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BC0209–Fenômenos Eletromagnéticos
Terceiro quadrimestre de 2013
Prof. José Kenichi Mizukoshi
Aula 5 (versão 18/11/2013)
Energia potencial elétrica
Material Suplementar
■
Considere um sistema formado por duas cargas pontuais, q1 e q2 , por simplicidade localizadas sobre um
plano. O trabalho realizado pela força elétrica F~12 ,
que atua na carga q2 , ao longo de um caminho C qualquer é dado por
Z
F~12 · d~ℓ
Wa→b =
F~12
q2
C
d~ℓ
q1
C
■
Em coordenadas polares, tomando a posição da carga q1 como a origem do
referencial, temos que a força F~12 é dada por
F~12 =
1 q1 q2
r̂
4πε0 r2
ou seja, possui direção radial.
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Energia potencial elétrica
Material Suplementar
■
Vamos escolher um caminho de a até b dividido
em duas etapas: a → a′ , através de um trecho
C1 tangente à direção radial (direção θ̂) e a′ →
b, que é radial (direção r̂). O trabalho de a →
b é
b
rb
a′
q1
C1
C3
a
C 2 b′
q2
ra
= dr
Wa→b
1
1
=
q1 q2 2
4πε0
ra
1
=
q1 q2
4πε0
Portanto,
Wa→b
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Z
rb
ra
Z
θ a′
θa
dr
r2
~ +
r̂ · (ra dθ)
| {z }
= 0, pois r̂ ⊥ dθ~
1
1
1
q1 q2
−
=
4πε0
ra rb
Z
rb
ra
z }| { r̂ · d~r
r2
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Energia potencial elétrica
Material Suplementar
■
O mesmo resultado é obtido se formos de a para b′ através do trecho C2 e de
lá para o ponto b, através de um caminho na direção tangencial a ~r.
■
Qualquer caminho C pode ser dividido em trechos tangencial e paralelo à F~12 ,
dando o resultado acima. Logo, o trabalho da força elétrica não depende do
caminho. Neste caso, é dito que a força é conservativa, e consequentemente
existe uma função energia potencial, U (r), associada a ela. Por definição,
∆U = Ub − Ua = −Wa→b = −
1
1
1
q1 q2
−
=
4πε0
rb ra
Z
b
F~ · d~ℓ
a
➢ Relembre que somente a variação da energia potencial possui significado
fı́sico, ou seja, a função U (r) pode ser definida a menos de uma constante.
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Energia potencial elétrica
Material Suplementar
■
Escolha de um ponto de referência. Em geral, toma-se Ua = 0 para
ra → ∞ (quando q2 encontra-se no infinito). Neste caso, tomando b como
um ponto qualquer, tal que rb = r é a distância entre as cargas, define-se a
função energia potencial para o sistema com as cargas q1 e q2 como sendo
1 q1 q2
U (r) =
4πε0 r
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Energia potencial de um sistema de cargas
Material Suplementar
■
Considere um sistema com cargas q1 , q2 e q3 , inicialmente localizadas no
infinito. Temos que U = 0 para esta configuração. Para montar o sistema
com as três cargas localizadas a distâncias finitas, temos os seguintes passos:
◆ Passo 1: trazer a carga q1 do infinito até a posição ~
r1 . Não há gasto de
energia, portanto
U1 = 0
◆ Passo 2: trazer a carga q2 do infinito até a posição ~
r2 . A energia
necessária para montar o sistema é dada por
U2 =
1 q1 q2
4πε0 r12
onde r12 = |~r2 − ~r1 | é a distância entre as cargas.
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Energia potencial de um sistema de cargas
Material Suplementar
◆ Passo 3: trazer a carga q3 do infinito até a posição ~
r3 . A energia
necessária é dada por
1
q2
q1
U3 =
q3
+
4πε0
r13 r23
onde ri3 = |~r3 − ~ri |, i = 1, 2
■
A energia potencial do sistema é dada pela
soma de todas as energias necessárias para
montar o sistema:
⇒
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U = U1 + U2 + U3
