Ficha de Exercícios nº 1

Nova School of Business and Economics
Álgebra Linear
Ficha de Exercícios nº 1
Espaços Vectoriais
1
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a)
Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.
b)
A soma directa de dois espaços vectoriais pode não ser um espaço vectorial.
c) Cada espaço vectorial contém (no sentido estrito) pelo menos dois sub-espaços
vectoriais.
d) A intersecção de dois conjuntos que não sejam espaços vectoriais não é espaço
vectorial.
2
Em
, qual dos seguintes conjuntos é espaço vectorial?
a) O conjunto de pontos da forma (
).
b) O conjunto de pontos da forma (
c) O conjunto de pontos da forma (
| |).
d) O conjunto de pontos da forma (
).
3
Qual dos seguintes conjuntos não é um espaço vectorial?
(
a)
4
).
* +).
b)
.
c)
* +.
d)
.
Em
, o plano dado pela equação
tem dimensão:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
1
Álgebra Linear
Ficha de Exercícios nº 1
5
Qual o espaço gerado pelos vectores (
a) O plano dado por
b)
), (
)e(
)?
.
.
c) O plano dado por
.
d) O plano dado por
.
6
Sejam u e v dois vectores de
não nulos, com a mesma direcção e o mesmo
⟩?
sentido. O que pode garantidamente afirmar sobre ⟨
a) É 0.
b) É igual a ‖ ‖.‖ ‖.
c) É 1.
d) Nada.
7
O que pode garantidamente afirmar sobre a intersecção entre S, um subespaço
vectorial de um espaço vectorial V, e , o complemento ortogonal de S?
a) É igual a ∅.
b) É igual a * ̅ +.
c) Tem a mesma dimensão que
.
d) Pode não ser um subespaço vectorial.
8
Quando é que um vector v, normal a um plano A, de
, é ortogonal aos vectores
de A?
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de
.
d) Apenas quando v é paralelo à diferença de dois vectores de A.
2
Álgebra Linear
Ficha de Exercícios nº 1
9
Quando é que o conjunto de vectores normais a um plano A, de
subespaço vectorial de ?
, é um
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de
.
d) Apenas quando A é um subespaço vectorial de
10
(
.
Sejam A e B dois planos de
que têm como vectores normais, respectivamente,
)e(
). Qual das seguintes afirmações é garantidamente verdadeira?
∅.
a)
b) (
)
c)
.
.
d) É possível que
(
)
(
)
.
3
Nova School of Business and Economics
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
Espaços Vectoriais
1
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.
A afirmação é verdadeira, porque um espaço vectorial pode ter apenas um elemento, ou um
número infinito de elementos (se tiver pelo menos 1 elemento não nulo, sendo fechado para
a multiplicação por números reais, tem que ter um número infinito de elementos). Este é um
exemplo de um espaço vectorial constituído por 1 elemento:
* +
1 é ímpar
Não vazio:
Fechado para a soma:
Fechado para a multiplicação por números reais:
Conclusão: A é um espaço vectorial.
b) A soma directa de dois espaços vectoriais pode não ser um espaço vectorial.
A afirmação é falsa, porque sendo A e B dois espaços vectoriais, são não vazios, fechados
para a soma e fechados para a multiplicação por números reais. A soma directa de A e B,
, é o conjunto de vectores que se obtém ao somar cada elemento de A com cada
elemento de B. Esta é a prova que
é também não vazio, fechado para a soma e
fechado para a multiplicação por números reais:
A espaço vectorial; B espaço vectorial;
*
+
Não vazio: ̅
̅
̅
̅
̅
(
)
(
Fechado para a soma:
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
)
)
(
Fechado para a multiplicação por números reais:
(
(
(
)
(
)
)
(
)
)
Conclusão:
é um espaço vectorial.
1
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
c) Cada espaço vectorial contém (no sentido estrito) pelo menos dois sub-espaços
vectoriais.
A afirmação é falsa, porque, por exemplo, o espaço vectorial
próprio ) o subespaço vectorial * +.
contém apenas (excluindo o
d) A intersecção de dois conjuntos que não sejam espaços vectoriais não é espaço
vectorial.
