Gabarito da terceira prova

FÍSICA III - FGE211
1a Prova
1) Dada as equações de maxwell no vácuo, diga qual lei este a associada a cada uma das
equações.
Respostas:
~ =0
~ ·B
∇
~ = ρ/0
~ ·E
∇
~
~ = − ∂B
~ ×E
∇
∂t
~ =
~ ×B
∇
µ0~j
|{z}
Lei de Ampere
Inexistência de monopolos magneticos
Lei de Gauss
Lei de Faraday
+
~
∂E
µ0 0
| {z∂t}
Lei de Ampere-Maxwell
Contribuicao de Maxwell
2) Um fio de massa m, comprimento l e resistência R escorrega sem atrito, apoiado em dois
fios metálicos paralelos de resistência desprezı́vel, inclinados de um ângulo θ em relação à
horizontal. Sabendo que toda a região está imersa em um campo magnético vertical e uniforme
~ mostre que o fio adquire uma velocidade terminal constante dada por:
B,
v=
mgR sin θ
B 2 l2 cos2 θ
Resposta:
Como o fio escorrega, há uma variação de ΦB que induz uma fem no circuito de acordo com a relação:
ε=−
dΦB
dt
Como o fluxo diminui, já que a área do circuito diminui, a corrente induzida terá sentido anti-horário.
Como existe B e i, haverá força magnética sobre o fio:
~
Fm = i~l × B,
cuja direção é horizontal para a esquerda (vide figura da prova).
O fluxo magnético é dado por
Z
~ · n̂dA = B cos θlx,
ΦB = B
portanto
|ε| = Bl cos θ
dx
= Bl cos θv,
dt
o que implica em
i=
Bl cos θv
.
R
Como Fm = ilB chegamos a
B 2 l2 v cos θ
R
Assim, aplicando a segunda lei de Newton, obtemos que
Fm =
m
dv
= Fm cos θ − P sin θ,
dt
1
onde P = mg é a força peso.
Quando dv/dt = 0 temos então que
Fm cos θ = P sin θ,
ou seja,
B 2 l2 cos2 θv
= mg sin θ,
R
o que finalmente nos leva a
v=
mgR sin θ
B 2 l2 cos2 θ
3) Considere um solenóide longo, de comprimento h e raio a com n espiras por unidade de
comprimento, nas quais circula uma corrente estacionária i. Se o interior do solenóide está
preenchido com um material de susceptibilidade magnética χM , calcule:
~ B
~ e M.
~
a) Os campos H,
b) A indutância do solenóide.
c) As densidades de corrente de magnetização.
d) A corrente de magnetização.
Respostas:
a)
I
Como a corrente é estacionária,
Então
~
∂D
/∂t
~
~ · d~l = ic + ∂ D
H
∂t
~
~ = H(r) onde r é a distância ao eixo.
= 0. Por simetria H//Oz
e |H|
I
~ · d~l = Hl = nli,
H
o que leva a
~ = nik̂.
H
~ = µH
~ conclui-se que
Como B
B = µ0 (1 + χM )nik̂.
~ = χM H
~ conclui-se também que
Além disso, como M
~ = χM nik̂
M
b)
L=
dΦB
.
dt
O fluxo através de uma espira é
Φesp
B =
Z
~ · n̂dA = Bπa2
B
E portanto, o fluxo através de todo o solenóide é
esp
2
2
Φsol
B = nhΦB = µn hπa i
Assim
L = µn2 hπa2
c)
~jM = ∇
~ = 0 → M constante
~ ×M
~JM = M
~ × n̂ = χM ni(k̂ × ˆρ ) = χM niˆ
φ
Nas tampas n̂ = k̂ e portanto ~JM = 0.
2
d)
I
~ · d~l = M h = χM nih
M
iM =
Como nh é o número de espiras no solenóide, iM /sol = χM i.
4) Considere um capacitor de placas planas paralelas com placas circulares de raio λ separadas
por uma distância h, no processo de carga. Se o espaço entre as placas está preenchido por
um material de constante dielétrica K e susceptibilidade magnética χM calcule, para pontos
~ D,
~ P,
~ σP , H,
~ B
~ e iM .
internos ao capacitor, E,
Respostas:
I
~ · n̂dA = Qint .
D
~
Por simetria D//Oz
e o seu módulo só depende da distância até a placa. Além disso, fora do capacitor
~
D = 0. Assim, dentro temos que
I
~ · n̂dA = DA = Qint = σA,
D
o que implica que
~ = σ k̂,
D
onde σ = Q/πλ2 .
O campo elétrico é:
~
~ = D = σ k̂
E
K0
E a polarização:
~ =D
~ − 0 E
~ = σ k̂ − σ k̂ = σ (K − 1) k̂
P
K
K
Com isso, a densidade superficial de carga é:
~ · n̂ = ±σ (K − 1) ,
σP = P
K
nas tampas do material.
Pela lei de Ampere-Maxwell
I
~
~ · d~l = ic + ∂ D
H
∂t
~ é tangente a cı́rculos com centro no eixo do capacitor e |H|
~ = H(r). Assim
Por simetria, H
H2πr =
∂ΦD
,
∂t
onde
ΦD = Dπr2 = σπr2 .
Assim
H=
Como σ =
Q
πλ2
temos que dσ/dt = i/πλ2 . Portanto
~ =
H
Com isso
r ∂σ
2 ∂t
ir
ˆφ .
2πλ2
~ = µH
~ = µ0 (1 + χM )ir ˆφ ,
B
2πλ2
3
e também
~ = χM H
~ = χM ir ˆφ .
M
2πλ2
Finalmente, como
I
iM =
~ · d~l
M
Fazendo que dl = λdθ concluimos que
iM = χM i
4