é um arco do 3° quadrante - Andressa Matemática CAJU

Adicional de geometria
Sempre podemos transladar um objeto. Isto é, trocá-lo de lugar.
Também podemos analisar a simetria de figuras. Ou seja, se passarmos uma reta no meio da
figura terá um “reflexo”, nos dois lados da reta, dos objetos desenhados.
8. Trigonometria
Trigono= três ângulos, metria= medida. Campo da matemática que estuda as medidas nos
triângulos retângulos.
6.1. Tangente
Em “semelhança no triângulo retângulo” vimos que é algo normal compararmos a medida
de um cateto pelo outro. Também vimos que, mesmo diminuindo o tamanho dos catetos, a razão de
um cateto pelo outro é sempre igual à razão de um cateto pelo o outro de um triângulo semelhante
(frações semelhantes).
Essa percepção foi feita pelos gregos e
recebeu deles o nome de tangente. Tangente
também é o nome da posição relativa das retas
que tocam circunferências em um único ponto
ou das circunferências que se tocam em um
único ponto. Qual a relação desses objetos?
Pela figura podemos ver que se o
̅̅̅̅ girar com apoio em O, um círculo
cateto 𝑂𝐴
̅̅̅̅ será
será formado e a reta suporte de 𝐴𝑇
tangente a esse círculo.
A reta suporte de ̅̅̅̅
𝑂𝑇 pode ser encarada como o alcance da visão de alguém que está em
O. Essa visão sempre atingirá a algum ponto da tangente. Também podemos lembrar que em
movimentos circulares, estudados em Física, um objeto sempre podia escapar pela tangente do
movimento realizado. A tangente também é considerada a taxa de declividade de uma reta. Além
disso, pelo que vemos na figura abaixo, a tangente mostra qual é a taxa de variação de ma curva
ou de um gráfico (algo importante para a física, biologia, medicina, economia, etc.)
Todos esses exemplos vem colocar a tangente como a razão trigonométrica mais
importante das que estudamos.
Podemos obter o valor da tangente dividindo a
medida de um cateto pelo outro e a medido do seno
tan α =
cateto oposto
sen α
=
cateto adjacente cos α
pelo cosseno de um ângulo, se forem conhecidos.
6.2. Seno
fica responsável pela altura que um ângulo
pode obter com um determinado tamanho de
hipotenusa (sempre lembrando que as razões
trigonométricas são sempre vistas em um
A medida que entendemos mais as
razões trigonométricas, vemos que, embora a
tangente seja mais comum no mundo real, o
seno é a mais fundamental dessas razões. Ele
triângulo retângulo).
Pense em posicionar uma escada
numa parede. Estando a escada mais
afastada ou mais próxima da parede, a altura
que a escada bate na parede seria o seno.
A palavra seno vem de sinus quem em latim
medieval significava baía, enseada, curvatura, prega
côncava ou de meio círculo que forma uma
vestimenta. Mas essa foi uma tradução mal feita do
Árabe. Sinus veio de jaib, mas a palavra correta
seria jiba ou jiva que significa “a corda de um arco
(de caça ou de guerra)”.
Obtemos o seno comparando a medida de um dos catetos com a hipotenusa.
sen α =
cateto oposto
hipotenusa
6.3. Cosseno
Pensando na escada do exemplo do
seno, a sombra da escada no chão, ou a distância
de seu pé até a parede seria seu cosseno.
Co-seno significa o seno do ângulo
complementar. Assim, ele pode ser obtido
usando o outro cateto.
cos α =
cateto adjacente
hipotenusa
6.4. Cotangente
Temos que o seno seria a medida
vertical e que o cosseno seria a medida
horizontal. Assim, se a tangente é a medida
vertical, a cotangente é a horizontal.
Co-tangente significa a tangente do ângulo complementar. Assim, ela pode ser obtida
invertendo a razão da tangente.
cotan α =
1
cateto adjacente cos α
=
=
tan α
cateto oposto
sen α
6.5. Secante e cossecante
A secante e a cossecante são as medidas que vão da origem do ângulo até a tangente e até
a cotangente.
Secante, vem de secare, que significa cortar. Já vimos que uma reta secante a um círculo o
corta em dois pontos. Então a secante será o segmento colinear a hipotenusa e que inicia no vértice
de ângulo e termina na altura da tangente.
1
cos α
A cossecante é a secante do ângulo complementar.
sec α =
cosec α =
1
sen α
6.6. Ciclo Trigonométrico
Com o plano cartesiano, estudamos a ideia de eixo. Assim:
E que tal fazermos isso com uma circunferência?
Pronto, obtivemos o chamado ciclo trigonométrico, ou simplesmente ciclo, que é uma
circunferência orientada, na qual o raio mede 1.
Num ciclo trigonométrico podemos
ajustar um plano cartesiano com origem no
centro dele. Desse modo, o círculo fica
dividido em quatro quadrantes, conforme
mostra a figura abaixo.
Quando a extremidade de um arco
estiver num determinado quadrante, dizemos
que o arco é desse quadrante.
Tomando como exemplo a figura ao
lado, dizemos que:
̂ é um arco do 1° quadrante;
AD
̂ é um arco do 2° quadrante;
AE
̂ é um arco do 3° quadrante;
AF
̂ é um arco do 4° quadrante;
AG
6.7. Observando as medidas em um triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico
6.8. Arcos côngruos
Observemos as figuras ao lado:
̂ mede x.
Notamos que a cada número real x corresponde um ponto P do ciclo, tal que AP
O ponto P é a imagem de x no ciclo.
É importante ressaltar que a cada 𝑥 ∈ ℝ corresponde um só ponto P, mas para cada ponto P
existem infinitos arcos de origem A e extremidade P e, consequentemente, infinitos valores de x.
Veja um exemplo nas figuras seguinte. Os arcos de medidas
25π
6
rad e
−11π
6
π
3
rad,
13π
6
rad,
rad possuem a mesma origem A e a mesma extremidade P.
Arcos desse tipo, ou seja, arcos de mesma origem e mesma extremidade são chamados
arcos côngruos.
6.9. Arcos trigonométricos
Como já foi dito, para cada ponto da circunferência, existe uma medida de ângulo e uma
medida do arco determinado por esse ângulo. Mas, como podemos ver na última figura, podemos
dar voltas em torno do ponto central do ciclo e parar na extremidade P. Acontece que para cada
volta que damos, o ângulo central é aumentado (podendo passar de 360° ou de 2π). Com isso:
π
̂.
Podemos ter 30° ( 6 ) na primeira determinação positiva do arco AP
π
̂.
Podemos ter 30° + 360° ( 6 + 2π) na segunda determinação positiva do arco AP
π
̂.
Podemos ter 30° - 360° ( 6 − 2π) na primeira determinação negativa do arco AP
6.10. Variação do sinal de seno, cosseno e tangente
No ciclo trigonométrico, de acordo com a extremidade P do arco, o valor de seno e de
cosseno pode ser positivo ou negativo.
1° Quadrante
2° Quadrante
sen  > 0
cos  > 0
3° Quadrante
sen  > 0
cos  < 0
4° Quadrante
sen  < 0
cos  < 0
sen  < 0
cos  < 0
Variação do sinal dessas funções
Seno
Cosseno
Tangente
1° Quadrante
2° Quadrante
tg  > 0
tg  < 0
3° Quadrante
4° Quadrante
tg  > 0
tg  < 0
Tangente
6.11. Relações entre seno, cosseno e tangente
Veja:
sen α =
cos α =
tg α =
b
a
c
a
b
c
e sen β =
e cos β =
e tg β =
c
a
b
a
c
b
Em um triângulo retângulo, os outros dois ângulos, além do ângulo reto, não só são
menores que 90° (são ângulos agudos) como sua soma resulta em 90°.
Logo, no triângulo acima, temos:
+ = 90°
 = 90° - 
 = 90° - 
Também temos:
b
sen α = = cos β; como  = 90° - : sen α = cos (90° − α)
a
c
sen β = = cos α; como  = 90° - : sen (90° − α) = cos α
a
c
sen β
b
cos β
tg β = =
b
sen α
c
cos α
e tg α = =
Agora, imagine que a hipotenusa do triângulo
acima mede 1 (lembrem-se que no ciclo trigonométrico
o raio do círculo mede 1). Desta forma temos:
c 2 + b2 = 12
(sen α)2 + (cos α)2 = 1
sen2 α + cos2 α = 1
Estas últimas equações são conhecidas como a relação fundamental entre seno e
cosseno de um ângulo agudo.
6.12. Ângulos notáveis do seno, do cosseno e da tangente

