Em resumo

UNIDADE V I
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
CA P Í T U LO
Em resumo
18 Matrizes
Definição de matriz
Matriz simétrica
Uma matriz A do tipo m × n é uma tabela numérica com
m ⋅ n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Cada elemento de uma matriz pode ser representado por uma letra
minúscula acompanhada de dois índices, sendo o primeiro
para indicar a linha e o segundo, a coluna.
Chama-se matriz simétrica a matriz quadrada A de ordem n em que A = At .
Matriz quadrada
( )
A matriz A = aij
Igualdade e desigualdade de matrizes
( )
( )
Dadas as matrizes A = aij e B = bij do tipo m × n, temos:
• A = B ⇒ aij = bij , com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n
m× n
é quadrada quando m = n. Nesse tipo
de matriz, os elementos aij , em que i = j, formam a diagonal
principal. Os elementos aij , em que i + j = n + 1, formam a
diagonal secundária.
( )
Uma matriz quadrada A = aij
como:
pode ser classificada
•matriz triangular
Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal
principal são todos nulos. Nesse tipo de matriz, aij = 0
para i < j ou aij = 0 para i > j.
•matriz diagonal
Quando os elementos acima e abaixo da diagonal
principal são todos nulos. Nesse tipo de matriz, aij = 0
para i ≠ j .
•matriz identidade
Quando os elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1 e os demais elementos, iguais a 0. Nesse
• A ≠ B se existir pelo menos um elemento aij tal que
aij ≠ bij , com 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n
Adição de matrizes
( )
( )
Sejam A = aij e B = bij matrizes do tipo m × n. A soma
dessas matrizes, representada por A + B, é dada pela matriz
( )
C = cij
m× n
, tal que cij = aij + bij , 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n.
Matriz oposta
Denomina-se matriz oposta de A, indicada por − A,
aquela que, adicionada com A, resulta em uma matriz nula
de mesma ordem, isto é, A + ( − A) = 0.
Propriedades da adição de matrizes
Na adição das matrizes A, B e C de mesma ordem, temos as seguintes propriedades:
•associativa: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
•comutativa: A + B = B + A
tipo de matriz, aij = 0 para i ≠ j e aij = 1 para i = j . A
•elemento neutro: A + 0 = A
matriz identidade de ordem n é indicada por In.
Nesse caso, 0 representa a matriz nula de mesma ordem que A.
Matriz nula
Chamamos matriz nula aquela em que todos os elementos são iguais a zero.
Matriz linha e matriz coluna
•Uma matriz que tem apenas uma linha recebe o nome
de matriz linha.
•Uma matriz que tem apenas uma coluna recebe o
nome de matriz coluna.
•elemento oposto: A + ( − A) = 0
Nesse caso − A é a matriz oposta de A e 0 é a matriz
nula de mesma ordem que A.
Subtração de matrizes
( )
( )
Sejam A = aij e B = bij matrizes do tipo m × n. A diferença entre elas, representada por A − B, é dada pela matriz
( )
C = cij
m× n
, tal que cij = aij − bij , 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n.
Multiplicação de um número real por uma matriz
Matriz transposta
( )
Chama-se matriz transposta de uma matriz A = aij
m× n
de ordem m × n aquela em que cada linha é, ordenadamente, igual a cada coluna de A. A matriz obtida de ordem
n × m é a transposta de A, indicada por At.
( )
Sejam a matriz A = aij de ordem m × n e um número
real k. Ao multiplicarmos k pela matriz A, obtemos a matriz
B de ordem m × n, tal que B = k ⋅ A e bij = k ⋅ aij , 1≤ i ≤ m e
1≤ j ≤ n.
MATEMÁTICA – CIÊNCIA E LINGUAGEM - Jackson Ribeiro
Multiplicação de matriz por matriz
•distributiva à esquerda: dadas as matrizes Am× n , Bn× p e
( )
( )
do tipo n × p, o produto de A por B é a matriz C = ( c ) do
Dada a matriz A = aij do tipo m × n e a matriz B = bij
ij
tipo m × p, em que cada elemento cij é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, tomados ordenadamente. Indicamos o produto
dessas matrizes por A ⋅ B ou AB.
O produto A ⋅ B de duas matrizes só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
Dessa forma, a matriz C terá o mesmo número de linhas de
A e o mesmo número de colunas de B.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Na multiplicação de matrizes, temos as seguintes propriedades:
•associativa: dadas as matrizes Am× n , Bn× p e C p× r , temos
( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C )
Cn× p , temos A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
•distributiva à direita: dadas as matrizes Am× n, Bm× n e
Cn× p , temos ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C
•elemento neutro: se Am× n , temos Im ⋅ A = A e A ⋅ In = A
•dadas as matrizes Am× n, Bn× p e o número k ∈, temos
( k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ ( k ⋅ B ) = k ⋅ ( A ⋅ B ) ;
•dadas as matrizes Am× n e Bn× p , temos ( A ⋅ B ) = Bt ⋅ At
t
Matriz inversa
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
Se A ⋅ B = B ⋅ A = In , dizemos que A é invertível e B é a
matriz inversa de A.
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