Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)

ISCTE, Escola de Gestão
Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)
Diana Aldea Mendes
29 de Outubro de 2008
Espaços Vectoriais
→
Definição (vector): Chama-se vector e designa-se por −
v um objecto matemático
caracterizado por ter uma origem, uma direcção, um sentido e um modulo
¯→¯
v ¯ . Um escalar tem só magnitude, é um
(tamanho) que se designa por v = ¯−
número e pode ser representado por um ponto numa linha.
Chama-se vector n-dimensional (de dimensão n) um sistema ordenado de
→
n números reais, −
v = (x1, x2, ..., xn), onde os números xi, 1 ≤ i ≤ n, se
→
designam por componentes de −
v.
Observação: Uma matriz de tipo (m × n) é um vector com m·n componentes
e um polinómio de grau n é um vector com (n + 1) componentes, sendo o
número das componentes definido pelo número total de elementos necessários
para definir uma matriz ou um polinómio
Exemplos:
• A matriz quadrada de ordem 3 definida por
⎡
⎤
1 0 −1
⎢
⎥
A=⎣ 2 3
5⎦
−4 7 11
pode ser vista como um vector com 3 · 3 = 9 componentes definido por
→
−
A = (1, 0, −1, 2, 3, 5, −4, 7, 11) .
• O polinómio de grau 5 definido por
p5 (x) = 1 − 2x − 3x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5
pode ser visto como o vector com 6 componentes definido por
→
−
p = (1, −2, −3, 5, −6, 4) .
5
Definição (operações com vectores):
→
→
v 2 = (y1, y2, ..., yn) são iguais
• Dois vectores −
v 1 = (x1, x2, ..., xn) e −
se para qualquer i, 1 ≤ i ≤ n se tem xi = yi.
• Chama-se vector nulo, o vector com todas as componentes iguais a zero,
→
−
isto é, 0 = (0, 0, ..., 0) .
→
→
v 2 = (y1, y2, ..., yn)
• A soma (adição) de dois vectores −
v 1 = (x1, x2, ..., xn) e −
define-se como sendo
−
→
→
→
u =−
v1+−
v 2 = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)
e a diferença (subtracção) é dada por
−
→
→
→
w =−
v1−−
v 2 = (x1 − y1, x2 − y2, ..., xn − yn) .
¡ →¢
→
• Chama-se oposto de um vector −
v = (x1, x2, ..., xn) o vector −−
v que
¡ −
¢
existe sempre e tem a forma −→
v = (−x1, −x2, ..., −xn) .
→
→
→
→
v2e−
v 3, elementos de um conjunto V,
Definição: Quaisquer sejam −
v ,−
v 1, −
a soma (adição) de vectores verifica as seguintes propriedades:
→
−
v 2 é um elemento de V (a operação de adição é fechada)
A1. →
v1+−
→
→
→
−
v2=−
v2+−
v 1 (comutatividade)
A2. →
v1+−
¡−
¢ →
¡→
¢
→
→
→
v1+−
v2+−
v2 +−
v3=−
v1+ −
v 3 (associatividade)
A3. →
→ −
−
→ → −
−
A4. →
v + 0 = 0 +−
v =→
v (elemento neutro)
¡ →¢
¡ →¢ −
→
−
−
A5. →
v + −−
v = −−
v +→
v = 0 (elemento oposto)
Note-se em especial a propriedade A1, ou seja, fazendo a soma de dois vectores
obtém-se sempre um vector do mesmo conjunto (fechado sob adição).
−
Chama-se multiplicação (produto) do vector →
v 1 = (x1, x2, ..., xn) pelo es→
calar α, ao vector α−
v 1 definido por
→
α−
v 1 = (αx1, αx2, ..., αxn) .
→
→
→
Definição: Quaisquer sejam os vectores −
v ,−
v1e−
v 2 de um conjunto V e os
escalares reais α, α1 e α2, verificam-se as seguintes propriedades:
→
M1. α−
v é um elemento de V (a operação de multiplicação por um escalar é
fechada)
¡→
¢
→
→
→
v1+−
M2. α −
v 2 = α−
v 1 + α−
v 2 (distributiva em relação à adição de vectores)
M3. (α1 + α2) v = α1v + α2v (distributiva em relação à adição de escalares)
¡
¢
−
→
→
M4. α1 α2 v = (α1α2) −
v (distributiva em relação à multiplicação por escalares)
→
→
M5. 1 · −
v =−
v (elemento neutro)
Definição (espaço vectorial): Um conjunto de elementos (vectores) V, dotado
com as operações de adição e de multiplicação por um escalar que verificam as
propriedades (A1 − A5) e (M 1 − M5), designa-se por espaço vectorial.
