do trabalho citado, é provar que
dado um espaço vectorial normado complexo
ou real, E , é possível, mediante uma condição natural, definir um produto escalarem
E , de tal modo que a norma primitiva de
E , seja induzida, no sentido que veremos a
seguir, por um tal produto escalar.
Admitiremos conhecidos os princípios do
estudo dos espaços vectoriais e por questão
de nomenclatura e notação, poremos algumas
definições que faremos uso frequente no que
segue.
( " ) Exposição em seminário de A n á l i s e Funcional
do Instituto de Matemática Pura e A p l i c a d a , R i o de
Janeiro.
Os espaços vectoriais que vamos considerar, serão sobre os corpos C ou R dos
números complexos ou reais respectivamente.
Observemos, ainda, que dado um complexo
z , vamos representar, como é habitual, o
seu conjugado por z .
1. D e f i n i ç ã o . Seja E um espaço vectorial. Diremos que E é um espaço vectorial
normado, quando existir uma aplicação |J
de E em R, satisfazendo as seguintes condições :
NI)
|jas[| > O e
se x = O.
||®|| = O se e s&mente
N 2)
||lfe;|| •= j 11 II® |[, para todo escalar
à e todo vector x ,
N3)
II® + ff || ^ D® || + f|ff|| para
par de vectores a; e y .
todo
A aplicação || || denomina-se norma e o
número real ||®|| norma de x.
2 . D e f i n i ç ã o . Seja E um espaço vectorial sobre C e ® uma aplicação de E X . E ,
produto cartesiano de E per E,
em C .
Diz-se que f ê ama forma sesquilinear her-
2
GAZETA
mitiana
88
a»
seguintes
condiçOes
forem
satisfeitas ;
51)
?
da
qnal
obtem-se,
é uma f o r m a linear relativamente
? (V +
, P) = ? O'.
usando
a norma
indu-
U » + * I P + j l « - | r f - 2 ( 0 * l i " + |lirlP
(NJ).
Dat resuita que quando o espaço v e c t o r i a l
Si) + ? (*"
=
f o r dotado
E
j y)
de p r o d u t o escalar, segue-se
que a igualdade ( N J ) é v e r d a d e i r a para cada
5-e C.
par de vectores de
® é dotada da simetria hermitiana,
isto ó,
f :E X
^
> Í í ) = ? {y,
é o
f(y,x)
? (y •
Resulta
nais
conjugado
for
então
que
as
condições
f,
AeC.
Uma
forma
sesquilinear
diz-se estritamente
positiva,
se ® ( ; r , a : ) f o r um número real estritamente
p o s i t i v o , para
x ^ O .
Definição.
torial
E,
C,
è dotado de
produto
escalar, quando estiver definida em E X
E
uma f o r m a 9 sesquilioear hermitiana, estritamente positiva. T a l f o r m a linear n> denomina-se um p r o d u t o escalar em
q> (x , y)
E
E
f o r dotado
um produto escalar, a aplicação
fácil v e r i f i c a r ,
em E
e o seu
representa-se p o r (a^ j y) .
Se um espaço v e c t o r i a l
em l i ,
nosso
é uma norma em
denominada
de
+ ( a : | a:)'/i
E , como é
norma
induzida
dade
(NJ)
Seja
é provar a recíproca
f o r um
é uma condição suficiente para
seja dotado de um produto escalar,
E
de tal m o d o
que a norma
seja induzida
p o r este produto escalar. E m
outras
palavras,
norma
de
devemos
satisfaz
E
a
primitiva de
E
p r o v a r , que se a
condição
(NJ)
ó
possível definir uma aplicação ç : i í X - E — C ,
que
seja
uma
forma
sesquilinear
hermi-
tiana estritamente positiva e se a r e i ?
então
+
A seguir, p r o v a r e m o s a existência de uma
<p nas condiçfies anteriores.
daremos
a motivação
Antes,
porém,
para que a definição
da y seja bastante natural,
5• M o t i v a ç ã o .
resolvido.
near
Suponhamos
Tem-se
<í (x , y)
um
o
problema
y.E><zE~+C,
hermitiana
|| x Ip = ® (x , a;) ,
estritamente
para
número
todo
sesquili-
positiva
x e E .
complexo,
e
Sendo
podemos
e s c r e v ê - l o sob a f o r m a
pelo produto escalar e escreve-se
sendo
produto
problema,
dos
espaço v e c t o r i a l c o m p l e x o n o r m a d o a igual-
||ar|| =
Diz-se que um espaço vec-
sobre
a soma dos quadrados
da afirmativa a n t e r i o r , isto é, se E
uma f o r m a sesquilinear
w satisfaz
igual
se
que
3- D e f i n i ç ã o .
hermitiana
ser
comprimentos dos seus quatro l a d o s .
O
definição,
=
de E
o conhe-
de
seguintes :
valor
d o que
dos quadrados dos comprimentos das d i a g o -
x)
complexo
desta
C»
hermitiana,
4.
E . T a l igualdade, nada
mais é, g e o m è t r i c a m e n t e ,
cido facto, d e em um p a r a l e l o g r a m o a soma
?
onde
M A T E M A T I C A II
zida,
a primeira c o o r d e n a d a , isto é
52)
DP
E
um
espaço
escalar.
simples, para
(ar + y | x+y)
vectorial
Tem-se,
por
dotado
um
de
cálculo
x,yeE
+ (a? - y \ x — y) = 2 ((ar | x) + (y | y))
e
Ry(x,y)
e imaginária de f(x,y),
/»(a;,y)
as partes r e a l
respectivamente. P o r
outro l a d o , tem-se p o r ura cálculo simples
v(x
+ y ,x
=
+ y) — <d(x — y ,x—• y)
2
[? fe. y) + ? (íf . ®)]
=
GAZETA
DP
II
MATEMATICA
que pode ser escrita também como segue :
(3)
|| a/ + a " + ff ||a + || ar1 -
+ ff j|2 =
= 2 (|| x' + y 1|= +11®" |P).
"
2
[<P ^ . V ) +
Analogamente, substituindo em ( N J ) x e y
-4/?©(»,FF)
por aí 1 —y
ou seja
(4)
(
—
—
(tV,#)
(Í1 a'
y II3 + II x " lí2) :
(|| x1 -f- x" + y [Ia — || íc' + x" — y ||a) +
+ Oi & —
podemos escrever
=
,y) — i R y ( i a - , ff)
y(x ,y) = R
4- Jf IP r - ||
2(|Ja;'
— af" — íí IIa) • »
+ ff ||a — \\x' — y ||a)
que pela (2), pode ser escrita do
modo :
sendo
(5)
4
De posse deste resultado, vamos no parág r a f o seguinte demonstrar a existência do
produto escalar.
6 . Existência de p r o d u t o escalar. Seja
E um espaço vectorial normado, complexo,
cuja norma satisfaz a condição ( N J ) . Vamos
provar que a aplicação <p : E X K -* C, definida por
Ç Oi y) = S f ( x , í f ) — i R f (ix,
R
R»(x'
+ R?(x'
= 2
-x",y)
seguinte
=
R?(x',y)
o que prova o L e m a 1.
Sendo
=
pois j|-y|| = \\y||,
fazeddo em (5) x' = x", obtem-se Rtf ( 2 x ' , y ) =
= 2 R © (a;1, y) . Daí resulta que podemos
escrever a (5) do seguinte m o d o :
(6)
Ry{x'
+x",y)
+ Rv{x'
=3 R » ( 2 a;'
R?(x'
f
+ x",y)
LEMA 2.
(2), então
y)
sendo
(2)
2
Subtraindo (4) da ( 3 ) obtem-se :
«
(!)
x"-y\\*+\\x'-x"-y\\2~
=
sendo
respectivamente resulta
\\x< +
4
/
e x"
+
Se
Rç(x,y)
-x",y)
=
,y).
for
definida
por
x " , y ) = R?(x',y) + R?(x,',y).
(ftty) - i - (|| a + y |p - f | « - y j|a)
4
ó um produto escalar em E e que a norma
de E é por ele induzida. T a l facto, ficará
demonstrado, após os seguintes lemas.
DEMONSTRAÇÃO.
tituir x' por
+
Dos lemas 1 e 2 resulta que
© (a: ,y) = Rv(x
LEMA
1.
Se
R ® (x , y )
for
definida
por
(2) tem-se
B ? ( l ' + x " , y ) + R © (x' - x " , y ) = 2 R i > ( x , , y ) .
DEMONSTRAÇÃO. De facto, sendo a igualdade ( N J ) válida em E , se nela substituirmos x e y por x' + y e x" respectivamente,
obtem-se
É suficiente em (6) suhs& x" por
(x'~x")/2.
,y) — iRy(ix
,y)
sendo R<f definida por (2) uma forma aditiva relativamente a primeira coordenada x.
LEMA 3. A forma
<P definida por ( 1 ) e
( 2 ) é homogénea relativamente a x .
DEMONSTRAÇÃO.
D e facto, pondo
4
GAZETA
vamos p r o v a r que S = C.
parte
de
é
C
Tem-se
CczS.
Sendo
0
e
1
<p(0,ff)'= 0,
® ( — & , ff) = 0 ,
aditiva
resulta
pertencem
em
que
conjunto
S.
í <p ( 0 , ff) =
0
relação
é,
(p ( — a; , y )
a
ÍÍ? j
se
lemas
®: E X
contidos
a
e
3)
«j
c o )
dos
LEMA 4.
definida
Tem-se
o ^-ar
== ).9
plicando
ambos
e
membros
igualdade pelo inteiro
A
por
aplicação
desta
=
última
pois,
Í yj
Ç
->v)
Dal resulta que 9
=
x,ff^
Ry(y,x),
— ff|| •= Hff — ®|| e sendo
(ix , t f f ) « -í- [jl í* + í f f i p 4
»ff ||2J =
provando
que
contém
S
o
os reais,
seja
Lembrando
?(®,ff)
X um real e j?.„j
definem a
9
as condições ( 1 ) e ( 2 )
que
e ainda mais, que a norma é
contínua, segue-se que
<p (X x , y) =
= Ry(x,y)
p r o v a n d o que
,y) = ?.®
S
(x,y)
contém os números reais.
V e j a m o s que o número c o m p l e x o
=
íbS.
R v { i x , y ) - Í R y ( - x , y )
e sendo R?(—x,y)=—R?(x,y),
y(ix,y)
=
= Ry(ix,y)
obtém-se
+ iRy{x,y)
Í [/£" ® (ar , y) — i Rq ( i a r ,
Se
fi
for
segue-se que
nm
fiieS
qualquer
=
= i 9 (aí, y) .
número
e portanto í +
real,
p-íeiS,
para cada par de números reais ?,, f*,
vando que
C c
, iy)
«
=
R 9 (y, x) + i R 9 (iy , x)
finalmente
iS. líesulta que
p r o v a n d o o tema 4 .
Resulta do lema 4 e da definição que o
D e facto, por ( 1 ) e (2), segue-se que
f {ix,y)
=
ou
— i
R 9 (ff , ar) + i R ® (ar, i y)
=
, f f ) = # ? ( . > > , « } - > » ' f i ? ( t f f , « ) - = í íff , » )
9 (lim ).„ x , y) = lim s (>„ a;, y) =
= lim
fflMI»«—ífflMI»—ff||,
resulta que podemos e s c r e v e r
uma sucessão de racionais c o n v e r g e n t e para
>.
Sf(se,y),
porque
Q dos racionais. P a r a provar que
contém
simetria
Realmente, sendo
|| ta? + » f f ) ! = ||ÍC+
S
E -*• C ,
da
4
— ||*ÍB -
conjunto
®: E X
e ( 2 ) é dotada
(1)
multi-
obtem-se
* . ffj = r 1 ? ^
— ®(x,y),
forma
x.
DKMONSTUAÇXO.
