Lista 04 - Unifal-MG

4a Lista de Exercı́cios de Espaços Métricos.
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 7o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. Em R2 , considere as métricas:
p
d(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
e d2 (x, y) = max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |},
para todo x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 . Usando apenas a definição de métricas equivalentes, mostre que d ∼ d2 .
2. Mostre que a métrica γ sobre R definida por γ(x, y) =
equivalente à métrica usual.
|x−y|
,
1+|x−y|
para todo x, y ∈ R, é
3. Mostre que as normas dadas por:
0
Z
1
|f (x)| dx,
||f || = sup{|f (x)|; x ∈ [0, 1]} e ||f || =
0
definida sobre o conjunto C[0, 1] das funções contı́nuas reais definidas no intervalo [0, 1]
não são equivalentes.
4. Seja (M, d) um espaço métrico cuja métrica é a zero-um. Mostre que uma sequência (xn )
em M converge se, e somente se, é estacionária.
5. Mostre que não são equivalentes a métrica zero-um e a usual em R.
6. Mostre que uma progressão aritmética (x1 , x2 , . . .) em R converge se, e somente se,
x1 = x2 = . . ..
7. Seja (x1 , x2 , . . .) uma sequência em M . Se (x2 , x4 , x6 , . . .) → p e (x1 , x3 , x5 , . . .) → p,
mostre que (x1 , x2 , x3 , . . .) → p.
8. Seja (xn ) uma sequência em M . Se (x2n ), (x3n+1 ) e (x2n+1 ) são subsequências convergentes
em M , mostre que (xn ) também converge em M .
9. Seja M um espaço métrico. Se uma sequência (xn ) de pontos de M converge para um
ponto p ∈ M , mostre que a sequência de números reais (d(x1 , p), d(x2 , p), . . .) converge
para 0.
10. Se xn → p e yn → q num espaço métrico M , mostre que em R temos d(xn , yn ) → d(p, q).
11. Um espaço métrico (M, d) cujos pontos são todos isolados chama-se espaço discreto.
(a) Mostre que A = 21 , 23 , 43 , . . . ⊂ R, com a métrica induzida pela usual de R, é
discreto.
(b) Mostre que a métrica de um espaço métrico discreto é equivalente à zero-um.
12. Seja F = B c , onde B = B(p, ) é uma bola aberta num espaço métrico M . Mostre que
se d(x, F ) = 0, então x ∈ F .