Espaços Vectoriais

Espaços Vectoriais
A – Conjunto não vazio
* – Operação definida sobre os elementos de A
(A,*) GRUPÓIDE  * é lei de composição interna
x*yA, x,yA
(A,*) SEMIGRUPO  (A,*) é grupóide * é associativa
(x*y)*z=x*(y*z), x,y,zA
(A,*) MONÓIDE  (A,*) é semigrupo * tem elemento neutro
eA : x*e=e*x=x, xA
(A,*) GRUPO  (A,*) é monóide e todos os elementos de A * têm
oposto relativamente a *
xA x'A : x*x'=x'*x=e
Espaços Vectoriais
A estrutura (A,*) diz-se ABELIANA ou COMUTATIVA se a
operação * for comutativa
x*y=y*x, x,yA
Espaços Vectoriais
A – Conjunto com mais do que um elemento
 – Operação aditiva
 – Operação multiplicativa
(A,) grupo comutativo
(A,,) ANEL  
(A,) semigrupo
 é distributiva relativamente a 

 é distributiva relativamente a 
x(yz)=(xy)(xz)
(xy)z=(xz)(yz), x,y,zA
O anel (A,,) diz-se comutativo se  for comutativa
Espaços Vectoriais
O elemento neutro de  (se existir) diz-se unidade do anel.
O elemento neutro de  diz-se zero do anel.
Propriedade: 0  1
(A,, ) anel com unidade
(A,,) CORPO  
(A\ 0 ,) grupo comutativo
Espaços Vectoriais
Exemplos de CORPOS:
- Conjunto dos números racionais
- Conjunto dos números reais
- Conjunto dos números complexos
...
Espaços Vectoriais
E – conjunto não vazio (conjunto dos vectores)
K – corpo (conjunto dos escalares)
Operações (em E):
Operações (em K):
- Adição de vectores
: EE  E
- Adição de escalares
:KK  K
 x, y   x  y
- Multiplicação de um escalar
por um vector
:KE  E
 , x     x
 ,      
- Multiplicação de escalares
: KK  K
 ,     
Espaços Vectoriais
E ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K
(E,) grupo comutativo
K x,yE : (xy)=(x)(y)
,K xE : (+)x=(x)(x)
,K xE : ()x=(x)
xE : 1x=x
Espaços Vectoriais
DEFINIÇÃO
E ESPAÇO VECTORIAL (ou ESPAÇO LINEAR) sobre o corpo K
( e  definidas como no slide 6)
EV1 x,y,zE : (xy)z=x(yz)
EV2 eE xE : xe=ex=x
EV3 xE x'E : xx'=x'x=e
EV4 x,yE : xy=yx
EV5 K x,yE : (xy)=(x)(y)
EV6 ,K xE : (+)x=(x)(x)
EV7 ,K xE : ()x=(x)
EV8 xE : 1x=x
Espaços Vectoriais
Se K =  , E diz-se um espaço vectorial real.
Se K =  , E diz-se um espaço vectorial complexo.
Os elementos de K dizem-se escalares.
Os elementos de E dizem-se vectores.
Espaços Vectoriais
Exemplos de ESPAÇOS VECTORIAIS:
é espaço vectorial real
n
  a1 ,a 2 ,...,a n  : a1 ,a 2 ,...,a n   é espaço vectorial real com
 a1 ,...,a n    b1 ,..., b n    a1  b1 ,...,a n  b n 
   a1 ,...,a n    a1 ,..., a n 
é espaço vectorial real e espaço vectorial complexo
Pn  polinómios reais de coeficientes reais de grau menor ou igual a n
P  polinómios reais de coeficientes reais
Qualquer corpo é espaço vectorial sobre si próprio.
Espaços Vectoriais
E espaço vectorial sobre o corpo K
 FE
F é SUBESPAÇO VECTORIAL de E
 Definição 
F é espaço vectorial com as operações induzidas
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TEOREMA
F (FE) é subespaço vectorial de E 
F fechado para as operações de adição e multiplicação por um escalar
 x, y  F  x  y  F
isto é, 
  K  x  F   x  F
COROLÁRIO
F (FE) é subespaço vectorial de E 
x,yF,K:x+yF
Espaços Vectoriais
E espaço vectorial sobre K
S parte não vazia de E
xE
x é COMBINAÇÃO LINEAR de elementos de S 
1 ,  2 ,...,  n  K x1 , x 2 ,..., x n  S : x  1x1   2 x 2  ...   n x n
n
x   i x i
i 1
Espaços Vectoriais
SE
L(S) (=span(S))
= conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S
n