−
Em qualquer espaço vectorial V , para qualquer →
v ∈ V e α ∈ R tem-se que
→
−
→
1. 0 · −
v = 0
¡
¢ →
→
−
→
2. −1 · −
v +−
v = 0
→ −
−
→
3. α · 0 = 0
Exemplos de espaços vectoriais:
• O conjunto constituido só pelo vector nulo é um espaço vectorial (o menor
espaço vectorial possível).
• O conjunto R dos números reais é um espaço vectorial. O conjunto R2 dos
pares de números reais é um espaço vectorial. Mais geral: todas as sequências ordenadas de números reais, de n elementos, isto é (x1, x2, ..., xn) ,
onde n ∈ N, designa-se por Rne forma um espaço vectorial se as operações
induzidas são as operações usuais de adição e multiplicação dos números
reais.
• O conjunto das todas as matrizes rectangulares de tipo (m × n) constitui
em relação à adição e à multiplicação por um escalar um espaço vectorial.
Este espaço vectorial designa-se por M(m×n) e pode ser identificado com
o espaço vectorial real Rmn. O vector genérico do espaço M(m×n) é
definido por
⎡
⎢
⎢
A=⎢
⎣
a11 a12
a21 a22
··· ···
am1 am2
... a1n
... a2n
... · · ·
... amn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
o que de maneira equivalente pode ser identificado com o elemento genérico
do espaço vectorial real Rmn, isto é
−
→
v A = (a11, ..., a1n, a21, ..., a2n, ..., am1, ..., amn) ,
vector que se obtem colando as linhas da matriz A.
• O conjunto dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual
a n forma um espaço vectorial em relação à adição de polinómios e à
multiplicação de polinómios por um escalar. Este espaço vectorial designase por Pn e pode ser identificado com o espaço vectorial real Rn+1. O
vector genérico do espaço Pn representa-se por
pn (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a2x2 + a1x + a0,
onde a0, a1, ..., an são coeficientes reais. De maneira equivalente podemos
representar o polinómio genérico por
−
→
p n = (a0, a1, ..., an) ∈ Rn+1.
Exemplos de conjuntos que não formam espaços vectoriais
→
• O conjunto V de todos os vectores de tipo −
v = (a, b, 1) não forma um
espaço vectorial, porque os elementos desse conjunto não são fechados sob
→
→
adição. Para ver isto, considerem-se −
v 1 = (a1, b1, 1) e −
v 2 = (a2, b2, 1)
→
→
elementos de V e a soma deles dá −
v 1+−
v 2 = (a1, b1, 1) + (a2, b2, 1) =
/ V, logo V não é um espaço vectorial.
(a1 + a2, b1 + b2, 2) ∈
• O conjunto de todos os polinómios reais de grau 2 não forma um espaço
vectorial porque os polinómios não são fechados sob adição. Por exemplo,
considerando p1 (x) = 4x2 − 2x + 1 e p2 (x) = −4x2 + 9x + 3, a soma
³
´ ³
´
2
2
p1 (x) + p2 (x) = 4x − 2x + 1 + −4x + 9x + 3 = 7x + 4
é um polinómio de grau 1 que não pertence ao conjunto dado, logo não
se trata de um espaço vectorial.
Definição (subespaço vectorial): Se V é um espaço vectorial, então o subconjunto de vectores V1 ⊆ V diz-se um subespaço vectorial em V (de V ) se
→
−
→
→
→
→
→
v1+−
v 2 ∈ V1, ∀−
v 1, −
v 2 ∈ V1 ⊆ V e α−
v ∈ V1, ∀−
v ∈ V1 ⊆ V, ∀α ∈ R.
Portanto, dado um espaço vectorial V , um subconjunto V1 de V forma um
subespaço vectorial se as duas operações definidas no espaço ficam fechadas
para todos os elementos de V1. Note-se que um subespaço vectorial contém
sempre o vector nulo do espaço vectorial do qual provém (ao qual pertence).
O vector nulo é sempre um subespaço vectorial.
Exemplos de subespaços vectoriais
• Os possíveis subespaços do espaço vectorial R3 são: o espaço nulo, uma
recta que passa pela origem, um plano que passa pela origem e o espaço
inteiro R3.
• O espaço vectorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 3 tem
como subespaço vectorial o conjunto de todos os polinómios de grau menor
ou igual a 1.