q1 q2 q1 q3 q2 q3
1
+
+
U=
4πε0 r12
r13
r23
configuração final
q1
r12
r13
q2
r23
q3
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Energia potencial de um sistema de cargas
Material Suplementar
■
Para um sistema com N cargas pontuais,
U=
N
X
j=1
i<j
1 qi qj
4πε0 rij
onde rij = |~rj − ~ri | é a distância entre a i-ésima carga e a j-ésima carga. A
restrição i < j é para não contar em dobro as energias entre a i-ésima carga
e a j-ésima carga.
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Potencial elétrico
Material Suplementar
■
■
Considere uma carga q na posição ~r1 . O campo
elétrico gerado por essa carga na posição P é dado
por
~ = 1 q rˆ10 ; r̂10 = ~r − ~r1
E
2
4πε0 r10
|~r − ~r1 |
P
~r10
q
~
E
~r
~r1
O
Uma carga de prova q0 no ponto P sente uma força (conservativa) dada por
~
F~ = q0 E
■
O trabalho da força F~ para deslocar a carga de prova de um ponto Pa para
Pb é dado por
Z
WPa →Pb =
F~ · d~ℓ = −∆U
C
⇒
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q0
Z
~ · d~ℓ = −∆U = −[U (rb ) − U (ra )]
E
C
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Potencial elétrico
Material Suplementar
Segue que
Z
■
b
a
~ · d~ℓ = − ∆U ≡ −∆V = −[V (rb ) − V (ra )]
E
q0
V (r) é conhecido como potencial elétrico, que é a energia potencial por
~ mas não da carga de
unidade de carga elétrica. Ele depende do campo E,
prova q0 .
J
Unidades no SI: [V] = ≡ V = volt
C
■
O potencial elétrico (ou a diferença de potencial) de uma carga q é dado por
Z rb
Z
1
1
~ℓ
~
~
r̂
·
d
E · dℓ = −
V (rb ) − V (ra ) = −
4πε0 ra r2 | {z }
C
= r̂·d~
r = dr
⇒
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1
1
1
V (rb ) − V (ra ) =
q
−
4πε0 rb ra
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Potencial elétrico
Material Suplementar
■
Similarmente à função energia potencial, a função potencial elétrico V (r) é
definida a menos de uma constante. A escolha do nı́vel zero é arbitrária,
porém é comum se tomar V (r) = 0 para r → ∞. Logo,
1 q
V (r) =
4πε0 r
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Diferenças de potencial em um campo
elétrico
uniforme
Material Suplementar
■
Considere uma região do espaço onde existe um campo
elétrico uniforme na direção y. A diferença de potencial
entre os pontos a e b é dada por
∆V = V (b) − V (a) = −
Z
b
ya
~ · d~ℓ
E
yb
a
~ = −E ̂ e d~ℓ = dy ̂, portanto
Neste caso, E
Z yb
Edy = E (yb − ya ) = −Ed
∆V = V (yb )−V (ya ) = +
| {z }
ya
= −d
■
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Como a diferença de potencial ∆V é negativa, tem-se que V (yb ) < V (ya ).
Em geral, as linhas do campo elétrico sempre apontam no sentido da
diminuição do potencial elétrico.
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Diferenças de potencial em um campo
elétrico
uniforme
Material Suplementar
■
Suponha que uma carga de prova q0 se desloque do ponto ya para yb . A
variação da sua energia potencial será
∆U = q0 ∆V = −q0 Ed
◆ Se q0 > 0 a variação da energia será negativa, enquanto que se q0 < 0,
ela terá variação positiva.
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■
Para o caso q0 > 0, podemos fazer uma analogia com o campo gravitacional,
~ por ~g e q0 por m. Quando um corpo de massa m cai de
onde se substitui E
uma altura d, a sua energia potencial gravitacional sofre uma mudança de
−mgd.
■
Assim como no caso do campo gravitacional, a diferença de potencial elétrico
ou a variação da energia potencial elétrica só depende dos valores da
diferença entre ya e yb , que são pontos na direção do campo elétrico.
