Exercícios_de_complexos_ revisão

Exercícios Resolvidos
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z1|= (x2 + 20)1/2 = |z2| = [(x-2)2 + 36]1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
|z|= (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2( cos 315º + i sen 315º )
Exercícios por assunto
A) ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E IGUALDADE
1. O produto ( 5 + 7 i ) . ( 3 - 2 i ) vale:
a.
b.
c.
d.
e.
1 + 11i
1 + 31i
29 + 11i X
29 - 11i
29 + 31i
2. O número complexo z = x + ( x2 - 4 ) i é real se, e somente se:
a.
b.
c.
d.
e.
x 0
x= 2X
x
2
x 0ex
x=0
2
3. Qual é o valor de m, real, para que o produto ( 2 + m i ) . ( 3 + i ) seja um
imaginário puro ?
a.
b.
c.
d.
e.
5
6X
7
8
10
4. O produto ( x + y i ) . ( 2 + 3 i ) é um número real, quando x e y são reais e:
a.
b.
c.
d.
e.
x - 3y = 0
2y - 3x = 0
2x + 2y = 0
2x + 3y = 0
3x + 2y = 0 X
5. Sejam os números complexos z1= 2x + 3 i e z2= 2 + y i, onde x e y são
números reais. Se z1=z2, então o produto x . y é:
a.
b.
c.
d.
e.
6
4
3X
-3
-6
6. O produto ( 1 - i ) . ( x + 2 i ) será um número real quando x for:
a.
b.
c.
d.
e.
-2
-1
0
1
2X
7. Se z = 2 + 2 i é um número complexo, então w = z + z i é:
a.
b.
c.
d.
e.
4iX
4-4i
4
-4+4i
4+4i
8. Para que o número z = ( x - 2 i ) . ( 2 + x i ) seja real, devemos ter: ( x
a.
b.
c.
d.
e.
x=0
x = 1/2
x= 2X
x= 4
nda
9. Se f(z) = z2 - z + 1 então f ( 1 - i ) é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
i
-i+1
i-1
i+1
-i X
10. Se o número complexo z é
a.
b.
c.
d. 1
X
então z2 é:
IR )
e. -1
11. Os números reais x e y que satisfazem a equação 2x + ( y -3) i = 3y - 4 x i são
tais que:
a. x + y = 7
b. x - y = 3/14 X
c. x.y = 10
d.
e. yx = 32
12. Determinando-se os valores reais de m e n de modo que se tenha 2 ( m - n ) +
i ( m + n ) - i = 0 pode-se afirmar que a soma de m e n é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
-1
0X
1
2
3
13. Sejam os números complexos z1 e z2 , onde z2 = 3 i e z1 . z2 = -9 + 6 i . Então
z1 + z2 vale:
a.
b.
c.
d.
e.
2+6i
2-6iX
-3 + 3 i
-3 - 3 i
9i
14. Sejam os números complexos w = ( x - 1 ) + 2 i e v = 2x + ( y -3 ) i, onde x, y
IR. Se w = v, então:
a.
b.
c.
d.
e.
x
x
x
x
y
+y=4
.y=5X
- y = -4
= 2y
= 2x
15. O número complexo z que satisfaz a igualdade ( 2 + i ) z + 7 + 5 i = 8 - 3 i é:
a.
b.
c.
d.
e.
X
16. Se o número complexo 2 + i é uma das raízes da equação x 2 + kx + t = 0,
sendo k e t números reais, então o valor de k + t é:
a.
b.
c.
d.
e.
-2
-1
0
2
1X
B) CONJUGADO, DIVISÃO E POTÊNCIAS
1. A forma mais simples do número complexo
a.
b.
c.
d.
e.
é:
-i X
-1 - i
1+i
-1 + i
0
2. O valor de i1996 é de:
a.
b.
c.
d.
e.
1X
-1
i
-i
499
3. Dado o número complexo z = 3 - 4i, então (z)-1 vale:
a. 3 + 4i
b. -3 - 4i
c.
d.
X
e.
4. Se o número complexo z é tal que z = i 45 + i28 então z é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
1-i
1+iX
-1 + i
-1 - i
i
5. O conjugado de
a.
b.
c.
d.
e.