Exemplos de conjuntos que não formam subespaços vectoriais
• O conjunto Q =
n
o
2
(x, y) ∈ R : x ≥ 0, y ≥ 0 não forma um subespaço
vectorial de R2 porque não é fechado sob multiplicação por um escalar.
Basta considerar um escalar negativo para obter um vector exterior ao
primeiro quadrante.
• O conjunto R+ não é um subespaço vectorial de R porque as operações
→
v = 2 ∈ R+ e α = −1
de R não são fechadas em R+. Por exemplo, se −
→
escalar real então α−
v = −1 · 2 = −2 ∈
/ R+.
Bases e Dimensão de um Espaço Vectorial
→
→
→
v 2, ..., −
v m vectores de V e sejam α1, α2, ..., αm
Definição: Sejam −
v 1, −
escalares de R. Então, o elemento
m
X
→
→
→
→
−
→
v i = α1−
v 1 + α2−
v 2 + ... + αm−
vm
v =
αi−
i=1
→
designa-se por combinação linear dos vectores −
v i, 1 ≤ i ≤ m. O con→
→
→
v 2, ..., −
vm éo
junto W de todas as combinações lineares dos vectores −
v 1, −
→
→
→
v 2, ..., −
v m. O subespaço
menor subespaço de V que contém os vectores −
v 1, −
→
→
→
v 2, ..., −
v m, e os vectores dizem-se
W chama-se subespaço gerado de −
v 1, −
geradores de W.
Exemplos:
• O subconjunto S de R3 definido por S = {(x, y, z) : x − 3y + 4z = 0} é
um subespaço de R3 sob as operações usuais de adição e multiplicação por
escalares. Para ver isto consideramos uma parametrização do subespaço,
utilizando x = 3y − 4z, isto é
S = {(3y − 4z, y, z) : y, z ∈ R} = {(3y, y, 0) + (−4z, 0, z) : y, z ∈ R}
= {y (3, 1, 0) + z (−4, 0, 1) : y, z ∈ R}
e logo temos que S é descrito por uma colecção sem restrições de combinações lineares dos vectores (3, 1, 0) e (−4, 0, 1) .
→
→
• Os vectores −
v = (1, 1) e −
u = (1, −1) são geradores do espaço vectorial
→
R2. Para ver isto é preciso mostrar que qualquer elemento −
w = (x, y) de
R2 é uma combinação linear destes dois vectores, isto é, existem escalares
→
→
→
u + a2−
v =−
w ou seja a1 (1, 1) + a2 (1, −1) =
reais a1, a2 tal que a1−
(x, y) o que é equivalente ao sistema
(
a1 + a2 = x
a1 − a2 = y.
³
´
x−y x+y
, portanto ∀ x, y ∈
2 , 2
R,
A solução deste sistema é (a1, a2) =
existem coeficientes a1, a2 ∈ R tal que a equação vectorial seja possível,
ou seja, qualquer vector de R2 pode ser escrito como uma combinação
→
→
linear dos vectores −
u e−
v.
• Seja P2 o espaço vectorial dos polinómios reais de grau ≤ 2 e sejam
p1 (x) = x2 − 2x ∈ P2 e p2 (x) = 3x − 5 ∈ P2 . Queremos determinar
o espaço gerado por p1 (x) e p2 (x) , ou seja, o conjunto de todas as
combinações lineares desses dois vectores, isto é:
{λ1p1 (x) + λ2p2 (x) : λ1, λ2 ∈ R} =
=
n
(
³
´
)
2
λ1 x − 2x + λ2 (3x − 5)
: λ1, λ2 ∈ R
λ1x2 + (−2λ1 + 3λ2)x − 5λ2 : λ1, λ2 ∈
o
R .
O elemento genérico do espaço P2 é definido por p (x) = a1x2 +a2x+a3 e
portanto coloca-se a seguinte questão: para que elementos a1x2 +a2x+a3
de P2 existem os coeficientes λ1, λ2 ∈ R tal que a1x2 + a2x + a3 =
λ1x2 + (−2λ1 + 3λ2)x − 5λ2 ? Como dois polinómios são iguais se e só
se os seus coeficientes forem iguais, resulta que a1, a2, a3 devem satisfazer
as seguintes condições λ1 = a1, −2λ1 + 3λ2 = a2, −5 = a3. A solução
1 , −5 = a donde o
deste sistema é dada por λ1 = a1, λ2 = a2+2a
3
3
subespaço gerado é
n
a1x2 + a2x − 5 : a1, a2 ∈
o
R .
→
→
→
Definição: Os vectores −
v 1, −
v 2, ..., −
v n, dizem-se linearmente dependentes
se existem os escalares reais α1, α2, ..., αn, não todos nulos, tal que se verifica
a seguinte relação
n
X
→
v i = 0.
αi−
(1)
i=1
Se a igualdade (1) se verifica se e só se α1 = α2 = ... = αn = 0, então os
→
→
→
v 2, ..., −
v n dizem-se linearmente independentes.
vectores −
v 1, −
Note-se que a relação (1) pode ser dada na seguinte forma matricial
n
X
i=1
→
→
→
→
v i = α1−
v 1 + α2−
v 2 + ... + αn−
vn=
αi−
⎡
⎢
⎢
= α1 ⎢
⎣
x11
x21
..
xm1
⎤
⎡
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ + α2 ⎢
⎦
⎣
x12
x22
..
xm2
⎤
⎡
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ + ... + αn ⎢
⎦
⎣
x1n
x2n
..
xmn
⎤
⎡
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥=⎢
⎦
⎣
0
0
..
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
o que conduz a um sistema linear homogéneo, sobre o qual sabemos que admite
sempre a solução nula. Seja A(m×n) a matriz das coordenadas dos vectores,
isto é
A=
h
−
→
−
→
v 1| →
v 2| ... |−
vm
i
⎡
⎢
⎢
=⎢
⎣
x11 x12
x21 x22
..
..
xm1 xm2
· · · x1n
· · · x2n
..
...
· · · xmn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
e designa-se por r (A) a característica dessa matriz. Obtém-se a seguinte
classificação:
• se n > m (o número de vectores é superior à dimensão do espaço ao qual
−
→
→
pertencem), então os vectores →
v 1, −
v 2, ..., −
v n são sempre linearmente
dependentes;
• se n ≤ m (o número de vectores é inferior ou igual à dimensão do espaço
→
→
→
v 2, ..., −
v n são linearmente
ao qual pertencem), então os vectores −
v 1, −
dependentes se e só se r (A) < n. Se r (A) = n, então os vectores
→
−
→
→
v 1, −
v 2, ..., −
v n são linearmente independentes.
Exemplos:
→
→
→
• Os vectores −
u = (1, 1/2), −
v = (2, 1) e −
w = (−2, −1) são linearmente
dependentes. Tem-se a seguinte combinação linear
→
→
→
u +α −
v +α −
w = 0 ⇒ α (1, 1/2) +
α −
1
2
3
α2 (2, 1) + α3 (−2, −1) =
³
1
´
1
α1 + 2α2 − 2α3, 2 α1 + α2 − α3 = (0, 0)
o que é equivalente ao sistema homogéneo
⎧
⎪
⎨ α1 + 2α2 − 2α3 = 0
⎪
⎩ 1
2 α1 + α2 − α3 = 0.
Saliente-se que o sistema é duplamente indeterminado e a sua solução é
dada pela família (α1, α2, α3) = (2α3 − 2α2, α2, α3) , ∀α2, α3 ∈ R. A
sua resolução também é equivalente ao estudo da dependência linear das
filas da matriz das coordenadas dos vectores, isto é:
⎡
⎢
A=⎣
1 2 −2
1/2 1 −1
⎤
⎥
⎦
Como n = 3 > m = 2, logo os vectores são linearmente dependentes.
Como consequência, escreve-se
→
−
→
u + α2→
v + α3−
w =0 ⇒
α1−
α2 −
α3 −
→
−
→
−
→
−
→
−
→
α1 u = −α2 v − α3 w ⇒ u = −
v − →
w
α1
α1
→
→
→
portanto −
u é uma combinação linear de −
v e−
w.
• O conjunto dos polinómios {1 + x, 1 − x} é linearmente independente em
P2 porque
α1 (1 + x)+α2 (1 − x) = (α1 + α2)+(α1 − α2) x+0x2 = 0+0x+0x2
pelo que
⎧
⎪
⎨ α1 + α2 = 0
⎪
⎩ α −α =0
1
2
=⇒
⎧
⎪
⎨ α1 = 0
⎪
⎩ α =0
2
,
e, portanto, a única relação entre os dois vectores de P2 é a trivial.
Definição (base / dimensão de um espaço vectorial): Um conjunto de vectores que geram um espaço vectorial e são linearmente independentes, designase por base do espaço. Diz-se que um espaço vectorial
tem dimensão
n
n−
→ o
−
→
quando contém uma base com n elementos. Se B = b 1, ..., b n é uma
→
base de um espaço vectorial V , então cada vector −
v = (x1, ..., xn) ∈ V vem
unicamente representado por uma combinação linear das suas coordenadas e
dos vectores da base, isto é
→
−
→
−
→
−
v = x1 b 1 + ... + xn b n.
