EE = E 2 1 2 1 2 1 2 1 ω + + = + ω + + = + + + = I vm

Um corpo, cuja seção reta perpendicular ao plano de rolamento é um círculo de raio R
e raio de giro G, desce um plano inclinado de θ em relação a horizontal O corpo parte do
repouso de uma altura h e rola sem escorregamento, determinar a velocidade e a aceleração
do centro de massa quando o corpo atinge o solo.
Dados do problema
•
•
•
•
raio do corpo:
raio de giro do corpo:
inclinação do plano em relação a horizontal:
altura do plano em relação a horizontal:
R;
G;
θ;
h.
Adotamos g para o valor da aceleração da gravidade.
Esquema do problema
Adotando-se um Nível de Referência (N.R.) no chão.
figura 1
Solução
Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica a energia que o corpo possui no
alto do plano quando começa o movimento será igual a energia que possui quando chega no
chão.
E Mi = E Mf
Pela figura 1 temos que no alto do plano o centro de massa do corpo (C.M.) está
inicialmente em repouso então só possui energia potencial ( E Pi ) devido a altura, na parte de
baixo ele possui energia potencial ( E Pf ), pois o centro de massa está a uma altura igual ao raio
em relação ao nível de referência, energia cinética ( E Cf ) devido a velocidade de translação do
centro de massa e energia cinética de rotação ( E Cf R ) devido a rotação do corpo em torno do
centro de massa enquanto desce o plano. Então podemos escrever
E Pi = E Pf + E Cf + E Cf R
1
1
m v 2 + I ω2
2
2
1
1
m g h + m g R = m g R + m v 2 + I ω2
2
2
1
1
2
2
mg h= mv + I ω
2
2
m g (h + R ) = m g R +
1
(I)
Como o corpo rola sem escorregar podemos expressar a velocidade como
v =ωR
ω=
v
R
(II)
O momento de inércia de um corpo é
I = mG2
(III)
onde o raio de giro do corpo depende da forma deste com se vê na figura 2.
figura 2
cilindro maciço
placa circular
G2 =
1 2
R
2
G2 =
esfera maciça
1 2
R
2
G2 =
2 2
R
5
Substituindo (II) e (III) em (I). temos
mgh=
1
1
 v 
mv 2 + mG2 

2
2
R 
gh=
2
1 2 1 2 v2
v + G
2
2
R2
2 g h = v 2 +v 2
G2
R2

G2
2 g h = v 2  1+ 2

R

2g h
v2 =
G2
1+ 2
R
v=




(IV)
2g h
1+
G2
R2
Para o cálculo da aceleração consideremos o centro de massa como sendo um ponto
material que vai percorrer uma distância ∆S, desde o topo do plano inclinado até sua base.
Esta distância poderá ser encontrada usando a Equação de Torricelli
v 2 = v 02 + 2 a ∆ S
2
onde a velocidade inicial do centro de massa é zero
( v 0 = 0 ) e a distância percorrida (∆S) é dada por
h
h
⇒ ∆S =
, figura 3, usando estas
∆S
sen θ
condições mais a expressão (IV) na Equação de
Torricelli obtemos
sen θ =
2g h
1+
G
= 02 +2 a
2
R2
g
1+
G2
h
sen θ
figura 3
1
=a
sen θ
R2
a=
g sen θ
1+
3
G2
R2