Folhas 21 a 23

Matemática II - 2004/05 - Oceanogra…a
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102. De…nem-se em R2 as seguintes operações:
(x1 ; x2 ) + (y1 ; y2 ) = (x1 + y1 ; x2 + y2 )
(x1 ; x2 ) = ( x1 ; 0)
8 (x1 ; x2 ) ; (y1 ; y2 ) 2 R2 ; 8 2 R.
Veri…que que, com estas operações, R2 não é um espaço vectorial real:
103. De…nem-se em R+ as seguintes operações:
x
y = x y (produto usual de números reais)
x=x
8x; y 2 R+ ; 8 2 R.
Veri…que que, com estas operações, R+ é um espaço vectorial sobre R:
104. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a…rmações:
(a) Qualquer espaço vectorial é um conjunto não vazio.
(b) A "soma" de…nida num espaço vectorial baseia-se sempre na soma de números
reais.
(c) O produto escalar de…nido num espaço vectorial baseia-se sempre no produto
de números reais.
(d) O produto de um escalar não nulo por um vector diferente do vector nulo pode
ser o vector nulo.
105. Prove que são espaços vectoriais, com as operações indicadas:
(a) Para m; n 2 N; o conjunto das matrizes de tipo m
usual e o produto escalar usual.
n; Mm
n
(R) ; com a soma
(b) Para n 2 N; o conjunto Rn = f(x1 ; x2 ; :::; xn ) : x1 ; x2 ; :::; xn 2 Rg com as seguintes
operações de soma e produto escalar:
8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) ; (y1 ; y2 ; :::; yn ) 2 Rn ; (x1 ; x2 ; :::; xn )+(y1 ; y2 ; :::; yn ) = (x1 + y1 ; :::; xn + yn ) :
8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Rn ; 8 2 R; (x1 ; x2 ; :::; xn ) = ( x1 ; x2 ; :::; xn ).
(c) O conjunto R [x] dos polinómios reais na indeterminada x; com a soma usual de
polinómios e o produto usual de um número real por um polinómio.
(d) O conjunto F (R) das funções reais de variável real, com as operações usuais de
soma de funções e de produto de um número real por uma função:
8f; g 2 F (R) ; (f + g) (x) = f (x) + g (x) :
8f 2 F (R) ; 8k 2 R; (kf ) (x) = kf (x) :
106. Seja V um espaço vectorial real. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada
uma das seguintes a…rmações:
(a) Um subespaço vectorial de V pode ser vazio.
(b) Um subespaço vectorial de V é um subconjunto não vazio de V; fechado para a
soma e para o produto escalar.
(c) Um subespaço vectorial de V pode ter um número …nito de elementos.
(d) Se um subespaço vectorial de V tem um elemento não nulo, então tem um
número in…nito de elementos.
(e) A intersecção de dois subespaços vectoriais do mesmo espaço vectorial pode ser
o conjunto vazio.
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107. Mostre cada uma das seguintes a…rmações
(a) Seja A uma matriz real de tipo m n. O conjunto F = fX 2 Mn 1 (R) : AX = 0g
(núcleo ou espaço nulo da matriz A) formado pelas soluções do sistema homogéneo. AX = 0 é um subespaço vectorial de Mn 1 (R) (ou de Rn ).
(b) Se A é uma matriz real de tipo m n, o conjunto de soluções de um sistema
de equações AX = B; não homogéneo (B 6= 0), nunca é subespaço vectorial de
Mn 1 (R) :
(c) O conjunto F = fA 2 M3
de M3 3 (R) :
3
(R) : A é triangular inferiorg é subespaço vectorial
(d) O conjunto F = ff 2 F (R) : f é contínuag é subespaço vectorial de F (R) :
n
P
(e) O conjunto Rn [x] =
ai xi jai 2 R; i = 0; :::; n: ; dos polinómios reais na ini=0
determinada x com grau menor ou igual a n é subespaço vectorial de Rn [x] :
(f) O conjunto F = f(x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 : x21
R3 :
x2 = 0g não é subespaço vectorial de
108. Diga, em cada caso, quais dos seguintes conjuntos são subespaços vectoriais dos
espaços indicados:
(a) F1 = f(a1 ; a2 ; a3 ) 2 R3 : a1 + a3 = 0g de R3 .
