Lista 5 - Departamento de Física

LISTA DE EXERCÍCIOS #5 - MATEMÁTICA APLICADA À FÍSICA I
Obs.: exceto quando explicitamente dito em contrário, sempre usaremos unidades do SI nos problemas.
1. Calcular as integrais indefinidas
(a)
Z
4
2
(5x − 2x + 3) dx
Z 1 ey − y + √ dy
(d)
y
Z
ln x
(g)
dx
x ln x2
(b)
Z
(t − 5t) dt
(e)
Z
tg θ cos θ dθ
(h)
Z
(2t −
2
Z 1
dx
sen x − 3x +
(c)
x
Z
ds
(f )
sen2 s
Z p
3
(i)
8(t − 2)6 (t + 1)3 dt
2
√ t
5e + cosh t) dt
v
2. A aceleração de um ponto é dada por ~a = d~
dt . Considere um objeto que esteja se movendo ao longo do
x
eixo x, de modo que ele só tem a componente vx de sua velocidade. Neste caso, temos ax = dv
dt . Supondo
que ax é constante, obtenha vx (t).
3. Calcular as integrais indefinidas usando o método de substituição
(a)
Z
1
(x4 − 2) 8 x3 dx
Z p
4y 2 + 2y 4 dy
Z
dx
(g)
x ln x
(d)
(b)
Z
(e)
Z
(h)
Z
t dt
√
5 2
t −1
(c)
Z
(e3x − 4) 4 e3x dx
cos(3θ − π) dθ
(f )
Z
3 sec2 s
ds
a + b tg s
(i)
Z
cotg t dt
t2
t2 +3
dt
1
4. Recordando o movimento parabólico com atrito estudado em listas anteriores, temos as velocidades
γt
γt
vy = v0 sen θe− m −
vx = v0 cos θe− m
Obtenha as coordenadas x(t) e y(t), lembrando que vx =
dx
dt
e vy =
γt
mg
(1 − e− m )
γ
(1)
dy
dt .
5. Num circuito formado por um resistor e um capacitor, a carga no capacitor é dada por
t
Q(t) = Q0 (1 − e− RC )
onde Q0 , R e C são constantes.
(a) Sabe-se que a corrente i que circula no circuito é dada por i = dQ
dt . Obtenha i.
2
(b) A potência elétrica dissipada no resistor é dada por P = Ri . Ache P (t).
(c) A potência dissipada no resistor é definida por P =
Ache UR (t).
dUR
dt ,
onde UR é a energia dissipada no resistor.
6. Calcular as integrais indefinidas usando integração por partes e, eventualmente, alguma substituição.
(a)
Z
(d)
Z
(g)
Z
(b)
Z
cos y dy
(e)
Z
(θ − 2) sec θ dθ
ln(x2 + 1) dx
(h)
Z
e t dt
t3
x sen(4x) dx
3
ln t dt
2
(c)
Z
xe3x dx
(f )
Z
eas cos(bs) ds
(i)
Z
√
x x + 1 dx
1
1
7. Calcular as integrais definidas:
(a)
Z
(d)
Z
2
2
(5x − 3x + 1) dx
1
π
2
5
(e)
Z
1
cos y dy
(1 + sen y)5
0
2
(b)
Z
−4
dt
t5
3
(c)
Z
2
(f )
Z
√
3x − 1 dx
1
|2θ − 6| dθ
s ln s ds
1
8. Uma dada máquina utiliza, em seu funcionamento, uma potência dada, em função do tempo, por
P (t) = 2te−4t +
5
(t + 1)2
(a) Calcule os limites lim P (t) e lim P (t).
t→0
t→∞
(b) A energia utilizada pela máquina pode ser obtida lembrando que P =
utilizada pela máquina entre os instantes t = 0 e t = a.
dU
dt .
Determine a energia
(c) Calcule os limites lim U (t) e lim U (t).
a→0
a→∞
9. Determinar as seguintes derivadas:
(a)
d
dy
Z
0
y
(3x2 − 1) dx
(b)
d
dt
Z
1
t
dy
y5
(c)
d
dx
Z
x
t sen t dt
1
10. Determinar as áreas definidas pelas curvas abaixo:
(a) y = 5 − x2 , y = x + 3
(d) y = e
−x
, y = x + 1 , x = −1
(b) y = x3 − x , y = 0
x
(e) y = − , x = y 2
2
(c) y = ln x , y = 0 , x = 4
(f ) y = tg x , x = 0 , y = 1
11. Determine a área delimitada pelas curvas destacadas na figura abaixo.
y
3
3
2
1
2
y = x3
x
12. Dadas as funções abaixo, esboçar seus gráficos e calcular suas integrais nos intervalos especificados.

