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Integração por Substituição Trigonométrica
Prof. Doherty Andrade
I. Integrar é uma técnica, assim como derivar. Existem muitas técnicas de integração:
integração por substituição, integração por partes, integração por frações parciais,
integração por substituição trigonométrica. Todas bem simples, é só pegar o jeito.
Continuando veremos a integração por substituição trigonométrica. Usada quando o
integrando contém uma das seguintes formas
a2 − b2 x2 ,
a2 + b2 x2 e
b2 x 2 − a2 .
Vejamos alguns exemplos:
a
sin u
b
a
(b) ∫ a 2 + b 2 x 2 dx faça a substituição x = tan u
b
a
2 2
2
(c) ∫ b x − a dx faça a substituição x = sec u
b
Fazendo essas substituições obteremos integrais na variável u .A expressão da integral
na variável original x pode ser obtida por meio do auxílio de um triângulo retângulo.
Como se faz?
(a)
∫
a 2 − b 2 x 2 dx faça a substituição x =
II. Exemplo: Calcule a integral ∫ 1 − x 2 dx fazendo a substituição x = sin u .
∫
1 − x 2 dx = ∫ 1 − sin 2 u cos u du = ∫ cos 2 u du = ∫
1 + cos(2u )
1
1
du = u + sin(2u )
2
2
4
Ou seja,
∫
1 − x 2 dx =
1
1
1
1
1
1
u + sin(2u ) = u + 2sin(u ) cos(u ) = u + sin(u ) cos(u )
2
4
2
4
2
2
Voltando a variável original: faça um triângulo indicando a substituição trigonométrica
realizada
Do triangulo vemos que cos u = 1 − x 2 e como x = sin u . Assim
temos
1
1
2
2
∫ 1 − x dx = 2 arcsin x + 2 x 1 − x .
2
III. Algumas observações (relembrando as funções trigonométricas)
1. Definições
sin( x)
cos( x)
cos( x)
1
cot( x) =
=
sin( x) tan( x)
1
cos( x)
1
csc( x) =
sin( x)
tan( x ) =
2. Identidades trigonométricas
sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1
sec( x ) =
cot 2 ( x) + 1 = csc2 ( x)
tan 2 ( x) + 1 = sec 2 ( x)
3. Soma de arcos
sin( x ± y ) = sin( x) cos( y ) ± cos( x) sin( y )
cos( x ± y ) = cos( x) cos( y ) ∓ sin( x) sin( y )
4. Arco duplo
cos(2 x) = 1 − 2sin 2 ( x)
5. Arco metade
6. Derivadas da funções trigonométricas
tan( x ± y ) =
tan( x) ± tan( y )
1 ∓ tan( x) tan( y )
3
7. Tabela de conversão
No cálculo de integrais por substituição trigonométrica utilizamos o auxílio do
triângulo retângulo para expressar a integral na variável original. Mas podemos
utilizar a tabela abaixo para realizar a mesma tarefa. Esta tabela é usada para
responder a seguinte pergunta: dado funções trigonométricas φ e ψ, o que é
φ(arcψ(x))? Vejamos como funciona.
Tabela de conversão
φ/ψ
Seno
Cosseno
Tangente
Cossecante
Secante
Seno
Cosseno
Tangente
Cossecante
Secante
Cotangente
Esta pergunta pode ser respondida seguindo os seguintes passos.
1. Determine uma equação que relacione φ(u) e ψ(u): Por exemplo,
2. Faça u = arc ψ(x), então:
Cotangente
4
3. Resolva esta equação para φ(arcψ(x)).
Exemplo. O que é cot(arccsc(x))?
1. Sabemos que essas funções estão relacionadas por
.
2. Fazendo u = arccsc(x):
,
.
3. Resolva esta equação para cot(arccsc(x)):
Esta expressão está na quarta coluna da tabela.
IV. Exercícios :Calcule as integrais e utilize a tabela para exprimir a integral na
variável x.
(a)
∫
a 2 − b 2 x 2 dx substituição x =
a
sin u
b
a
tan u
b
a
(c) ∫ b 2 x 2 − a 2 dx substituição x = sec u
b
1
dx substituição x = 2 tan(u )
(d) ∫
x2 4 + x2
x2
(e) ∫
dx substituição x = 2sec(u )
x2 − 4
(b)
∫
a 2 + b 2 x 2 d substituição x =