Observe o triângulo equilátero ABC:
Como ABC é equilátero, todos seus lados são iguais e todos os seus ângulos internos
são iguais e valem 60°.
Traçando
a
altura
do
ângulo
superior, que também é mediatriz de seu
lado oposto, temos:
Agora, temos dois triângulos retângulos. Calculando quanto mede a altura que traçamos
em
relação
ao
lado
𝑎 2
𝑎2 = ( ) + ℎ2
2
𝑎2 −
do
triângulo
equilátero
temos,
4𝑎2 − 𝑎2
= ℎ2
4
𝑎2
= ℎ2
4
3𝑎2
= ℎ2
4
por
√3𝑎2
√4
Pitágoras:
=ℎ
𝑎√3
=ℎ
2
Então, calculando o sen 30°, cos 30° e tg 30°:
𝑎
𝐵𝐻 2 𝑎 1 1
𝑠𝑒𝑛 30° =
= = ∙ =
𝐴𝐵 𝑎 2 𝑎 2
𝑎√3
𝐴𝐻
𝑎√3 1 √3
𝑐𝑜𝑠 30° =
= 2 =
∙ =
𝐴𝐵
𝑎
2 𝑎
2
1
𝑠𝑒𝑛 30°
1 2
1
√3
𝑡𝑔 30° =
= 2 = ∙
=
=
cos 30° √3 2 √3 √3
3
2
Pelo que vimos de ângulos complementares o sen 60°, cos 60° e tg 60° são:
√3
√3
𝑠𝑒𝑛 60°
√3 2
2
tg 60° =
= 2 =
∙ = √3
1
cos 60°
2 1
1
2
cos 60° = 𝑠𝑒𝑛 30° =
2
 Considerando o quadrado abaixo e traçando uma diagonal:
sen 60 ° = 𝑐𝑜𝑠 30° =
ângulo reto. Calculando quanto mede a
diagonal em relação ao lado do quadrado
temos, por Pitágoras:
𝑑 2 = 𝑎2 + 𝑎2
𝑑2 = 2𝑎2
Agora, temos dois triângulos retângulo
√2𝑎2 = 𝑑
com dois ângulos de 45° (metade de 90°) e um
𝑎√2 = 𝑑
Então, calculando o sen 45°, cos 45° e tg 45°:
𝑠𝑒𝑛 45° =
𝑐𝑜𝑠 45° =
𝐵𝐶 𝑎
𝑎
1
1 √2 √2
= =
=
=
∙
=
𝐴𝐶 𝑑 𝑎√2 √2 √2 √2
2
𝐴𝐵 𝑎
𝑎
1
1 √2 √2
= =
=
=
∙
=
𝐴𝐶 𝑑 𝑎√2 √2 √2 √2
2
𝐵𝐶 𝑎 1
𝑡𝑔 45° =
= = =1
𝐴𝐵 𝑎 1
Tabulando esses valores:

30°
45°
60°
Sen 
1
2
√3
2
√3
3
√2
2
√2
2
√3
2
1
2
1
√3
Cos 
Tg 
6.13. Redução ao primeiro quadrante
É importante que a partir de agora comecemos a trabalhar com a medida de radianos, pois
a medida de graus, embora conhecida e mais simples, é menos utilizada pelo meio acadêmico.

Redução do 2° para o 1° quadrante:
̂ de medida , com π > 𝛼 > π, no ciclo trigonométrico. Considerando
Representamos um arco AP
2
a simetria em relação ao eixo y, obtemos o ponto P’, correspondente de P, no 1º quadrante.
sen  = sen (-)
cos  = -cos (-)
tg  = -tg (-)
Os pontos P e P’ têm a
Os pontos P e P’ têm abscissas Os pontos T1 e T2 têm ordenadas
mesma ordenada e sen  > 0, opostas e cos  < 0, pois o sinal opostas e tg  < 0, pois o sinal da
pois o sinal do seno no 2°
do cosseno no 2° quadrante é
tangente no 2° quadrante é
quadrante é positivo.
negativo.
negativo.

Redução do 3° para o 1° quadrante:
̂ de medida , com 3π > 𝛼 > 𝜋, no ciclo trigonométrico.
Representamos um arco AP
2
Considerando a simetria em relação ao ponto O, obtemos o ponto P’, correspondente de P, no 1º
quadrante.
sen  = - sen (-)
cos  = - cos (-)
Os pontos P e P’ têm
Os pontos P e P’ têm abscissas
ordenadas opostas e sen  < 0, opostas e cos  < 0, pois o sinal do
pois o sinal do seno no 3°
cosseno no 3° quadrante é
quadrante é negativo.
negativo.