A afirmação é falsa, porque o conjunto de elementos comuns a dois conjuntos que não são
fechados para a soma, ou fechados para a multiplicação (ou ambos), pode ser fechado para
*
+ e
*
+ não são
a soma e fechado para a multiplicação. Por exemplo,
subespaços vectoriais por não serem, por exemplo, fechados para a soma, mas
* + é um espaço vectorial.
Resposta correcta: a)
2
Em
, qual dos seguintes conjuntos é espaço vectorial?
a) O conjunto de pontos da forma (
).
A resposta é correcta:
*(
)
+
(
Não vazio:
(
Fechado para a soma:
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
Conclusão:
é um espaço vectorial.
b) O conjunto de pontos da forma (
).
A resposta é incorrecta:
*(
)
+
(
Não vazio:
Inclusão da origem: (
)
Conclusão: não é um espaço vectorial.
c) O conjunto de pontos da forma (
A resposta é incorrecta:
*(
2
| |)
+
(
))
Fechado para a multiplicação por números reais:
(
)
| |).
)
(
)
)
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
| |
Não vazio:
(
|
Fechado para a soma:
(
)
(
)
(
)
)
(
|
(
)
| |
)
Conclusão: não é um espaço vectorial.
d) O conjunto de pontos da forma (
).
A resposta é incorrecta:
*(
)
+
(
Não vazio:
(
Fechado para a soma:
(
)
(
)
Conclusão:
(
)
)
(
)
(
)
)
não é um espaço vectorial.
Resposta correcta: a)
3
Qual dos seguintes conjuntos não é um espaço vectorial?
(
a)
* +).
A resposta é incorrecta:
(
* +)
Não vazio:
(
Fechado para a soma:
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Fechado para a multiplicação por números reais:
(
)
(
)
)
Conclusão:
b)
é um espaço vectorial.
.
A resposta é incorrecta:
Não vazio:
Fechado para a soma:
Fechado para a multiplicação por números reais:
Conclusão:
é um espaço vectorial.
3
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
4
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
* +.
c)
A resposta é incorrecta:
* +
* +
* +
Não vazio:
* +
Fechado para a soma:
* +
Fechado para a multiplicação por números reais:
Conclusão: * + é um espaço vectorial.
d)
.
A resposta é correcta:
Fechado para a multiplicação por números reais:
Conclusão:
não é um espaço vectorial.
Resposta correcta: d)
4
Em
, o plano dado pela equação
tem dimensão:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
Vamos encontrar uma base para o plano (que é um subespaço vectorial de
sua cardinalidade (número de vectores que contém):
) e identificar a
Sistema de geradores:
*(
*
(
)
)
*(
+
(
)
)(
*(
(
)(
)
+
)
+
)+
Independência linear:
(
{
)
*(
(
)(
)
(
)(
)
(
)
)+ é linearmente independente
5
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
Base:
{
*(
)(
*(
)(
*(
)(
)(
)+
)(
)(
)+
)+ é uma base de A
Dimensão:
( )
*(
)(
)(
)+
Alternativamente, podemos verificar que A contém todos os vectores de
cuja 1ª
coordenada (x) é 0, o que significa que os seus elementos têm 3 variáveis livres: y, z e w, cujo
valor não tem qualquer restrição. A dimensão de A iguala o número de variáveis livres dos
seus elementos sendo, por isso, 3.
Resposta correcta: c)
5
Qual o espaço gerado pelos vectores (
a) O plano dado por
b)
), (
)e(
)?
.
.
c) O plano dado por
.
d) O plano dado por
.
), (
)e(
) são geradores de um subespaço vectorial de
Os vectores (
,
constituído por todos os vectores que representam uma combinação linear dos 3.
