2.º Teste

Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 12º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Dezembro/ 2013
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1.ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe
são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o
mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. Uma cadeia de supermercados tem 5000 cabazes de natal para venda. Sabendo que a variável
“preço do cabaz de natal em euros” segue uma distribuição aproximadamente normal de valor
médio 50 e desvio-padrão 10, quantos cabazes, aproximadamente, são de esperar que custem
até 60 euros?
(A) 4207
(B) 3414
(C) 4000
(D) 3173
2. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é
xi
0
1
2
3
P( X  xi )
a
0,3
0,4
0,5a
(a designa um número real)
Qual é, arredondado às centésimas, o valor do desvio padrão desta variável aleatória?
(A) 0,53
(B) 1,40
(C) 0,83
(D) 0,92
3. Lançam-se dois dados equilibrados, um cúbico com as faces
numeradas de 1 a 6 e um outro tetraédrico com os vértices
numerados de 1 a 4.
Considere os seguintes acontecimentos:
A: ”Pelo menos um dos números é ímpar”
B: ”A soma dos dois números é maior que 4”


Qual o valor de P A  B ?
(A)
1
6
(B)
1
24
(C)
5
24
(D)
1
4
4. Considere todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 3, 5,
7, 8 e 9.
De entre estes números, quantos têm, exatamente, dois algarismos com o número 3?
(A) 5C2  43
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(B) 5C2  4 A3
(C) 5 A2  43
(D) 5 A2  4C3
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5. Um inquérito a 129 alunos revelou que 56% têm telemóvel. Destes, 86% leva-o para a escola.
De todos os alunos inquiridos com telemóvel, quantos, aproximadamente, não o levam para a
escola?
(A) 35
(B) 57
(C) 10
(D) 8
2.ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.
1. O João tem algumas moedas num saco: duas de 50 cêntimos e quatro de 1 euro, todas de
países diferentes da União Europeia.
1.1.
De quantas maneiras diferentes pode o João retirar do saco, uma de cada vez, três
moedas de 1 euro sem reposição?
1.2.
Suponha agora que o João tira, simultaneamente, três moedas do saco. Seja X a
quantia em euros correspondente às moedas retiradas. Construa a tabela de
distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentado as probabilidades
na forma de fração irredutível.
1.3.
O João introduziu três moedas de 2 euros no saco e pretende retirar todas as
moedas do saco, uma de cada vez. Qual é a probabilidade de as moedas da mesma
quantia virem todas juntas?
2. Numa cervejaria trabalham três funcionários: o Alberto, o
Bernardo e o Carlos. O Alberto serve 40% dos clientes e os outros
dois empregados dividem entre si a restante clientela. Ao pedir
uma cerveja, o acompanhamento desta por tremoços é deixado
ao critério do empregado. O Alberto é sócio da cervejaria, pelo
que não traz tremoços em 90% das vezes. O Bernardo oferece
tremoços em 40% dos casos, enquanto que o Carlos não oferece
tremoços a 80% do clientes.
Ao pedir uma cerveja, calcule a probabilidade de que esta venha acompanhada de
tremoços. Apresente o resultado sob a forma de dízima arredondada às centésimas.
3. Nos primeiros 12 jogos do campeonato, um jogador de futebol marcou 12 golos em 108
remates que fez à baliza.
Admita que no próximo jogo se vai manter a mesma média de golos por remate.
Considere os seguintes acontecimentos:
A: “O jogador marca exatamente 2 golos”
B: ”O jogador faz 8 remates à baliza”
Qual é, aproximadamente, o valor de P( A | B) ?
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4. Numa certa escola secundária, 75 alunos frequentam cursos profissionais.
4.1. Admita que a variável X, que representa a idade dos alunos dos cursos profissionais,
segue uma distribuição aproximadamente normal de valor médio 18. Sabe-se que 38%
dos alunos têm idade superior a 20 anos.
4.1.1. Quantos alunos, destes cursos profissionais, têm idade compreendida entre 16 e
18 anos?
4.1.2. Considere a tabela seguinte das distribuições de probabilidades de uma outra
variável aleatória Y
yi
1
2
P(Y  yi )
a
b
Sabendo que a  P(X  16) , destermine o valor médio da variável Y.
Apresente o resultado aproximado às centésimas.
4.2. Um grupo de n pessoas está a participar numa reunião ( n  3) . Nesse grupo, dois são
professores e os restantes alunos.
Vão ser escolhidos, ao acaso, três dessas pessoas para uma atividade.
Mostre que a probabilidade de os dois professores serem escolhidos é igual a
6
.
n n
2
5. Considere o seguinte problema:
Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por
quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus.
De um baralho completo extraem-se, sucessivamente e sem reposição, cinco cartas.
Qual é a probabilidade de haver apenas quatro cartas do naipe ouros?
Numa pequena composição, indique a resposta correcta a este problema de entre as duas
alternativas apresentadas.
39  13C4  5!
(B)
52
A5
39! 4!
(A)
52!
Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos:
 Referência à Regra de Laplace;
 Explicação do número de casos possíveis;
 Explicação do número de casos favoráveis.
Fim
Cotações:
1ª Parte
2ª Parte
Questões
10 pontos cada
questão. Total :
1.1
1.2.
1.3.
2.
3.
Pontos
50
10
20
15
20
15
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4.1.1. 4.1.2.
15
15
4.2.
5.
Total
20
20
200
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Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
 .r (  amplitude,
em radianos, do ângulo ao
 u  v   u  v '
centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango:
Diagonal maior  Diagonal menor
2
Trapézio:
Regras de Derivação
Base maior  Base menor
 Altura
2
u×v   u×v  u×v
 u  u×v  u×v
  
v
v2
Polígono regular: Semiperímetro  Apótema
(u n )  n×u n1×u
r2
 sen u   u× cos u
Sector circular:
2
(α – amplitude, em radianos,
 cos u   u× sen u
do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone:
tg u  
 rg
(r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica:
(r – raio)
4 r
2
Volumes
Pirâmide:
1
 Área da base  Altura
3
1
Cone:  Área da base  Altura
3
Esfera:
4 3
r
3
(n  )
u
cos2 u
 eu   u×eu
(au )  u×au × ln a
u
 ln u  
u
u
(log a u ) 
u× ln a
(a 

(a 

Limites notáveis
(r – raio)
n
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b
tga  tgb
tg (a + b) =
1  tga.tgb
Complexos
(  cis  )   cis (n. )
n  cis   n  cis   2k , k  0,...,n-1
n
n
n
Probabilidades
 1
lim  1    e
 n
sen x
1
x 0 x
lim
ex 1
1
x 0 x
lim
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
  x1 p1  ...  xn pn
  ( x1   ) 2 p1  ...  ( xn   ) 2 pn
Se X é
lim
x
N(μ,σ) , então:
P(     X     )  0,6827
P(   2  X    2 )  0,9545
P(   3  X    3 )  0,9973
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lim
x 
ln x
0
x
ex
xp
 
(p  )
\{1})
\{1})
Soluções
1.ª Parte
1 2 3
A D B
4 5
A C
2.ª Parte
1.1. 24
1.2. P(X=2)=1/5 P(X=2,5)=3/5 P(X=3)=1/5 1.3. 1/210
2. 0,22
3. 0,17
4.1.1. 9
4.1.2. média 1.62
5. (B)
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