(b) F2 = f(a1 ; a2 ; a3 ) 2 R3 : a2
0g de R3 .
(c) F3 = f(a1 ; a2 ; a3 ) 2 R3 : ja1 j = ja3 jg de R3 .
(d) F4 = f(0; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 1; 0)g de R3 .
(e) F5 = f(
; 0; ; ) 2 R5 : ; ;
;
2 Rg de R5 .
(f) F6 = f(a1 ; a2; a3 ) 2 R3 : a1 ; a3 2 Q e a2 2 Rg de R3 .
(g) F7 = fp (x) 2 R [x] : p (0) = 1g de R [x].
(h) F8 = fa0 + a1 x + a2 x2 2 R2 [x] : 2a0
3a1 + 5a2 = 0g de R2 [x].
(i) F9 = fp (x) 2 R3 [x] : 2p (0) = p (1)g de R3 [x].
109. Seja V um espaço vectorial real, u; v 2 V e F
ou falsa cada uma das a…rmações seguintes:
(a) Se u 2 F; então
V: Diga, justi…cando, se é verdadeira
u 2 F:
(b) Se u; v 2 F; então u
v 2 F:
(c) Se u + v 2 F; então u 2 F e v 2 F:
(d) Se u + v 2 F e u 2 F então v 2 F:
(e) Se, para todo o
(f) Se existe
(g) Se existe
2 R; u 2 F; então u 2 F:
2 R; tal que u 2 F; então u 2 F:
2 R n f0g ; tal que u 2 F; então u 2 F:
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110. Em cada alínea, determine o vector v que é combinação linear dos vectores indicados,
com coe…cientes 1 = 2; 2 = 1; 3 = 3 :
(a) v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (1; 1; 0) ; v3 = (1; 0; 0) :
(b) v1 = x2 + 2; v2 = 2x2 + 3x + 1; v3 =
x + 1.
(c) v1 = (1; 1) ; v2 = (1; 1) ; v3 = (1; 0)
111. Considere o vector (2; 3; 2) em R3 : Se possível, escreva-o como combinação linear dos
seguintes vectores indicando, em cada caso possível, os coe…cientes da combinação
linear:
(a) v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (1; 1; 0) ; v3 = (1; 0; 0) :
(b) v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (1; 1; 1) ; v3 = (0; 0; 1) :
(c) v1 = (1; 0; 0) ; v2 = (0; 1; 0) ; v3 = (0; 0; 1) :
112. Se possível dê exemplos de:
(a) Um vector que seja combinação linear de (2; 1; 0) e (1; 0; 1) :
(b) Um vector que não seja combinação linear de (2; 1; 0) e (1; 0; 1) :
(c) Um vector de R2 que conjuntamente com (1; 1) forme um sistema de vectores
linearmente independente.
(d) Um vector de R2 que conjuntamente com (1; 1) forme um sistema de vectores
linearmente dependente.
(e) Um vector de R3 que conjuntamente com (0; 0; 0) forme um sistema linearmente
independente.
113. Veri…que que qualquer vector (a1 ; a2 ; a3 ) 2 R3 se pode exprimir como combinação
linear de v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (1; 1; 0) ; v3 = (1; 0; 0) :
114. Veri…que se são independentes os seguintes sistemas de vectores, nos espaços indicados:
(a) ((1; 1) ; (2; 1) ; ( ; 0)) em R2 :
(b) ((1; 0) ; (2; 1)) em R2 :
(c) f(1; 2) ; ( 2; 0) ; ( 1; 2)g em R2 :
(d) f(1; 2; 3) ; ( 2; 4; 6)g em R3 :
(e) ((1; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (1; 0; 0)) em R3 :
(f) ((1; 2; 3) ; (0; 2; 3) ; (0; 0; 3)) em R3 :
(g) f(1; 5; 2; 1) ; ( 0:5; 2:5; 1; 0:5) ; (1; 2; 3; 4) ; ( 1; 1; 0; 1)g em R4 :
(h) f(2; 0; 0; 0) ; (0; 3; 0; 0) ; (0; 0; 5; 0) ; (0; 0; 0; 3521)g em R4 :
(i)
1; ; 7;
R4 :
4
7
; (21; 1; 0; e) ; (0; 0; 0; 0) ; (2; 12; 43; 76) ;
2
; 1; 1; 103
3
em