R
=
que
hermitiana.
inteiros
S e j a m X , fjt 6 Z , p =/= 0 ,
pois | j . e Z çz S.
dizendo
E — C definida por ( 1 ) e ( 2 ) é linear
relativamente a
=
Sendo
é uma parte de S.
f1 ?
resumir os resultados
2)
e daí resulta que o
Z — 0 , ^ 1 , _+ 2 , • • •
os
Podemos
nos
MATEMÁTICA
= 0 ou ro (a?, y ) -j-
isto
1+.(j-g S
que
a
p r o v a n d o que — l e S .
=—<s(x,y),
®
é uma
S
provarmos
pois
segue-se que <p(x — x,y}
+
Como
suficiente
DE
C =
precede, que a f o r m a
C,
defi-
v e j a definição 2 .
LEMA 5.
então
Se
X -+ || X |J for
|j x ||8 = 9 (x , x ) , sendo
a norma
de
9 definida
(1) « (2).
DEMOXSTEAÇXO.
D e facto,
9 (a?, a:) = R 9 (x, x) — i R ® ( i a ; , a;).
Tem-se
pro-
S .
9 :E X E
nida por ( 1 ) e ( 2 ) é sesquilinear hermitiaDa,
4
E
por
G A Z E T A . DE M A T E M A T I Ç A
5
e
a
= — [ j]tar + a: I I — || ix — x ]|a =
Ry(ix,x)
4
4
=
~ t ( I » + i Ia — | í — 112) II ® IIa] = o
4
o que prova o lema 5.
Resulta do lema 5, com os dados anteriores, que a aplicação 9 : E x E
C definida
por (1) e ( 2 ) é urna forma sesquilinear hermitianae positiva, isto é, um produto escalar
em E,
tal que a norma de E é por êle
induzida.
Tudo o que demonstramos, será resumido
no seguinte;
TEOKEMÀ 1. Seja E um espaço vectorial
normado, complexo. A condição necessária e
suficiente para que E seja dotado de um
produto escalar que induza a norma de E , è
que para cada par de vectores x , y e E se
tenha
I I x + y IIa ~ H l x
—
y IIa
2 (|| x ||a +1| y |i 2 ).
COROLÁUIO. A condição necessária e suficiente para que um espaço vectorial normado
complexo E , seja dotado de produto escalar,
é que cada subespaço de dimensão dois o
seja.
DEMONSTRAÇÃO.
De
facto,
se
E
for
do-
tado de produto escalar, evidentemente cada
subespaço de dimensão dois também será.
Reciprocamente, suponhamos q u e todo
subespaço E' de dimensão dois do espaço
vectorial normado complexo E , seja dotado
de produto escalar. Dal resulta que para
cada par de vectores do subespaço E' vale
a condição ( N J ) . Como vale para cada
E',
valerá para cada par de vectores de E e
pelo teorema 1 segue-se que E ó dotado de
produto escalar.
7 . Espaços vectoriais reeis.
Vamos
considerar neste parágrafo, apenas espaços
vectoriais cujos escalares sejam números
reais. Em um tal espaço vectorial E , denomina-se produto escalar a uma aplicação
® : E X E —*• li que seja uma forma bilinear
simétrica, estritamente positiva, isto é, satisfazendo as condições:
a ) 9 ó linear relativamente a primeirtf
coordenada
b) 9 é simétrica, isto é
<t (« » y) = ? (y»«)
c)
9 è estritamente positiva.
Resulta que 9 é, também, linear relativamente a segunda coordenada.
O Teorema 1, demonstrado anteriormente,
vale para espaços vectoriais reais. A necessidade da condição ( N J), no caso real,
deduz-se de maneira semelhante aquela usada
para o caso complexo. Quanto à suficiência,
observe n motivação que foi feita e concluirá,
sem dificuldade, que a parte real
Hy(x,if)
seria o produto escalar no caso real. A demonstração seria análoga a que foi feita.
Convém acrescentar, ainda, que vale também
o corolário, evidentemente.
Sôbre a existência de produto escalar em
espaços vectoriais, valo a pena, ainda, dar
como notícia o seguinte trabalho: F . A .