2

−x , −2 6 x 6 −1
(a) f (x) = −x , −1 < x 6 1

 2
x ,
1<x62
13. Determinar a área sob a curva y = 2xe−x , x > 0.


−3 6 x 6 −1
2 ,
(b) f (x) = |x| , −1 < x 6 1


2,
1<x63
14. Num dado circuito, a corrente i que passa num resistor de resistência R = 4 Ω vale
i(t) = 2e−5t
2
(a) Determine a potência dissipada no resistor (PR = Ri2 ).
R
(b) Sabe-se que PR = dU
dt , onde UR é a energia dissipada no resistor. O circuito
R ∞é ligado em t = 0.
Determine a energia total dissipada pelo resistor durante seu funcionamento ( 0 PR dt).
15. Investigar as integrais e achar seus valores, caso seja possı́vel.
(a)
Z
7
∞
dx
(x − 4)2
1
Z
(b)
dt
t2
−1
(c)
Z
3
0
x dx
√
9 − x2
16. Verifique que
lim
Z
r→0
r
−1
dx
+
x
Z
1
r
dx
=0
x
Apesar desse limite existir e ser finito, verifique que a integral imprópria
Z
1
−1
dx
x
diverge.
17. Calcular as integrais indefinidas usando manipulações trigonométricas e, eventualmente, substituições ou
integrações por partes.
(a)
Z
√
sen( x)
√
dx
x
(b)
Z
sen(2t)
dt
cos t
(c)
(d)
Z
cos3 y dy
(e)
Z
cos4 θ dθ
(f )
(h)
Z
(1 − 4θ2 ) 2 dθ
tg3 (ln s)
ds
s
Z
p
(i)
s3 s2 + 9 ds
(k)
Z p
16 − x2 dx
Z p
(l)
16 + x2 dx
Z
dy
p
2
y y2 − 5
Z
x2 dx
√
(j)
2 − x2
(g)
3
Z
x tg(x2 + 1) dx
Z
18. A intensidade do campo elétrico produzido por um anel de raio R sobre o eixo do anel, a uma distância
z do centro, é dada por
E (z) = C
z
3
(z 2 + R2 ) 2
onde C é uma constante. Sabendo que para esse caso especı́fico vale a relação E = − dV
dz , onde V é o
potencial elétrico gerado pelo anel num ponto do eixo do mesmo, ache V (z).
19. Calcular as integrais indefinidas usando frações parciais e, eventualmente, substituições ou integrações por
partes.
2x3
dx
2
x +x
Z
dy
(d)
3
y − 4y 2
(a)
Z
2t + 1
dt
2t2 + 3t − 2
Z
dθ
(e)
3
θ + 9θ
(b)
Z
3
x2 + 5x + 4
dx
x2 − 2x + 1
Z
s ds
(f )
(s − 1)(s + 1)2
(c)
Z
20. Considere a integral
Z
du
=−
a2 − u 2
Z
du
u 2 − a2
(a) Resolva a integral utilizando frações parciais, e mostre que
Z
du
1 u + a =
ln
+c
a2 − u 2
2a
u−a
(b) Resolva a integral utilizando uma substituição trigonométrica e mostre que o mesmo resultado é
obtido.
21. Investigue e calcule, se possı́vel, as integrais impróprias abaixo:
(a)
Z
∞
10
dx
x2 (x − 5)
(b)
2
Z
0
dx
x2 (x − 5)
(c)
Z
5
∞
dx
x2 (x − 5)
22. Calcular as integrais indefinidas utilizando a substituição universal e, eventualmente, os outros métodos
de integração.
(a)
Z
1 + sen x
dx
sen x(1 + cos x)
(b)
Z
2 dx
sen x + tg x
23. Uma partı́cula está sujeita a uma força dada por
F = 2x3 + x sen(πx) +
3
4 − x2
enquanto move-se de x = 0 a x = 1. Determine o trabalho realizado sobre a partı́cula.
24. A região retangular abaixo tem uma densidade superficial σ(x) = 3x2 .
y
d
c
b
a
x
Determine
(a) Área da região.
(b) Massa da região.
(c) Posição xCM do centro de massa da região.
(d) Momento de inércia Iy em relação ao eixo y.
25. Considere a mesma região retangular do exercı́cio anterior, só que agora a densidade vale σ(y) =
Determine
(a) Massa da região.
(b) Posição yCM do centro de massa da região.
4
1
y.
(c) Momento de inércia Ix em relação ao eixo x.
26. Considere a região apresentada no exercı́cio (11). Suponha que ela tenha uma densidade σ(x) = 2x.
Determine
(a) Massa da região.
(b) Posição xCM do centro de massa da região.
(c) Momento de inércia Iy em relação ao eixo y.
5