L  S   i x i ;n  ,  i  K, x i  S
 i1

Por convenção, L()={0}
Observação:
Os elementos de S são um sistema de geradores de S
TEOREMA
L(S) é subespaço vectorial de E
Observação:
L(S) é o mais pequeno subespaço vectorial de E que contem S,
isto é, qualquer subespaço vectorial de E que contenha S também contem L(S)
Espaços Vectoriais
TEOREMA
Se F e G são dois subespaços vectoriais de um espaço vectorial E,
então FG é também um subespaço vectorial de E.
DEFINIÇÃO
Dados dois subespaços vectoriais F e G de um espaço vectorial E,
chama-se soma dos subespaços vectoriais F e G e representa-se
por F+G ao subconjunto de E constituído pelos vectores que são
soma de um vector de F e de um vector de G, isto é,
F  G  z  E : z  x  y com x  F e y  G
TEOREMA
Se F e G são subespaços vectoriais do espaço vectorial E, então
F+G é também um subespaço vectorial de E.
Espaços Vectoriais
DEFINIÇÃO
Sejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial E tais
que FG={0}. A soma de F e G designa-se por SOMA DIRECTA
de F e G e representa-se por FG.
Propriedade
Seja E=FG.
Qualquer elemento de E escreve-se de maneira única como soma
de um elemento de F com um elemento de G.
NOTA
Em geral, a reunião de subespaços vectoriais de um espaço
vectorial E não é um subespaço vectorial de E.
Espaços Vectoriais
DEFINIÇÃO
Uma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E diz-se
LINEARMENTE DEPENDENTE se for possível exprimir o vector
nulo (0E) como combinação linear não nula de elementos de S
(escalares não todos nulos).
S linearmente dependente
n
x1 , x 2 ,..., x n  S 1 ,  2 ,...,  n   K n \  0,0,...,0  :   i x i  0 E
i 1
Espaços Vectoriais
DEFINIÇÃO
Uma parte S (não vazia) de um espaço vectorial E que não seja
linearmente dependente diz-se LINEARMENTE INDEPENDENTE.
S linearmente independente
n
x1 , x 2 ,..., x n  S :   i x i  0 E  1   2  ...   n  0 K
i 1
Espaços Vectoriais
Exemplos
No espaço vectorial dos polinómios reais de coeficientes reais,
S  1, x, x 2 ,..., x n  é linearmente independente e
L  1, x, x 2 ,1  x,1  x 2  é linearmente dependente.
Espaços Vectoriais
Propriedades
Uma parte S não vazia de um espaço vectorial E é linearmente
dependente se e só se existe um vector em S que é combinação
linear dos restantes.
Se um subconjunto T de uma parte S de um espaço vectorial E for
linearmente dependente, então S também é linearmente
dependente.
Se uma parte S de um espaço vectorial E é linearmente
independente, o mesmo sucede a qualquer parte T de S.
Espaços Vectoriais
Propriedades (continuação)
Se uma parte S de um espaço vectorial E contém um elemento x e
o seu múltiplo escalar x, então S é linearmente dependente.
Um espaço vectorial E é sempre linearmente dependente.
Numa combinação linear de vectores linearmente independentes
os escalares são univocamente determinados, isto é,
se S  x1 , x 2 ,..., x n  é um conjunto de vectores linearmente
independentes,
1x1   2 x 2  ...   n x n  1x1   2 x 2  ...   n x n

1  1   2   2  ...   n   n
Espaços Vectoriais
TEOREMA
Seja X  x1 , x 2 ,..., x n  um conjunto de n vectores de um espaço
vectorial E.
Seja Y  y1 , y 2 ,..., y n , y n 1  L  X  .
Então Y é linearmente dependente.
TEOREMA
Seja, num espaço vectorial E, X  x1 ,..., x n  linearmente
independente e Y  y1 ,..., y n   L  X  também linearmente
independente.
Então L  Y   L  X  .
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DEFINIÇÃO
O espaço vectorial E é finitamente gerado, ou de DIMENSÃO
FINITA se existir um conjunto finito de vectores, X  x1 , x 2 ,..., x n 
tal que L  X   E .
DEFINIÇÃO
Um subconjunto S de E é uma BASE do espaço vectorial E se for
linearmente independente e gerar E.
DEFINIÇÃO
O espaço vectorial E é de DIMENSÃO INFINITA se não possuir
nenhum conjunto finito de geradores.
Espaços Vectoriais
TEOREMA
Seja E um espaço vectorial de dimensão finita.
Se S  x1 ,..., x n  é uma base de E, então toda a base de E tem n
vectores.
DEFINIÇÃO
Um espaço vectorial E≠0} de dimensão finita que tenha uma
base com n elementos (nN) diz-se de DIMENSÃO n.
Se E=0}, convenciona-se que a sua dimensão é 0.
NOTA
Para indicar a dimensão de um espaço vectorial E usa-se dim (E).
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TEOREMA
Seja E um espaço vectorial de dimensão finita tal que dim (E)=n,
nN.
I Se S é um subconjunto de E linearmente independente, então
existe uma base de E que contém S.
II Toda a parte linearmente independente de E constituída por n
vectores é uma base de E.
TEOREMA
Sejam F e G subespaços vectoriais do espaço vectorial E de
dimensão finita sobre o corpo K.
1) Se FG, então dim (F)  dim (G).
Se FG e dim (F) = dim (G), então F=G.
2) dim (F+G) + dim (FG) = dim (F) + dim (G).
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E  espaço vectorial
B   e1 ,e 2 ,...,e n   base ordenada de E
xE
Exprimindo x como combinação linear (única) dos vectores da base
ordenada, obtem-se
x  1e1   2e2  ...   n en
(*)
DEFINIÇÃO
O n-uplo  1 ,  2 ,...,  n  univocamente determinado para cada
vector xE pela condição (*) diz-se o n-uplo das
COORDENADAS de x na base ordenada B   e1 ,e 2 ,...,e n .