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Diferenças de potencial em um campo
elétrico uniforme
– exemplo
Material Suplementar
Ex. 1 Uma bateria de 12 V é conectado entre duas
placas paralelas, conforme mostra a figura ao lado.
A distância entre as placas é de 0,30 cm e se pressupõe que o campo elétrico seja uniforme. (a) Qual
a intensidade do campo elétrico entre as placas?
(b) Se um elétron for liberado do repouso na placa
B, qual a sua energia cinética assim que chega na
placa A?
Solução
(a) Como se trata de um campo elétrico uniforme, tem-se que |∆V | = Ed, onde
d é a distância entre as placas. Logo,
|∆V |
12 V
E=
=
d
0,30 × 10−2 m
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⇒
E = 4,0 × 103 V/m
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Diferenças de potencial em um campo
elétrico uniforme
– exemplo
Material Suplementar
(b) A variação na energia potencial do sistema elétron/campo é
∆U = UB − UA = (−e)(VB − VA ) = (−1,60 × 10−19 C)(12 V)
Portanto, ∆U = −1,92 × 10−18 J
■
Como a energia total do sistema se conserva, ∆U + ∆K = 0, portanto
∆K = KB − KA = −∆U
|{z}
⇒
KB = 1,92 × 10−18 J
=0
Observação: se a diferença de potencial for de 1 V, temos que
∆K = −∆U = (e)(1 V) = 1,60 × 10−19 J
Essa quantidade de energia define a unidade de elétron-Volt (eV):
1 eV = (e)(1 V) = 1,60 × 10−19 J
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Potencial de um sistema de cargas pontuais
Material Suplementar
■
Conforme visto na aula 2, pág. 3, o campo elétrico
num ponto P devido a um sistema com N cargas
pontuais é dado por
z
q1
P
~r2
~ r) = E
~1 + E
~2 + . . . + E
~N
E(~
~i =
onde E
■
~r
y
1 qi
~r − ~ri
.
2 r̂i0 e r̂i0 = |~
4πε0 ri0
r − ~ri |
x
O
~rN
qN
Se todas as cargas da distribuição estiverem à uma distância finita do ponto
P , podemos tomar o nı́vel zero (V = 0) quando ri → ∞. Com esta escolha,
o potencial no ponto P é dado por
V (~r) = −
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q2
~r1
Z
P
~ · d~ℓ
E
∞
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Potencial de um sistema de cargas pontuais
Material Suplementar
■
Temos que
V (~r) = −
Logo
Z
N
P X
∞ i=1
~ i · d~ℓ = −
E
Z
P
∞
~ 1 · d~ℓ +
E
Z
P
~ 2 · d~ℓ + . . . +
E
∞
Z
P
∞
~ N · d~ℓ
E
1 q1
1 q2
1 qN
V (~r) =
+
+ ... +
4πε0 r10 4πε0 r20
4πε0 rN 0
N
1 X qi
∴ V (r) =
4πε0
ri0
i=1
onde ri0 é a distância da i-ésima carga até o ponto P .
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Potencial de um sistema de cargas pontuais
–Material
exemplo
Suplementar
Ex. 2 Obtenha o potencial de um dipolo elétrico num ponto distante. Considere
que o dipolo elétrico seja formado pelas cargas +q e −q, separadas de uma
distância d, localizadas sobre o eixo z.
Solução O potencial elétrico do dipolo num ponto P é
dado por
1
(−q)
q
V (r) =
+
4πε0 r+
r−
r+
P
+q
■
r+
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d
cos θ
2
r
r−
θ
θ′
d
x
−q
Para r ≫ d, onde θ′ ≈ θ, temos que
r
θ
y
P
d
r ≈ r+ + cos θ
2
d
⇒ r+ ≈ r 1 −
cos θ
2r
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Aplicação: potencial de um dipolo elétrico
num ponto
distante
Material Suplementar
Analogamente, temos que
r− ≈ r +
d
cos θ
2
⇒ r− ≈ r 1 +
d
cos θ
2r
d
cos θ, temos
Fazendo ǫ ≡
2r
1 q
1
1
V ≈
−
4πε0 r 1 − ǫ 1 + ǫ
1
■ Para x ≪ 1, a função f (x) ≡
pode ser expandida em uma série de
1±x
Taylor em torno de x0 = 0:
df (0)
f (x) = f (0) +
x + ···
dx
Aula 5
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Aplicação: potencial de um dipolo elétrico
num ponto
distante
Material Suplementar
Temos que