tg  = tg (-)
O ponto T tem ordenada
positiva e tg  > 0, pois o
sinal da tangente no 3°
quadrante é positivo.
Redução do 4° para o 1° quadrante:
̂ de medida , com 2π > 𝛼 > 3π, no ciclo trigonométrico.
Representamos um arco AP
2
Considerando a simetria em relação ao eixo x, obtemos o ponto P’, correspondente de P, no 1º
quadrante.
sen  = - sen (2-)
Os pontos P e P’ têm
ordenadas opostas e sen  <
0, pois o sinal do seno no 4°
quadrante é negativo.
cos  = cos (2-)
tg  = - tg (2-)
Os pontos P e P’ têm a mesma Os pontos T1 e T2 têm ordenadas
abscissa e cos  > 0, pois o
opostas e tg  < 0, pois o sinal
sinal do cosseno no 4°
da tangente no 4° quadrante é
quadrante é positivo.
negativo.
Cos 
Tg 
0
−
−
√2
2
√3
2
−
√2
2
−
1
√3
√3
3
−
√3
2
1
2
−√6 − √2 −√6 − √2
4
4
−√6 − √2 −√6 − √2
4
4
−
√3
3
−2 + √3
rad ou
300°
5π
3
rad ou
285°
19π
12
17π
12
4π
3
rad ou
225°
5π
4
rad ou
210°
1
2
−
−1
√3
2
−
√3
2
−
√2
2
2 − √3
−
rad ou
345°
−√3
−
23π
12
−2 − √3
rad ou
195°
2 + √3
√2
2
13π
12
2 − √3
−
rad ou
330°
Tg 
1
2
√2 − √6
4
11π
6
−
rad ou
165°
√2 − √6
4
11π
12
√6 − √2
4
√6 − √2
4
rad ou
315°
√6 + √2
4
1
2
7π
4
Cos 
rad ou
150°
3π
4
√2
2
5π
6
2π
3
√3
2
rad ou
255°
√6 + √2
4
rad ou
240°
√6 + √2
4
2π rad ou
360°
3π
2
∄
rad ou
135°
√3
rad ou
120°
1
rad ou 270°
π rad ou 180°
0
rad ou 90°
∄
π
2
1
rad ou 60°
0
π
3
-1
√6 − √2
4
π
12
Sen 
√2
2
Sen 
7π
6

√3
2
√3
3
5π
12

0
rad ou 45°
0
0
π
4
Tg 
-1
√3
2
1
2
rad ou
105°
1
0
√2
2
1
2
7π
12
Cos 
1
rad ou 30°
0
rad ou
15°
Sen 
π
6

rad ou
75°
0 rad ou 0°
6.14. Tabela completa com mais ângulos
1
2
√2 − √6
4
√2 − √6
4
√6 − √2
4
1
2
√2
2
√3
2
√6 + √2
4
2 + √3
−2 − √3
−√3
1
√3
3
−2 + √3
6.15. Relações trigonométricas
π
sen x = cos ( − x)
2
π
cos x = sen ( − x)
2
1 + tg 2 x = sec 2 x
exsec x = sec x − 1
1 + cotg 2 x = cossec 2 x
excosec x = cosec x − 1
cotg x + tg x = sec x ∙ cossec x
𝑥
versen 𝑥 = 1 − cos 𝑥 = 2 sen2
2
𝜋
coversen 𝑥 = versen ( − 𝑥) = 1 − sen 𝑥
2
versen 𝑥
𝑥
(haversin) semiversen 𝑥 =
= sen2
2
2
𝜋
coversen 𝑥 1 − sen 𝑥
(hacoversin) semicoversen 𝑥 = semiversen ( − 𝑥) =
=
2
2
2
𝑥
vercosen 𝑥 = 1 + cos 𝑥 = 2 cos2
2
𝜋
covercosen 𝑥 = vercosen ( − 𝑥) = 1 + sen 𝑥
2
vercosen 𝑥
𝑥 1 + cos 𝑥
(havercosin) semivercosen 𝑥 =
= cos 2 =
2
2
2
𝜋
covercosen 𝑥 1 + sen 𝑥
(hacovercosin) semicovercosen 𝑥 = semivercosen ( − 𝑥) =
=
2
2
2
6.16. Transformações trigonométricas
sen(a ± b) = sen a ∙ cos b ± sen b ∙ cos a
cos (a ± b) = cos a ∙ cos b ∓ sen a ∙ sen b
tg (a ± b) =
tg a ± tg b
1 ∓ tg a ∙ tg b
sen 2a = 2 sen a ∙ cos a
sen
a
1 − cos 𝑎
=√
2
2
cos
a
1 + cos 𝑎
=√
2
2
cos 2a = 2 cos 2 a − 1 ou 1 − 2 sin2 a
2 tg a
tg 2a =
1 − tg 2 a
tg
a
1 − cos 𝑎
=√
2
1 + cos 𝑎
6.17. Lei dos senos
Num triangulo qualquer as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
a
sin Â
=
b
̂
sin B
=
c
sin Ĉ
6.18. Lei dos cossenos
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados
das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto destes lados pelo cosseno do
ângulo formado por eles.
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴̂
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵̂
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶̂