Departamento de Fısica Mecânica Clássica I – ´Area I 1.

Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı́sica – Departamento de Fı́sica
Mecânica Clássica I – Área I
1. Para os dois vetores
A = i + 3j − k
B = −2i + j + 3k
encontre:
a) A − B e |A − B|;
b) a componente de B ao longo de A;
c) o ângulo θ entre A e B;
d) A × B e
b) Encontre o tempo e a distância que o barco anda até parar.
11. Uma partı́cula de massa m é repelida, da origem, por uma
força inversamente proporcional ao cubo da sua distância à origem. Escreva e resolva a equação de movimento supondo que
inicialmente a partı́cula está em repouso a uma distância x0 da
origem.
12. Encontre a velocidade ẋ em função do deslocamento x de
uma partı́cula de massa m, que parte do repouso em x = 0,
sujeita às seguintes forças, com F0 e c constantes:
a) Fx = F0 + cx,
b) Fx = F0 e−cx ,
c) Fx = F0 cos(cx).
e) (A − B) × (A + B).
Encontre a energia potencial para a partı́cula sujeita às forças
2. Considere dois vetores cujos ângulos em relação a horizon- acima.
tal são α e β. Usando o produto escalar e o vetorial, mostre as 13. Uma partı́cula é lançada para a direita com energia cinética
seguintes relações trigonométricas:
inicial T0 e sujeita a uma força dada por
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
F = −kx +
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
kx3
A
onde k e A são constantes.
3. Uma partı́cula se move em uma órbita elı́ptica plana descrita
pelo vetor posição
r = 2b sin ωti + b cos ωtj.
a) Encontre os vetores velocidade, v, aceleração, a, e v, a
magnitude da velocidade (também chamada de rapidez) da
partı́cula.
b) Qual é o ângulo entre os vetores v e a no instante de tempo
t = π/2ω. Dica: encontre v.a/va.
4. Encontre as componentes do vetor aceleração a em coordenadas esféricas.
5. Uma partı́cula se move com v = constante ao longo de uma
curva r = k(1 + cos θ) (cardióide). Calcule r̈.er , |a| e θ̇.
6. Uma mosca se move em uma trajetória helicoidal dada pela
equação r(t) = b sin ωti+b cos ωtj +ct2 k. Mostre que a magnitude da aceleração da mosca, a, é constante, uma vez que b,
ω e c são constantes.
7. Uma abelha sai de sua colméia em uma trajetória espiral que,
em coordenadas plano polares, é dada por: r = bekt e θ = ct,
onde b, k e c são constantes positivas. Mostre que o ângulo
entre os vetores v e a permanece constante quando a abelha se
afasta da colméia.
8. Se um projétil é disparado, da origem do sistema de coordenadas, com um vetor velocidade inicial v0 , de módulo v0 e
orientado formando um ângulo α com a horizontal, calcule o
tempo necessário para que o projétil atravesse uma linha que
passa pela origem, formando um ângulo β > 0 com a horizontal (β < α).
9. Um projétil é disparado para cima a partir da origem. Supondo que a resistência do ar sobre o projétil varia com o quadrado da velocidade, calcule a velocidade do mesmo em função
da distância ao solo, para os movimentos de subida e de descida. Encontre o limite k → 0 das equações obtidas.
10. Um barco, com rapidez inicial v0 , é lançado em um lago.
O barco está sujeito a uma força de retardo F = −αeβv .
a) Encontre a expressão para a rapidez do barco v(t);
a) Calcule a energia potencial U (x) para esta força.
b) Calcule a energia cinética e a energia total em função da
posição da partı́cula.
c) Encontre a condição que deve satisfazer a energia total da partı́cula se o seu movimento exibe pontos de retorno. Encontre os pontos de retorno do movimento da
partı́cula.
d) Esboce em um gráfico as funções energia potencial,
cinética e total para esta partı́cula.
14. Qual o valor da constante c para que as seguintes forças
sejam conservativas:
a) F = xyi + cx2 j + z 3 k,
b) F =
z
x
xz
i+c 2j+ ke
x
y
y
c) F =
z
x
xz
i + c 2 j + k.
y
y
y
15. Considere as forças F1 = xi + yj e F2 = yi − xj, e
considere dois caminhos distintos entre o ponto inicial (0, 0) e
o ponto final (1, 1). Verifique se as forças
R acima são conservativas, ou não, mostrando que a integral F .dr é independente
do caminho de integração.
16. Um objeto de massa m move-se sob ação da energia potencial U (x, y, z) = αx + βy 2 + γz 3 e tem rapidez v0 , quando
passa pela origem do sistema de coordenadas.
a) Escreva as equações diferenciais para as componentes do
vetor velocidade e calcule o módulo da velocidade;
b) Se (1, 1, 1) for um ponto de retorno do movimento, qual
é o valor de v0 ?
17. Um bloco metálico de massa m desliza sobre uma superfı́cie horizontal lubrificada com óleo, de modo que o bloco
sofre a ação de uma força resistiva viscosa tal que F (v) =
−cv 3/2 , onde c > 0 é uma constante. Se v0 é a rapidez inicial
do bloco em x = 0, mostre que o mesmo não pode se deslocar
√
além de 2m v0 /c.
18. Uma partı́cula move-se em um meio sob influência de uma
força retardadora de módulo mk(v 3 + A2 v), onde k e A são
constantes.
b) Mostre também que ela só encontrará o repouso para
t → ∞.
19. Dois blocos de massas m e 2m são conectados por um fio
rı́gido e sem massa através de uma roldana sem atrito, colocada no ponto mais alto de um plano inclinado de θ em relação
à horizontal. O bloco de massa 2m está sobre o plano inclinado, enquanto o outro está suspenso. Se o coeficiente de atrito
a) Mostre que para qualquer valor da sua velocidade inicial cinético entre o bloco e o plano é de µc , qual deve ser a(s)
a partı́cula jamais se deslocará uma distância maior que inclinação(ões) θ do plano para que as massas se movam com
π/2kA;
velocidade constante? Interprete o resultado.
RESPOSTAS:
√
√
1. a) 3i + 2j − 4k; 29, b) −2/ 11, c) arccos(−0.16), d) 10i − j + 7k, e) 20i − 2j + 14k
2. –
√
3. a) 2bω cos ωti − bω sin ωtj; −2bω 2 sin ωti − bω 2 cos ωtj; bω 3 cos2 ωt + 1, b) θ = 90o
4. a = (r̈ − rφ̇2 sin2 θ p
− rθ̇2 )er + (rθ̈ + 2√
ṙθ̇ − rφ̇2 sin θ cos θ)eθ + (rφ̈ sin θ + 2ṙ φ̇ sin θ + 2rθ̇ φ̇ cos θ)eφ
5. −3v 2√/4k; (3v 2 /4k) 2/(1 + cos θ); v/ 2kr
6. a = b2 ω 4√+ 4c2
7. cos φ = k/ k 2 + c2
8. 2v0 /g(sin α − cos α tan β)
g + kv02
1
ln
9.
2
2k g + kv
1
m
1
m 1
αβt
10. v = − ln
+ e−βv0 , t =
1 − e−βv0 , x =
− e−βv0 v0 +
m
αβ
αβ β
β
qβ
11. x = x20 + bt2 /(mx20 )
r
r
r
x
2F0
2F0
1
F0 −cx
F0
−cx
(2F0 + cx),
(1 − e ),
sin cx; −F0 x − cx2 + C,
e
+ C, − sin cx + C
12.
m
cm
cm
2
c
c
s
r
4
4
4E
1
1 kx
1
1 kx
13. a) kx2 −
; b) T0 − kx2 +
; c) ± A − A 1 −
2
4 A
2
4 A
kA
14. a) 1/2; b) −1 e 0; c) −1
15. – q
16. v = v02 − 2(αx + βy 2 + γz 3 )/m
17. –
18. –
p
1 ± µC 3 + 4µ2C
19. sin θ0 =
2(1 + µ2C )