Chamemos a este subespaço vectorial A:
*(
*(
)
)(
)(
(
)
)+
(
)
(
)
(
)
+
Mas, ainda que gerem A, estes 3 vectores podem ser linearmente dependentes, no sentido
em que algum deles pode ser gerado pelos restantes. Nesse caso, o vector que pode ser
obtido a partir dos outros não contribui para a geração do espaço (também não a impede),
podendo ser removido. Vamos verificar se os vectores são linearmente independentes:
(
)
(
{
*(
)
{
)(
)(
(
)
(
)
{
)+ é linearmente dependente
Sendo os vectores linearmente dependentes e nenhum deles o vector nulo, então qualquer
1 deles pode ser gerado a partir dos outros 2. Vamos verificar se os 2 primeiros são
6
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
linearmente independentes (em caso afirmativo, também geram A, mas desta vez à custa de
um menor número de vectores):
(
)
(
{
)
(
)
*(
{
)(
)+ é linearmente dependente
Desta forma, podemos descrever A de forma mais concisa do que se tivessemos recorrido
aos 3 vectores originais:
*(
)(
)+
*(
)
(
)
*(
)
(
)
*(
)
(
)
(
(
+
)
)
*(
+
+
)
+
Resposta correcta: a)
6
Sejam u e v dois vectores de
não nulos, com a mesma direcção e o mesmo
⟩?
sentido. O que pode garantidamente afirmar sobre ⟨
a) É 0.
b) É igual a ‖ ‖.‖ ‖.
c) É 1.
d) Nada.
Se u e v são dois vectores de
não nulos, com a mesma direcção e o mesmo sentido, são
paralelos, formando por isso um ângulo de 0º entre si. Aplicando-lhes a fórmula que nos
indica o coseno do ângulo formado entre dois vectores, obtemos:
⟨
⟩
‖ ‖ ‖ ‖
(̂)
⟨
⟩
‖ ‖ ‖ ‖
( )
⟨
⟩
‖ ‖ ‖ ‖
⟨
⟩
‖ ‖ ‖ ‖
Resposta correcta: b)
7
O que pode garantidamente afirmar sobre a intersecção entre S, um subespaço
vectorial de um espaço vectorial V, e , o complemento ortogonal de S?
a) É igual a ∅.
A resposta é incorrecta. Se S é um subespaço vectorial, contém a origem de V, ̅ . E ̅ é
ortogonal a todos os vectores de V, incluindo ̅ , pertencendo, por isso, a . Logo:
̅
̅
̅
(
)
∅
7
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
b) É igual a * ̅ +.
A resposta é correcta. Já sabemos que
contém ̅ . Para além deste, não contém
nenhum outro vector. De facto, qualquer vector que pertença a
é ortogonal a si
próprio. Contudo, nenhum vector não nulo preenche esta condição. Se u, um vector não
⟩
⟩ ‖ ‖ e ‖ ‖ é sempre
nulo de V, fosse ortogonal a si próprio, ⟨
. Mas ⟨
⟩
positiva, excepto quando u é o vector nulo. Por isso, sendo u diferente de ̅ , ⟨
e
̅
não há nenhum vector, excepto , que pertença simultaneamente a e .
c) Tem a mesma dimensão que
A resposta é incorrecta.
isso dimensão. Por exemplo:
*(
(
)
(
*(
pode não ser um subespaço vectorial de V, não tendo por
+
)
)
)
*(
*(
(
.
)
)+
⟨(
)(
)⟩
+
)
Não vazio: (
+
)
(
Fechado para a soma: (
Conclusão:
)
)(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
não é um subespaço vectorial de V
d) Pode não ser um subespaço vectorial.
A resposta é incorrecta.
* ̅ + e, por isso, é um subespaço vectorial de V.
Resposta correcta: b)
8
Quando é que um vector v, normal a um plano A, de
vectores de A?
, é ortogonal aos
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de
.
d) Apenas quando v é paralelo à diferença de dois vectores de A.