Teorema: Qualquer base de um espaço vectorial tem o mesmo número de
elementos. Num espaço vectorial de dimensão n, quaisquer n vectores linearmente independentes formam uma base. Num espaço vectorial de dimensão n,
quaisquer (n + 1) vectores são sempre linearmente dependentes.
Exemplos:
• O conjunto dos vectores {(2, 4) , (1, 1)} forma uma base do espaço R2.
Para ver isso precisamos verificar se os vectores são geradores e linearmente
independentes. Os vectores são linearmente independentes porque
α1 (2, 4) + α2 (1, 1) = (0, 0) ⇒
⎧
⎪
⎨ 2α1 + α2 = 0
⎪
⎩ 4α + α = 0
1
2
e são geradores do espaço vectorial R2 porque
⎧
⎧
y−x
⎪
⎪
⎪
⎪
2α
+
α
=
x
α
=
⎨
⎨ 1
1
2
⎪
⎩ 4α + α = y
1
2
⇒
2
⎪
⎪
⎪
⎩ α = 2x − y
2
⇒
⎧
⎪
⎨ α1 = 0
⎪
⎩ α =0
2
.
Analogamente pode-se verificar que os vectores {(1, 1) , (2, 4)} e os vectores {(1, 0) , (0, 1)} formam também bases para o espaço vectorial R2.
Definição (base canónica): Para qualquer espaço vectorial Rn o conjunto de
vectores
En = {(1, 0, ..., 0) , (0, 1, ..., 0) , ..., (0, 0, ..., 1)}
forma uma base designada por base canónica (ou natural). Designemos os
→
→
→
e 2, ...., −
e n.
vectores da base canónica por −
e 1, −
Exemplos:
• A base canónica do espaço R4 é dada por
E4 = {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)} .
• A base canónica do espaço vectorial P3 é dada por
n
1, x, x2, x3
o
o que é equivalente à base canónica do espaço R4 porque
1 = 1 + 0x + 0x2 + 0x3
x = 0 + 1x + 0x2 + 0x3
x2 = 0 + 0x + 1x2 + 0x3
x3 = 0 + 0x + 0x2 + 1x3
⇒
⇒
⇒
⇒
−
→
e 1 = (1, 0, 0, 0)
→
−
e 2 = (0, 1, 0, 0)
→
−
e 3 = (0, 0, 1, 0)
→
−
e = (0, 0, 0, 1)
4
o que mostra que a dimensão do espaço P3 é 4.
• A base canónica do espaço vectorial M(2×2) é dada por
("
1 0
0 0
# "
,
0 1
0 0
# "
,
0 0
1 0
# "
,
0 0
0 1
#)
o que é equivalente à base canónica do espaço R4 porque
"
"
1 0
0 0
0 0
1 0
#
#
−
⇒ →
e 1 = (1, 0, 0, 0) ,
−
⇒ →
e 3 = (0, 0, 1, 0) ,
"
"
0 1
0 0
0 0
0 1
#
#
−
⇒ →
e 2 = (0, 1, 0, 0)
−
⇒ →
e 4 = (0, 0, 0, 1)
o que mostra que a dimensão do espaço M(2×2) é 4.
• Determine a dimensão do subespaço S de R4, onde
S = {(x, y, z, w) : x − y − w = 0 e z + 2w = 0} .
Para determinar a dimensão do subespaço S é preciso parametrizar a de-
scrição do subespaço, isto é
⎧
⎪
⎨ x−y−w =0
⎪
⎩
logo
S =
=
=
=
z + 2w = 0
⇒
⎧
⎪
⎨ x=y+w
⎪
⎩ z = −2w
{(x, y, z, w) : x = y + w = 0 e z = −2w} =
{(y + w, y, −2w, w) : y, w ∈ R} =
{(y, y, 0, 0) + (w, 0, −2w, w) : y, w ∈ R} =
{y (1, 1, 0, 0) + w (1, 0, −2, 1) : y, w ∈ R} .
Portanto, definimos o subespaço S como o espaço gerado pelos vectores
{(1, 1, 0, 0) , (1, 0, −2, 1)} .
É fácil ver que estes dois vectores são linearmente independentes, logo
formam uma base de S, de onde vem que S é um subespaço vectorial de
dimensão 2 do espaço R4.