MATRIZES – PROPRIEDADES E INVERSA 01. Prove o seguinte

MATRIZES – PROPRIEDADES E INVERSA
01. Prove o seguinte teorema.
Teorema: A adição de matrizes do tipo mxn
apresenta as seguintes propriedades:
I. é associativa: (A + B) + C = A + (B + C),
quaisquer que seja as matrizes A, B e C do tipo
mxn.
II. é comutativa: A + B = B + A, quaisquer que
seja as matrizes A e B do tipo mxn.
III. tem elemento neutro: ∃M/ A + M = A,
qualquer que seja A do tipo mxn.
IV. todo elemento tem simétrico: para todo A de
ordem mxn: ∃A’/ A + A’ = M.
02 – 05. Determine a matriz inversa, caso exista,
de cada uma das matrizes dadas:
1
 0

02. A =  1 4
− 2 5
1 2
03. B =   ,
3 5
04.
05.
0
− 1
3
1 1 0 
15. Obter a inversa da matriz B = 0 − 1 2 .
1 0 1 
16. Considere P a matriz inversa da matriz M,
1 / 3 0
onde M = 
 . Calcule a soma dos
1 / 7 1
elementos da diagonal principal da matriz P.
1 2 3
17. Seja a matriz 3x3 dada por A = 1 0 0 .
3 0 1
Sabendo-se que B é a inversa de A, calcule a
soma dos elementos de B.
0

0
C= 
1

1
2 1 0

1 0 0
0 3 0

0 2 1
0
 1 −1
D = − 2 0
2
 4
0 − 3 
18. Calcule
1 2
M = 2 1
5 2
o elemento a32 da inversa da matriz
4
3 .
4
RESPOSTAS:
06 – 11. Resolva as equações matriciais na
variável X, sabendo-se que A, B, C e X são
matrizes inversíveis:
06. AX = B
07. AXB = C
08. X −1 AB −1 = C
09. (AX −1 ) t = B
10. AXB = BA
11. A t X t = B
12. Prove o seguinte teorema.
Teorema: O produto de um número real por uma
matriz apresentea as seguintes propriedades:
I) a.(b.A) = (ab).A
II) a.(A + B) = a.A + a.B
III) (a + b).A = a.A + b.A
IV) 1.A = A
1 2 
13. Se A = 
 eB=
2 1 
t
.
a 0
1 b 
14. Dadas as matrizes A = 
eB= 

,
0 a 
b 1 
determine a e b, de modo que A.B = I, onde I é a
matriz identidade.
3 1 
-1
0 2 , calcule (A.B )


01. Demonstração:
I) Fazendo (A + B) + C = X e A + (B + C) = Y
temos:
xij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = yij
para todo i e j, pois a associatividade é válida
para números reais.
II) Fazendo A + B = X e B + A = Y temos:
xij = aij + bij = bij + aij = yij
para todo i e j, pois a comutatividade é válida
para números reais.
III) Se A + M = A temos então:
aij + mij = aij ⇒mij= 0 ⇒ M = O , ∀ i, ∀ j.
Isto é, o elemento neutro existe e é a matriz nula
do tipo mxn.
IV) De mesmo modo, supondo A + A’ = M
resulta em
aij + a’ij = 0 ⇒aij = – a’ij , ∀ i, ∀ j.
Assim a simétrica da matriz A para a adição é a
matriz A’ de mesmo tipo que A, na qual cada
elemento é simétrico da entrada correspondente
em A.
MATRIZES – PROPRIEDADES E INVERSA
_______________________________________
_______________________________________
− 17 3 1
-1 

_______________________________________
02. A =  1 0 0
_______________________________________
− 13 2 1
_______________________________________
−5 2 
03. B-1= 
_______________________________________

 3 − 1
_______________________________________
1 0
− 3 6
_______________________________________


1
0 0
-1  0
_______________________________________
04. C =
 1 −2
0 0
_______________________________________


 1 − 2 − 1 1 
_______________________________________
_______________________________________
3


1
 0
_______________________________________
2


_______________________________________
3

05. D-1= − 1
1
_______________________________________
2


_______________________________________
0
2
1




_______________________________________
-1
_______________________________________
06. X=A B
_______________________________________
07. X=A-1CB-1
-1 -1
_______________________________________
08. X= AB C
t -1
_______________________________________
09. X=(B ) A
-1
-1
_______________________________________
10. X=A BAB
t -1
_______________________________________
11. X=B A
_______________________________________
12. Demonstração:
_______________________________________
I) Fazendo a.(b.A) = X e (ab).A = Y temos:
_______________________________________
xij = a.(b.aij ) = (a.b).aij = yij
_______________________________________
para todo i e j, pois a associatividade do produto
_______________________________________
é válida para números reais.
_______________________________________
II) Fazendo a.(A + B) = X e a.A + a.B = Y
_______________________________________
temos:
_______________________________________
xij = a.(aij + bij) = a.aij + a.bij = yij
_______________________________________
para todo i e j, pois a associatividade do produto
_______________________________________
é válida para números reais.
_______________________________________
III) Sejam (a + b).A = X e a.A + b.A = Y assim:
_______________________________________
xij = (a + b).aij = a.aij + b.aij = yij
_______________________________________
para todo i e j, pois a distributiva do produto é
_______________________________________
válida para números reais.
_______________________________________
IV) Seja 1.A = X . Temos:
_______________________________________
xij = 1.aij = aij
_______________________________________
para todo i e j.
_______________________________________
1 2
_______________________________________


13.  3 3 
_______________________________________
5 1


_______________________________________
6 6
_______________________________________
_______________________________________
14. a = 1 e b = 0.
_______________________________________
− 1 − 1 2 
_______________________________________
_______________________________________
15. B −1 =  2
1 − 2
_______________________________________
 1
1 − 1 
_______________________________________
16. 4
17. 2
18. 1
_______________________________________
_______________________________________
______________________________________