arquivo01 - MTM

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
b −1 − 2
=
=
sen  =
|z| 2
2

Argumento de z : 
.
cos  = a = 1 = 2

|z| 2
2

Isto é, sen  = − cos  com  no quarto quadrante (seno negativo
e cosseno positivo); então  = 315° .
Resposta: Portanto, a forma trigonométrica de z é dada por
z = (1 − i ) = 2 ⋅ (cos 315° + i ⋅ sen315°) .
b) Para determinar a relação entre os números (1 − i ) 20 e −210 ,
devemos determinar o valor de (1 − i ) 20 ; para isto basta tomarmos a forma trigonométrica de 1 − i e aplicarmos a potência:
1 − i = 2 ⋅ (cos 315° + i ⋅ sen315°) .
Então,
(1 − i ) 20 = ( 2) 20 ⋅ [cos(20 ⋅ 315°) + i ⋅ sen(20 ⋅ 315°)]
= 210 ⋅ (cos 6300° + i ⋅ sen6300°)
= 210 ⋅ [cos(17 ⋅ 360° + 180°) + i ⋅ sen(17 ⋅ 360° + 180°)]
= 210 ⋅ (cos180° + i ⋅ sen180°)
= 210 ⋅ (−1 + 0) = −210 .
Resposta: Portanto, (1 − i ) 20 = −210 .
Nota: Lembramos que só faz sentido comparar dois números
complexos em termos de módulo, uma vez que não foi definida
uma relação de ordem no conjunto dos números complexos.
Exercícios propostos
1) Sendo que (a + 3i )(1 + 2i ) = b + 5i , determine o valor de a + b .
2) Determine o conjugado de z = (2 + 3i )(5 − 2i ) .
3) Qual o valor para (1 + i )35 ?
4) Determine todas as raízes (reais e complexas) da equação
x 5 + 32 = 0 .
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5) Determine o número real positivo k que torna o módulo do
5
k −i
número complexo z =
igual a
.
5
3+i
6) Sendo u = 3 + 2i e v = 1 + i , determine o valor de | u + v | .
7) Qual o valor para a fração
i 3 − i 2 + i17 − i 35
?
i16 − i13 + i 30
8) Verifique a igualdade ei  − 1 = 0 .
9) Determine a forma trigonométrica do número z =
−1 − i
.
i
10) Seja z um número complexo de módulo 1 e de argumento
 . Se n é um número inteiro positivo, determine o valor
1
para z n + n .
z
11) Seja z = cos t + i ⋅ sent com 0 < t < 2  . Mostre que
1+ z
t
= i ⋅ cotg .
1− z
2
5 
e
como argumen12
3
to, respectivamente. Encontre u e v reais tais que zw = u + v ,
sabendo que | zw | = 10 .
12) Os números complexos z e w têm
13) Mostre que
z
z
é real ∀z ∈  .
+
1+ i 1− i
14) Determine todas as 5 raízes da equação x 5 − 1 = 0 . (Uma é
real e as outras quatro são complexas.)