Resolva em folhas separadas os grupos I e II.

Departamento de Matemática e Engenharias
Frequência de Álgebra Linear
23 de Janeiro de 2006
Justifique todas as respostas.
Resolva em folhas separadas os grupos I e II.
Duração: 3h+30min de tolerância
Cotação: Grupo I: 0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 1 + 1 + 0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 1
Grupo II: 1 + 1 + 0, 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 5 + 1, 5 + 0, 5 + 1, 5 + 0, 5 + 0, 5
Grupo I
Averigúe o valor lógico das seguintes proposições, justificando convenientemente.
1. Considere M2 (R), o conjunto das matrizes do tipo 2 × 2, com entradas em R. Seja
a b
S= A=
: a, b ∈ R
0 a
um subespaço vectorial de M2 (R).
(a) dim M2 (R) = 2.
(b) dim S = 2.
(c) Seja E um espaço vectorial real de dimensão 2 e e1 , e2 uma sua base. Seja ϕ um
endomorfismo de E. Suponha que em relação à base considerada, a matriz de ϕ é
A ∈ S.
i.
ii.
iii.
iv.
ϕ é um automorfismo se e só se a = 1 ou a = −1.
A = A⊤ se e só se b = 0.
Para quaisquer a, b ∈ R, os valores próprios de A são os valores próprios de A⊤ .
A é invertível se e só se b = 0.
2. Sejam E um espaço vectorial sobre um corpo K de dimensão n e ϕ um endomorfismo de
E. Seja f(x) o polinómio característico de ϕ. Sejam a1 , . . . , ak ∈ K as raízes distintas de
f (x).
(a) k = n se e só se todos os valores próprios de ϕ são distintos.
(b) k = n se e só se todos os valores próprios de ϕ têm multiplicidade geométrica 1.
(c) Se k < n, então ϕ não é diagonalizável.
(d) Se k = n, então ϕ é diagonalizável.
(e) k = n se e só se ϕ é diagonalizável.
(f) ϕ é um endomorfismo diagonalizável se e só se existe em E uma base em relação à
qual a matriz de ϕ é uma matriz diagonal.
Grupo II
3. Sabendo que A =

0 −1
1 2 −1
e B =  1 1 , resolva a equação matricial:
−1 1 −1
1 1
T T T
4 8
B A X =
.
−1 3

4. Se A e B são duas matrizes invertíveis de dimensão (3 × 3) e C = −2B −1 A2 , calcule o
valor de |C| sabendo que |B| = 3 e |A| = 21 .
5. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

 ay + z = −1
x + bz = 0 , a, b ∈ R.

x+y =1
(a) Seja A a matriz simples do sistema. Determine A?
(b) Calcule os valores de a e b, para os quais A é invertível.
(c) Considere a = 5 e b = 0. Utilize a regra de Cramer para determinar o valor da
variável y.
(d) Para os valores considerados na alínea anterior, determine A−1 .
6. Uma aplicação linear ϕ : R4 → R3 é representada pela matriz


1 −1 0 1
1 0 ,
A =  −1 0
1
1 −1 0
relativamente à base canónica de R4 e à base (1, 1, 1), (1, 1, 0) (1, 0, 0) de R3 .
(a) Determine ϕ (x, y, z, w) para quaisquer x, y, z, w.
(b) Calcule a matriz da aplicação ϕ em relação à base (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0),
(1, 1, 1, 1) de R4 e à base (1, 1, 1), (1, 1, 0) (1, 0, 0) de R3 .
7. Seja ϕ um endomorfismo do espaço vectorial real R3 definido, em relação a certa base
e1 , e2 , e3 , pela matriz


a −1 −1
1 ,
A =  −1 a
0
0
b
com a, b ∈ R. Seja f (x) o polinómio característico de A.
(a) Sabendo que 4 é raiz simples de f (x) e que 2 é raiz dupla de f (x), calcule a, b.
(b) Quais são os valores próprios de A? Quais são as suas multiplicidades algébricas?
(c) Calcule os vectores próprios do endomorfismo ϕ.
(Atenção: No caso de não ter resolvido (a), considere para esta e as restantes alíneas
a = 3 e b = 2).
(d) Existirá em R3 uma base relativamente à

2

B= 0
0
Em caso afirmativo, qual é essa base?
(e) Será ϕ um automorfismo?
qual a matriz de ϕ é

0 0
2 0 ?
0 4