resolução

Resolução da Ficha 3
Análise Matemática II
Cursos LESIM & LEIC-Taguspark, 1o Semestre de 2001/2002
I
1- (a)
+∞
Z
1
x
dx
1 + x4
é um integral impróprio de primeira espécie, sendo
Z
lim
r→+∞ 1
r
x
dx
1 + x4
o seu valor (caso este limite existe).
limr→+∞
Rr
= limr→+∞ 1r ( 12 arctg(x2 ))0 dx
= limr→+∞ 21 (arctg(r2 ) − arctg(1))
= 12 ( π2 − π4 ) = π8
x
1 1+x4 dx
R
(b)
1
1
dx
1 − x2
−1
é um integral impróprio de segunda espécie em -1 e 1, sendo
Z
√
r
Z
√
lim
r→1
s→−1
s
1
dx
1 − x2
o seu valor (caso este limite existe).
Z
lim
r→1
s→−1
s
r
√
π −π
1
dx = lim (arcsen(r) − arcsen(s)) = −
=π
r→1
2
2
1 − x2
s→−1
2- (a)
Z
0
+∞
√
x
dx
x(1 + x4 )
1
é um integral impróprio misto, sendo convergente se e só se os integrais
impróprios
√
√
Z 1
Z +∞
x
x
dx
e
dx
4)
x(1
+
x
x(1
+
x4 )
0
1
, de segunda e primeira espécie respectivamente, forem convergentes.
√
√
x
x
1
∼
=√
quando x → 0+
4
x(1 + x )
x
x
logo, sendo
1
Z
0
convergente,
Z
1
√ dx
x
√
1
x
dx
x(1 + x4 )
0
é convergente.
√
√
x
x
1
∼ 5 = 9
4
x(1 + x )
x
x2
quando
x → +∞
logo, sendo
+∞
Z
9
convergente,
+∞
1
dx
x2
1
Z
1
√
x
dx
x(1 + x4 )
é convergente.
(b)
Z
1
+∞
x + sen(x)
dx
x − cos(x)
é um integral impróprio de primeira espécie e é divergente pois
x + sen(x)
→ 1 6= 0
x − cos(x)
2
quando
x → +∞
II
1- (a) FALSO.
−x sen(e2x ). f é uma função
Seja f (x) = (e−x sen(e2x ))0 = 2ex cos(e2x )−e
R +∞
contı́nua em [0, +∞[ e o integral impróprio 0 f (x)dx é convergente pois
+∞
Z
Z
f (x)dx = lim
r→+∞ 0
0
r
(e−x sen(e2x ))0 dx = lim e−r sen(e2r )−sen(1) = −sen(1)
r→+∞
No entanto, não é verdade que f (x) → 0 quando x → +∞.
(b) VERDADE.
Se o integral impróprio
ites
0
f (x)dx é convergente, então existem os lim-
x
Z
lim
R +∞
x→+∞ 0
Z
f (t)dt
e
lim
x→+∞ 0
2x
f (t)dt
e são iguais. Assim
2x
Z
f (t)dt − lim
0 = lim
x→+∞ 0
Z
x→+∞ 0
x
Z
f (t)dt = lim
2x
x→+∞ x
f (t)dt
Logo
Z
2x
f (t)dt → 0
quando
x → +∞
x
2- (a) Utilizando a substituição x = ϕ(t) no integral
Z
bq
1 + (f 0 (x))2 dx
a
obtemos
Rbp
a
1 + (f 0 (x))2 dx = αβ 1 + (f 0 (ϕ(t)))2 ϕ0 (t)dt
R p
= αβ (ϕ0 (t))2 + (ϕ0 (t)f 0 (ϕ(t)))2 dt pois
R p
= αβ (ϕ0 (t))2 + (g 0 (t))2 dt
R p
ϕ(t) ≥ 0
(b) Usando o resultado da alinea anterior com ϕ(t) = t − sen(t), α = 0
e β = 2π (e portanto g(t) = 1 − cos(t), a = 0 e b = 2π) deduzimos que o
3
comprimento do gráfico da função f que satisfaz a identidade f (t−sen(t)) =
1 − cos(t) definida no intervalo [0, 2π] é
R 2π p
0
(1 − cos(t))2 + sen2 (t)dt =
=
=
=
=
=
=
4
R 2π p
2 − 2cos(t)dt
0
R q
2π
4sen2 ( t )dt
2
R02π
t
)|dt
2|sen(
2
R02π
t
0 2sen( 2 )dt
[−4cos( 2t )]t=2π
t=0
−4cos(π) − (−4cos(0))
8