1 - 2i
1 + 2i
1 + 3i
-1 + 2i X
2-i
6. Se z = 4 + 2i, então
a.
b.
c.
d.
e.
vale:
vale:
6+i
1 + 8i
-8 + 8i X
1 - 8i
12 + 6i
7. Se o número complexo z é tal que z = 3 - 2i, então (
a.
b.
c.
d.
e.
)2 é igual a:
5
5 - 6i
5 + 12i X
9 + 4i
13 + 12i
8. Considere os números complexos z = 2 - i e
complexo conjugado de w :
. Então, se
a. z = - w
b. z =
c. z = d. z = 1/w
e. z = w X
9. O conjugado do número complexo
a.
b.
c.
d.
e.
, é:
1-iX
-1 - i
-1 + i
-i
i
10. Seja
a. 6i/5 X
b. i/20
c. 2i/15
, onde i2 = -1 , então z é igual a:
indica o
d. 0
e. 5i
11. Se
a.
b.
c.
d.
e.
, então z +
+ z . vale:
0X
1
-1
-1/2
1/2
12. Sabendo que i =
e que n = i + i2 + i3 + ... + i78, então :
a. n = 0
b.
c.
d. n = i - 1 X
e. n = 1 - i
13. Indica-se por Re(z) e Im (z) as partes real e imaginaria de um número
complexo z, respectivamente. Se
a.
b.
c.
d.
e.
então :
Re(z) = - 3/2
Im(z) = - 3/2
Re(z) = - 1/2
Im(z) = 1/2
Re(z) = 3/2 X
14. O número complexo z, que verifica a equação iz + 2
a.
b.
c.
d.
e.
15. Se
a.
b.
c.
d.
e.
-1 - i X
-1 + 2i
-1 + i
1-i
-1 - 2i
= 1+i, então o número complexo z é:
1 - 2i
-1 + i
1-i
1+iX
-1 + 2i
+ 1 - i = 0 , é:
16. Seja o número complexo
a.
b.
c.
d.
e.
. Então, z1980 vale:
1X
-1
i
-i
-2i
17. Sejam os números reais x e y tais que 12 - x + ( 4 + y ) . i = y + xi. O
conjugado do número complexo z = x + yi é:
a.
b.
c.
d.
e.
4 + 8i
4 - 8i
8 + 4i
8 - 4i X
-8 - 4i
18. Se i é a unidade imaginaria, então:
a.
b.
c.
d.
e.
é igual a:
1+i
0X
1-i
i
1
C) MÓDULO
1. Sendo z1 = 7 - 2i e z2 = -3 + 5i, então | z1 + z2 | vale:
a.
b.
c.
d.
e.
2
3
4
5X
6
2. O módulo do número z = 5 - 2i é:
a. 20
b.
X
c. 81
d. 27
e. 29
3. O módulo do número complexo z, tal que
. z = 7 é igual a:
a. 49
b. 7
c. 2
X
d.
e. 14
4. O módulo de
vale:
a. 0
b. 1X
c.
d. 1/2
e. 1/4
5. Dados os números complexos z = 1 + 2i e w = 4 - 3i, o valor da expressão z2 +
|w| é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
1 + 7i
6 - 4i
10 + 4i
2 + 4i X
2 - 4i
6. Sejam Z, W, U e V números complexos, tais que Z = 1 +
=7+
ieV=
- i, o valor da expressão
é:
a.
b. 2
c. 1/2 X
d. 3
e. 2
7. O módulo do número complexo z = ( 1 - 3 i ) . (
a. 2
b. 2
c. 4
d. 5
X
e. 15/2
8. O módulo do complexo Z, tal que Z2 = i é:
a. 0
b.
/2
- 1 ) é:
i, W = 4
+ i, U
c. 1X
d.
e. 2
9. Sendo z1 = i3 e z2 = 1/i3 , então | z1 + z2 | vale:
a. 1
b.
c. 0X
d. 2
e. 2
10. O módulo do número complexo cos a - i sen a é:
a.
b.
c.
d.
e.
-1
-i
i
i4X
0
11. O módulo do número complexo
a.
b.
c.
d.
e.
é:
1/16
1/8
1/4
1/2 X
2
12. O módulo de
, para a e b reais é:
a2 + b 2
b. 2
c. 1X
d.
a2 - b 2
e. 0
a.
13. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + i, x real e positivo, são tais que
| z1 .z2 |2 = 10, então x é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
5
4
3
2
1X
14. Seja o número complexo z = 1 + 2xi, onde x
z é igual a 7, então x pertence ao intervalo:
a. (- , 1 )
b. [ 1, 3 ]
IR+ . Se o número complexo de
c. ( 3, 5 ) X
d. ( 8,
)
e. [ 5, 8 ]
15. Se z + 1/z = -1, então o módulo de z é:
a.
b.
c.
d.
e.
1/2
0
1X
2
4
D) FORMA POLAR OU TRIGONOMÉTRICA
1. Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z,
representado no plano de Gauss
Nessas condições, o módulo de z é igual a:
a.
b. 2
c. 3
d. 10
e. 5X
2. A forma trigonométrica do complexo z = -1 + i é dada por:
a.
b.
c.
d.
X
e.
3. Seja z um número complexo, cujo afixo P está representado abaixo no plano de
Argand- Gauss
A forma trigonométrica do número z é:
a.
( cos 150º + i sen 150º ) X
b.
( cos 30º + i sen 30º )
c.
( - cos 150º + i sen 150º )
d.
( cos 120º + i sen 120º )
e.
( - cos 60º + i sen 60º )
4. O número complexo z = -2-2ié escrito na forma trigonométrica como :
a.
b.
c.
X
d.
e.
5. Na figura, o ponto P é o afixo de um número complexo z, no plano de ArgandGauss. A forma trigonométrica de z é:
a.
b.
c.
d.
e.
4. ( cos 300º + i sen 300º ) X
4. ( cos 60º + i sen 60º )
16. ( sen 330º + i cos 330 º )
2. ( sen 300º + i cos 300º )
cos ( -60º) + i sen ( -60º )
6. O argumento do número complexo z = -2
a.
b.
c.
d.
e.
+ 2i é:
120º
150º X
210º
300º
330º
7. O número complexo
a. 2
+i
b. -
+i
c. -
-i
d.
e. 2
escrito na forma a + bi é:
-iX
-i
8. A forma trigonométrica do número complexo i -
a.
b.
c.
é:
d.
X
e.
9. A forma trigonométrica do número complexo z = a.
b.
c.
d.
e.
+ i é:
sen 30º + i cos 30º
2. ( cos 60º + i sen 60º )
2. ( cos 30º + i sen 30º )
2. ( cos 120º + i sen 120º )
2. ( cos 150º + i sen 150º ) X
10. Na figura abaixo, o ponto P é a imagem do número complexo Z, no plano de
Argand-Gauss. Então, Z é igual a:
a. 1 +
b.
i
+iX
c.
d.
e.
11. Seja z o produto dos números complexos
e o argumento de z são, respectivamente:
a.
b.
c.
d.
e.
4 e 30º
12 e 80º
8 e 90º
6 e 90º X
2 e 30º
e
. Então, o módulo
12. Sendo
e
, a representação trigonométrica de
é:
X
a.
b.
c.
d.
e.
13. Na figura, o ponto P é o afixo de um número conjugado z, no plano de ArgandGauss. Então o argumento principal de z2 é:
a.
b.
c.
d.
e.
0º
30º
60º X
45º
90º
14. Se o módulo de um número complexo é igual a
e seu argumento ;e igual a
, a expressão algébrica desse número é:
a.
b.
c.
d.
e.
1+i
2i
1-i
i
-1 - i X
15. A forma trigonométrica do número complexo
a.
b.
c.
d.
X
é:
e.
Bloco 1
1) Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2) Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 ,
calcule Im(z).w + Im(w).z .
3) UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +
= 12 + 6i é:
4) UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:
5) UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
6) Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é
um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
Resp: 50
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o
valor de a.
Resp: 32i
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 .
+ 1 - i = 0.
12) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i
13) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i
14) Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9
15) A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O
módulo de z é:
a) √13
b) √7
c) 13
d) 7
e) 5
16 ) Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i
17) Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i
GABARITO:
1) -3 - i
2) -3 + 18i
3) 4 + 3i
4) 3/2
5) -2 + 18i
6) i
7) 3
8) 1 + 2i
9) 50
10) 32i
11) -1 - i
12) B
13) D
14) A
15) A
16) A
17) E
Bloco 2
1) O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
2) Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i
3) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para
os quais (a + 1)4 é um número real?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos
4) Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:
a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1
5) Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:
a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2
6) A potência (1 - i )16 equivale a:
a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256
7) Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 =
10 então x é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
8) O módulo do complexo cos a - i . sen a é:
a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5
9) Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.
10) Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.
Resolução:
01. C
02. C
03. C
04. A
05. E
06. E
07. E
08. D
09.3 - 2i; -3 + 2i
10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}
Bloco 3
1. Sejam os complexos z = 2x – 3ie t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t,
então o produto x.yé
A) 6
B) 4
C) 3
D) –3
E) –6
2. Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a
A) 1 + 2i
B) 2 + i
C) 2 + 2i
D) 2 + 3i
E) 3 + 2i
3. Dadas as alternativas abaixo
I. i2 = 1
II. (i + 1)2 = 2i
III. 4 + 3i = 5
IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se
dizer que
A) todas as alternativas acima estão corretas
B) todas as alternativas acima estão erradas
C) as alternativas I e III estão erradas
D) as alternativas II, III e IV estão corretas
E) as alternativas I e III estão corretas
4. Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação
Ī = I2 é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5. Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss
por dois pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação
A) u.Ī= 1
B) u. I = 1C)u +Ī = 0
D)u. I = 0E)n.r.a
6. O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
A) 0
B) (√2)/2
C) 1
D) √2
E) 2
7. Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
8. O conjugado de (2 - i)/i vale
A) 1 – 2i
B) 1 + 2i
C) 1 + 3i
D) –1 + 2i
E) 2 - i
9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação i n + i-n = 0, onde i =√−1, é:
A) {n Є Z/ n é ímpar}
B) {n Є Z/ n é par}
C) {n Є Z/ n > 0}
D) {n Є Z/ n < 0}
E) Z
10. Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
11. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
12. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
13. O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:
14. Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser:
15. Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:
16. O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
17. Determine o número natural n tal que (2i) n + (1 + i)2n + 16i = 0.
18. Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240
19. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w
é um número real ez.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
20. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0, então calcule o
valor de a.
21- Determine o número complexo I tal que iI+ 2.Ī + 1 - i = 0.
22. Se z = (cos q + i senq)é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zn
= rn(cos q + i sennq) para todo n ∈ 𝑁. Essa fórmula é conhecida como fórmula de
DeMoivre.
A) Demonstre a fórmula de DeMoivre para n = 2, ou seja, demonstre que z 2 = r2(cos 2q + i
sen 2q).
B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais (√3 + i)n seja imaginário puro.
23.
A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3π/8) + i sen(3π/8)],
escreva os números complexos Ī,I2 e na forma trigonométrica.
B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, Ī, I2 e no item
acima.
Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer têm a mesma
medida.
24.
Por três pontos não-colineares do plano complexo, z1, z2 e z3, passa uma única
circunferência.
Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se, for um
número real.
Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z 1 = 1, z2 = -3i e z3 = -7 + 4ido
plano complexo.
Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual a –1
e que estão sobre a circunferência C.
25. Observe esta figura:
Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.
Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente
pelos pontosP e Q.
Considerando esses dados, escreva o número complexoz 11 / i.w5na forma a + bi, em que a
e b são números reais.
26. O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i
b) 1 – i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i
27. Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i
b) 1 + 2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i
28. Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9
29. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O
módulo de z é:
a) 13b) 7
c) 13
d) 7
e) 5
30. Seja z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32 + 16i
31. Sabendo que (1 + i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)48 - (1 + i)49é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 .i
d) 248 . i
e) -224 . i
Resposta:
1)D 2)E 3)D 4)E 5)B 6)C 7)B 8)D 9) A 10) B 11) -3 - i 12) -3 + 18i 13) 4 + 3i 14) 3/2 15) -2 +
18i 16) i 17) 3 18) 1 + 2i 19) 50 20) 32i 21) -1 - i 24) –1 + 4i e -1 – 4i 26) B 27) D 28) A 29) A
30) A 31) E
Material sobre complexos: questionamentos importantes
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/index.htm