FICKKN, A Note on tlie existence of scalar
products in normed linear spaces», A n n . of
Ma th. ( 2 ) vol. 45 (1944) pp. 362-366, que
consiste em impor uma outra condição sobre
a norma de um espaço vectorial normado de
modo a permitir a existência de um produto
escalar. Faremos a seguir o resumo do trabalho citado, sem demonstrações. P e l o corolário do Teorema 1 é bastante nos limitarmos
aos subespaços vectoriais de dimensão dois.
Sejam então x, y dois vectores independentes de um espaço vectorial real E e seja
V o subespaço gerado por estes dois vectores. Consideremos a aplicação J de F em
6
GAZETA
definida por
V
(1)
= a 3 || a: II3 + 2 « ô x ,y
sendo a e b reais, pois E
<J2=/,
sendo
de onde resulta
é real. Segue-se
I a aplicação
que
c
á uma
idêntica,
involução.
Sendo
M =
=
hy'
ü{ax-\-by)=ax-\-by\
! * ( « + ?);
=
\\bx +
Daí
— co <
/c <
=
+ co j
a(ax+
resulta,
|fc(ar — j ) ;
- C O < / Í <
paralelamente a
Suponhamos que
=
se
for
E
um
|| a?j|
espaço
||y |[ a invo-
O
trabalho
de F .
torno
N.
seja dotado de pro-
V
vamos representar por ( j ) .
E n t ã o se ||#|[ =
— HfflJ, tem-se
vectores
E,
+ by\ax
publicámos
+ by)
da
por
[|ar|| =- ||y ||, a
é dotado de um produto esca-
lar, que induz a norma de E .
O autor p r o v a
que se esta hipótese f o r verdadeira, então a
norma de
onde
Como
E
resulta
satisfaz à c o n d i ç ã o ( N J), de
a
veracidade
observação
final,
da
afirmativa.
estende o seu teo-
aGazeta
complexos,
ainda sem se libertar da condição ( N J ) .
=
por Graciano Neves de
último número
tem
se para cada par de
tais que
x,yeE,
tria, então E
Sobre proc/ufos infinitos
§ 1 — No
FICKEV,
r e m a para os espaços vectoriais
\\ax + by\p = (ax
Matemática»
A.
involução ff definida por ( 1 ) f o r uma isome-
+co|
duto escalar, o qual, c o m o no caso c o m p l e x o ,
de
um artigo em que
de funções
Oliveira
Diremos
quase
que
o
produto
(2. 1)
no ponto
uniformemente
converge
a (ponto de
estudámos produtos infinitos numéricos, pro-
acumulação de X)
curando reduzi-los a séries por aplicação de
trário
é
logaritmos.
ordem
m ( 3 ) tal que para n >• m (3) se veri-
Esta
ideia tem-se-nos
revelado
fecunda e por isso aplicámo-la ao estudo de
seguido alguns resultados interessantes que
passamos a e x p o r .
sempre
se dado um <3 > 0 arbipossível
determinar
uma
fique
produtos infinitos de funçües, tendo j á con-
|p,(«)~p(®)i<:3
em certa vizinhança
s„ de
a,
podendo
e„
depender de n .
§ 2 — Consideremos o produto
Dando-se o caso d e
e„ ser independente
de Ji diz-se que a convergência é uniforme.
N o que se segue suporemos sempre «
(2. i )
o
I
que
v e c t o r i a l r e a l , quando
o b j e c t i v o p r o v a r que dado um espaço vecto-
by) =~(ax±by)\
segue-se que o é uma involução em
de M
=
ay\\*.
rial real n o r m a d o
|ux+by;
=
+ Aa|]ff||2
lução a ó uma isometria.
| ax
e
Jí
MATEMÁTICA
- P | | « I P + 8 a » ( « I D + P||#iP
a (a x + b y) = b x + a y
que
DE
TEOREMA 1.
Se
que suporemos c o n v e r g e n t e em todo o ponto
mente
ar dum conjunto X
em certa vizinhança
onde os w„ são definidos.
convergente
P(x)
em
ê quase
a e se
n
>0.
uniforme-
P ( x ) > k > 0
e. de a , o resto de ordem