v, o vector normal a A, é ortogonal não aos vectores de A (no sentido em que todos os
vectores de
têm início na origem), mas aos vectores diferença de A (vectores que
resultam da subtracção entre vectores de A). Assim, em geral, v não é ortogonal aos
vectores de A. Contudo, se A contiver a origem de , então os vectores diferença de A são
também vectores de A e, neste caso, v é ortogonal aos vectores de A. De facto, a equação
) ⟩
normal de A é dada por ⟨(
, sendo x um vector geral de A, a um vector
8
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
específico que pertença a A e v o vector normal a A. a pode ser qualquer vector de A,
nomeadamente a origem de , se esta pertencer a A. Substituindo a por ̅ na equação
normal, ficamos com:
̅)
⟨(
⟩
⟨
⟩
Se A não contiver a origem de , nenhum vector diferença de A vai coincidir com qualquer
dos vectores de A e, por isso, v não vai ser ortogonal aos vectores de A. De facto, imagine-se
que ̅
, mas que existe um vector de A, b, que é ortogonal a v. Escolhendo b como vector
) ⟩
específico, na equação normal de A, ficamos com ⟨(
. Mas sabemos que todos
os vectores de
que satisfazem esta equação pertencem a A e ̅ é um deles:
⟨( ̅
)
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
A última igualdade é de facto verdadeira, porque b é ortogonal a v. Logo, se v for
perpendicular a um vector de A, este plano contém necessariamente a origem de
.
Resposta correcta: c)
9
Quando é que o conjunto de vectores normais a um plano A, de
subespaço vectorial de ?
, é um
a) Sempre.
b) Nunca.
c) Apenas quando A contém a origem de
.
d) Apenas quando A é um subespaço vectorial de
.
Se um vector é ortogonal a um plano A, de , também o são todos os vectores com a sua
direcção e apenas estes. Por isso, o conjunto de vectores normais a um plano de
é
sempre constituído por um vector e pelos seus múltiplos, sendo por isso um subespaço
vectorial de , independentemente do plano A. Chamemos V ao conjunto de vectores
normais a A:
*
⟨(
)
⟩
+
) ̅⟩
⟨(
Não vazio:
(⟨(
Fechado para a soma:
⟨(
)
⟩
⟨(
)
̅
⟩
)
⟩
⟨(
⟨(
)
) (
)
⟩
Conclusão: V é um subespaço vectorial de
⟨(
⟨(
)
)
)⟩
Fechado para a multiplicação por números reais:
⟨(
⟩
)
⟩
⟩
.
9
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
Resposta correcta: a)
10
Sejam A e B dois planos de
que têm como vectores normais,
)e(
). Qual das seguintes afirmações é garantidamente
respectivamente, (
verdadeira?
∅.
a)
A resposta é incorrecta. Apenas sabemos que A e B têm dois vectores normais paralelos. Se
)e
um vector é normal a um plano, todos os seus múltiplos também o são, pelo que (
(
) são normais quer a A, quer a B. Sabemos então que A e B paralelos, mas não
sabemos onde se encontram em . É por isso perfeitamente possível que A e B sejam o
mesmo plano e, nesse caso,
.
b) (
)
.
A resposta é incorrecta. É possível que um vector normal a um plano pertença ao plano
)). Se A for o plano cuja
(tendo em conta que todos os vectores de
têm início em (
) é não só um vector normal a A (os
equação cartesiana é
, então (
coeficientes de x, y e z na equação cartesiana são, respectivamente, 1, 1 e 1), como também
um vector de A (
).
c)
.
A resposta é incorrecta. Sabemos que A e B são paralelos, mas não podemos garantir que
sejam o mesmo plano. De facto, é possível que A e B tenham, por exemplo, como equações
cartesianas, respectivamente,
e
, não sendo neste caso o mesmo
plano (neste exemplo, o plano B resulta de uma translação do plano A, subindo 1 unidade no
eixo dos zz).
d) É possível que
(
)
(
)
.
A resposta é correcta. A e B são planos paralelos, já que os vectores normais a ambos são
) (e do (
) também). Desta forma, o
todos os vectores com a direcção do vector (
)eBa(
) nada nos indica sobre a distância
facto de sabermos que A é ortogonal a (
a que cada um se encontra da origem de . A norma do vector normal a um plano é
irrelevante, interessando apenas a sua direcção. Assim, se A e B tiverem como equações
cartesianas, respectivamente,
e
, ficamos com:
(
Plano A:
(
)
|
⟨(
)
(
‖(
10
)⟩
(
Plano B:
Comparação:
)(
)‖
(
)
|⟨(
|
√
)(
(
(
)
(
)⟩|
|
)
)
|
√
√
)
)
√
Álgebra Linear
Correcção Ficha de Exercícios nº 1
Resposta correcta: d)
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