 f (0) = 1
∓
df


=
dx
(1 ± x)2
df (0)
= ∓1
x
⇒
⇒
f (x) = 1 ∓ x + O(x2 )
Logo, para ǫ ≪ 1, tem-se que
= 2ǫ
}|
{
1 q z
(1 + ǫ) − (1 − ǫ)
V ≈
4πε0 r
Aula 5
⇒
V ≈
1 qd
cos θ
2
4πε0 r
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Material Suplementar
Material Suplementar
Obtenção da força a partir da energia
potencial
Material Suplementar
■
Temos que
∆U = −
■
Z
F~ · d~ℓ ⇔ dU = −F~ · d~ℓ
Em coordenadas cartesianas,
(
F~ = Fx ı̂ + Fy ̂ + Fz k̂
d~ℓ = dx ı̂ + dy ̂ + dz k̂
⇒ F~ · d~ℓ = Fx dx + Fy dy + Fz dz
Por outro lado, como U = U (x, y, z)
dU =
∂U
∂U
∂U
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Portanto, dU = −F~ · d~ℓ implica que
∂U
∂U
∂U
dx +
dy +
dz = −(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
∂x
∂y
∂z
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Obtenção da força a partir da energia
potencial
Material Suplementar
Segue que

∂U


Fx = −


∂x



∂U
Fy = −

∂y





Fz = − ∂U
∂z
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∂U
∂U
∂U
~
~
k̂
ı̂ +
̂ +
⇒ F = −∇U = −
∂x
∂y
∂z
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Obtenção da força a partir da energia
potencial
– exemplo
Material Suplementar
Ex. 3 Encontre a força resultante sobre a carga q3 do Ex. 3 da Aula 1, pág. 15, a
partir da energia potencial do sistema.
Solução
■
q3 = q ′
r+
r−
x
Originalmente a carga q3 se encontra em x = 0 e y
qualquer. Contudo, para se calcular a força sobre
ela, vamos deslocá-la ligeiramente para a direita,
tal que a sua posição seja dada por (x, y).
A energia potencial do sistema é (veja pág. 7)
q1 q2 q1 q3 q2 q3
1
+
+
U=
4πε0 2a
r+
r−
onde
q1 =
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q2 =
p
r+ = y 2 + (a + x)2
e
r− =
p
y 2 + (a − x)2
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Obtenção da força a partir da energia
potencial
– exemplo
Material Suplementar
Como U = U (x, y), tem-se que
∂U
∂U
~
ı̂ +
̂
F3 = −
∂x
∂y
1
∂
∂
q1
q2
p
q3
=−
ı̂ +
̂
+p
2
2
4πε0
∂x
∂y
y + (a + x)
y 2 + (a − x)2
2(a + x) ı̂ + 2y ̂
−2(a − x) ı̂ + 2y ̂
1
~
q3 q1 (−1/2)
+q2 (−1/2)
⇒ F3 = −
3/2
2
2
4πε0
[(a + x) + y ]
[(a − x)2 + y 2 ]3/2
■
■
Fazendo q1 = −q2 = q e q3 = q ′ , a força sobre q3 em x = 0 será
′a
qq
1
ı̂
F~3 =
2πε0 (a2 + y 2 )3/2
que é o resultado obtido aplicando-se a lei de Coulomb diretamente.
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