PAFE 1sem 0

1) O litotriptor é formado pela rotação de uma elipse do eixo menor em volta do eixo
maior. Se um ultra-som é colocado em um dos focos da elipse e um cálculo renal é
colocado no outro foco, então todas as ondas de som emitidas pelo litotriptor atingirão o
cálculo renal. Qual a distância entre o cálculo renal e o ponto V? Dar a resposta com uma
casa decimal.
(valor 1,0)
metade do eixo maior 16
metade do eixo menor 10
16
10
c
162 = 102 + c2
c = 156
c 12,5
distância = 12,5 + 16 = 28,5
2
2) A equação 9 x  16 y 2  100 representa uma elipse:
a) faça um esboço da elipse; (valor 0,5)
b) inscreva um quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e calcule sua área.













9m2 + 16m2 = 100
m=2
Área = 4.4 16 u.a.




3) Determine qual dos subconjuntos seguintes de R2 são subespaços. (valor 1,0)
OBS. Não pode haver rasura
(a) ( ) Sim ( X )Não
(b) ( X ) Sim ( )Não
(c) ( ) Sim ( X )Não
(d) ( ) Sim ( X )Não
4) Seja P1 o espaço vetorial dos polinômios de grau  1. Definimos o produto interno entre
 p(t )  at  b
dois vetores p e q de P1 como segue: p.q  2ac  ad  bc  2bd , sendo 
q(t )  ct  d
Calcular o ângulo entre t 1 e 3t .
(valor 1,5)
p.q = 2.1.3 + 1.0 + (-1).3 + 2.(-1).0 = 6 + 0 – 3 + 0 = 3
p
p. p  2.1.1  1.(1)  (1).1  2.(1).(1)  2
q  q.q  2.3.3  3.0  0.3  2.0.0  18  3 2
cos  
3
1
1
 cos      arccos    60o
2
2
2.3 2
 = 60o
5) A figura abaixo representa uma transformação. Para T ser linear devem ser satisfeitas as
condições abaixo. Verifique se T é linear (valor 1,0)
(a0, a1, a2, a3)
a) T(u+v) = T(u) + T(v)
u = ao + a1t + a2t2 + a3t3 v = bo + b1t + b2t2 + b3t3
T(u+v) = T (ao + bo + (a1 + b1)t + (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3) = (ao + bo, a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
T(u) + T(v) = (ao , a1 , a2 , a3) + (bo , b1 , b2 , b3) = (ao + bo, a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
b) T(  u) =  T(u)
T(  u) = T(  (ao + a1t + a2t2 + a3t3 )) = T(  ao +  (a1t) +  (a2t2) +  (a3t3)) =
(  ao ,  a1,  a2,  a3)
 T(u) =  (ao , a1 , a2 , a3) = (  ao ,  a1,  a2,  a3)
Sim, T é linear
6) Suponha que as transformações lineares T1: P2  P2 e T2 : P2  P3 são dadas pelas
fórmulas T1(p(x)) = p(x+1) e T2(p(x)) = xp(x). Encontre (T2
T1) (a0 + a1x + a2x2)
(valor 1,0)
(T2 T1) (a0 + a1x + a2x2)= T2(T1 (a0 + a1x + a2x2)) = T2(a0 + a1(x+1) + a2(x+1)2) =
x . (a0 + a1(x+1) + a2(x+1)2) = (a0 + a1 + a2) x+ (a1 + 2a2)x2 + a2 x3
7) Seja T: R4  R3 a transformação linear dada pela fórmula:
T(x,y,z,w) = (4x + y – 2z - 3w, 2x + y + z – 4w, 6x – 9z + 9w). Pedem-se
a) uma base e a dimensão de N(T).
(valor 0,75)
4 x  y  2 z  3w  0

2 x  y  z  4w  0
6 x
 9 z  9w  0

2 x  y  z  4 w  0

4 x  y  2 z  3w  0
6 x
 9 z  9w  0

2 x  y  z  4 w  0

  y  4 z  5w  0
  3 y  12 z  21w  0

2 x  y  z  4 w  0

  y  4 z  5w  0

6w  0

w = 0 , y = -4z e x =
base de N(T) = {(
3
3
z N(T) = { (x, y, z, w) / x = z , y = -4z e w = 0}
2
2
3
, -4, 1, 0)}
2
dimN(T) = 1
b) uma base e a dimensão da Im(T)
(valor 0,75)
x(4,2,6) + y(1,1,0) + z(-2,1,-9) + w(-3,-4,9)
 1 1 0  1 1 0  1 1

 
 
 4 2 6   0 2 6   0 1
 2 1 9   0 3 9   0 1

 
 
 3 4 9   0 1 9   0 0
0

3
9

0 
1 1 0


 0 1 3 
0 0 6


base Im(T)= { (1,1,0), (0, -1, 3), (0,0,1)} dimIm(T) = 3
8) O Gato Arnold sofreu algumas transformações lineares do plano ladrilhado tendo como
transformação final a lei, T(x,y) = ( x + y, x + 2y). A cada transformação do gato Arnold
o(s) autovalor(es) justificam o(s) movimento(s) do(s) autovetor(es).Ache o(s) autovalor(es),
o(s) autovetor(es) associado(s) e identifique o(s) movimento(s) adequadamente. (valor 1,5)
T(x,y) =  (x,y)
(x+y, x+2y) = (  x,  y)
x+y= x
x + 2y =  y
1 
1
x- x +y=0
x + 2y -  y = 0
1
 0  (1   ).(2   )  1  0
2
 2  3  1  0
1  2,6
dilatação na direção do vetor
2  0, 4
contração na direção do vetor
(1 -  )x + y = 0
x + (2 -  )y = 0