27/03/2012

Problemas
27/03/2012
Problema 1
Duas pessoas puxam cordas horizontais ligadas a um barco que tem massa de 200 kg da maneira mais forte que
podem. Se elas puxam na mesma direção, o barco tem aceleração de 1,52 m/s² para a direita. Se elas puxam
em direções opostas, o barco tem aceleração de 0,518 m/s² para a esquerda. Qual é a força exercida por cada
pessoa sobre o barco? (Despreze quaisquer outras forças horizontais sobre o barco)
Solução
Denominaremos F1 e F2 os módulos das forças exercidas por cada uma das pessoas. Pela segunda Lei de
Newton, quando as duas pessoas puxam o barco na mesma direção, temos:
FR = m · a
⇒
F1 + F2 = m · am
⇒
F1 + F2 = 200 · 1, 52 = 304
De forma semelhante, quando elas puxam o barco em direções opostas, temos:
FR = m · a
⇒
F1 − F2 = m · ao
⇒
F1 − F2 = 200 · (−0, 518) = −103, 6
Somando as duas equações, temos:
2 · F1 = 304 − 103, 6 = 200, 4
⇒
F1 = 100, 2N
Substituindo em uma das equações para obter a outra força:
F1 + F2 = 304
⇒
F2 = 304 − F1 = 304 − 100, 2
⇒
F2 = 203, 8N
Sendo que F1 corresponde à pessoa que estava puxando para a direita e F2 à pessoa que estava puxando
para a esquerda na situação em que elas puxam em direções opostas.
Problema 2
Um projétil é lançado em direção a um plano inclinado (ângulo de inclinação φ) com uma velocidade escalar
inicial vi a um ângulo θi com relação à horizontal (θi > φ). (a) Mostre que o projétil viaja a uma distância d
ao longo do plano inclinado, em que
d=
2vi2 cos θi sin (θi − φ)
g cos2 φ
(b) Para qual valor de θi é máxima a distância d, e qual é esse valor máximo?
trajetória
1
Solução
(a)
Considere a origem do sistema de coordenadas no ponto do qual o projétil é lançado.
Primeiramente, escrevemos a equação da reta yR (x) que descreve a superfície do plano inclinado:
tan φ =
yR
x
⇒
yR = x · tan φ
Em seguida, encontramos a equação yT (x) da trajetória do projétil:
x = vi cos θi · t
yT = vi sin θi · t −
gt2
2
Isolando t na primeira equação e substituindo na segunda:
t=
yT =
vi sin θi · x g
x2
−
vi cos θi
2 vi2 cos2 θi
x
vi cos θi
⇒
yT = x · tan θi − x2 ·
g
2vi2 cos2 θi
Para que o projétil colida com o plano inclinado, é necessário que yR = yT em um mesmo x:
x · tan φ = x · tan θi − x2 ·
⇒
yR = yT
g
2vi2 cos2 θi
g
cos2 θi
g
0 = x · (tan θi − tan φ) − x · 2
2vi cos2 θi
0 = x · (tan θi − tan φ) − x2 ·
2vi2
Além da solução trivial x = 0 (quando o projétil está na origem, na base do plano inclinado), a outra solução
para a equação acima é:
(tan θi − tan φ) − x ·
x=
g
=0
2vi2 cos2 θi
2vi2 cos2 θi
(tan θi − tan φ)
g
Mas, observando o triângulo-retângulo formado pelo plano inclinado, sabemos que cos φ =
podemos determinar d:
x
2v 2 cos2 θi
= i
(tan θi − tan φ)
cos φ
g cos φ
2vi2 cos2 θi sin θi
sin φ
2vi2 cos θi
d=
cos
φ
−
cos
φ
=
(sin θi cos φ − sin φ cos θi )
g cos2 φ
cos θi
cos φ
g cos2 φ
d=
d=
2vi2 cos θi sin (θi − φ)
g cos2 φ
2
x
d.
Assim,
(b)
A distância é máxima quando a derivada é zero ( dθdi d = 0):
d
2vi2
d=
[− sin θi sin (θi − φ) + cos θi cos (θi − φ)] = 0
dθi
g cos2 φ
cos θi cos (θi − φ) − sin θi sin (θi − φ) = 0
cos [θi + (θi − φ)] = 0
θi =
⇒
2θi − φ =
π
2
π φ
+
4
2
Substituindo na expressão para d, obtemos a distância máxima:
d=
2vi2 cos
π
4
+
φ
2
sin
g cos2 φ
vi2
d=
g cos2 φ
π
4
−
φ
2
2vi2
=
g cos2 φ
π
φ
π
φ
cos cos − sin sin
4
2
4
2
π
φ
π
φ
sin cos − cos sin
4
2
4
2
2
vi2
φ
φ
φ
φ
2 φ
2 φ
=
cos − sin
cos
− 2 cos sin + sin
2
2
g cos2 φ
2
2
2
2
d=
vi2
(1 − sin φ)
g cos2 φ
Citações
Os problemas foram baseados em trechos do livro Princípios de Física, de Raymond A. Serway e John W.
Jewett, Jr., sendo utilizados aqui somente para ns de estudo, crítica ou polêmica.
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