Números Complexos

Aulas Extras
Números Complexos
Números Complexos
1ª) Resolver a equação: x2 + 1 = 0
x2 = -1
Solução em R
S={ }
Solução em C
x2 = -1
x = ±√-1
i = √-1
(unidade imaginária)
S = {i, -i}
Números Complexos
2ª) Resolva a equação: x2 – 6x + 13 = 0
a=1
b = -6
c = 13
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = (-6)2 – 4.(1).(13)
Δ = 36 – 52
Δ = – 16
Solução em R: S = { }
Solução em C:
Números Complexos
C
R
Q
Z
N
3.i π 0,333… 3 7 5 2 +3/5 √2 5-­‐ .i Imagin.:
Im = C - R
Números Complexos
z = a + b.i
a = Parte Real
b = Parte Imaginária
1) z = 3 + 2.i
2) w = 7 - i
3) x = - 5i
4) y = 10
Re(z) = 3
Re(w) = 7
Re(x) = 0
Re(y) = 10
Im(z) = 2
Im(w) = -1
Im(x) = - 5
Im(y) = 0
Imaginário
Puro
Real
Números Complexos
Determinar os valores reais de a que fazem com
que o número complexo z = a2 + a.i – 2.i – 4 seja:
a) Real
b) Imaginário Puro
Números Complexos
Dois números complexos são iguais se eles tem a mesma
parte real e a mesma parte imaginária.
Exemplo: Calcule a e b de modo que:
(2a – b) + 3.i = -2 + (-a + b).i
2a – b = -2
-a + b = 3
a=1eb=4
Números Complexos
Soma-se parte real com parte real e parte imaginária
com parte imaginária.
Exemplo:
Sendo z1 = -3 + 4i e z2 = 2 – i, calcular z1 + z2
z1 + z2 = (-3 + 4i) + (2 – i) = -1 + 3i
Números Complexos
C. Multiplicação
Lembrar da propriedade distributiva.
Exemplo:
Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule z1· z2.
z1.z2 = (3 + 2i).(2 + 4i)
z1.z2 = 6 + 12i + 4i + 8i2
z1.z2 = - 2 + 16i
i2 = - 1
Números Complexos
D. Conjugado de um número complexo
Conjugado: Trocar o sinal da parte imaginária
z = a + b.i
Exemplos
1º) z1 = 2 – 3i ⇒ z1 2 3i
1 4i
2º) z2 = –1 – 4i ⇒ z 2
3º) z3 = –3i ⇒ z 3 3i
4º) z4 = 2 ⇒ z 4 2
z
a
bi
Números Complexos
Simétrico de um número complexo
Simétrico: Trocar o sinal da parte real
z = a + b.i
Exemplos
2 3i
1º) z1 = 2 – 3i ⇒ z '1
2º) z2 = –1 – 4i ⇒ z '2 1 4i
3i
3º) z3 = –3i ⇒ z '3
2
4º) z4 = 2 ⇒ z '4
z'
a
bi
Números Complexos
E. Divisão
Multiplicar pelo conjugado da parte de baixo
Exemplo
Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i
Números Complexos
Potências de i:
i1= i
i5= i
i2= -1
i3= -i
i4= 1
i6= -1
i7= -i
i8= 1
Calcule o valor
de i103 + i1000
Números Complexos
(Unicamp 2013) Chamamos de unidade imaginária e
denotamos por i o número complexo tal que i é a raiz
quadrada de -1
Então i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i1000 vale
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) -i
Números Complexos
Números Complexos: 3+2i; -2 + i; -i
Plano Complexo
Imagin.
Afixo
2
1
-2
0
-1
3
Real
Números Complexos
Considere um número complexo z = a + bi no plano
complexo.
Módulo:
Distância da origem
b
|z|² = a² + b²
|z|
a
|z|
a2 b2
Números Complexos
Exemplo: z1 = 3 + 2i
|z1|² = (3)² + (2)²
|z1|² = 9 + 4
2
|z1|
|z1|² = 13
3
|z1|
13
Números Complexos
Exemplo: z2 = -1 + 3i
|z2|² = (-1)² + (3)²
3
|z2|
-1
|z2|² = 1 + 9
|z2|² = 10
|z 2 |
10
Números Complexos
Chamamos argumento do número complexo z a
medida θ do arco com centro em O tomado a partir
do semi-eixo real positivo até a semi-reta OP no
sentido anti-horário.
θ
Números Complexos
Considere z = a + bi
Se 0 < θ < 90º,
2º Q
3º Q
1º Q
4º Q
a > 0 e b > 0.
Se 90º < θ < 180º,
a < 0 e b > 0.
Se 180º < θ < 270º,
a < 0 e b < 0.
Se 270º < θ < 360º,
a > 0 e b < 0.
Números Complexos
Exemplos
1º) Calcular o argumento do número complexo z = 2 –
2i.
2º) Calcular o argumento do número complexo z = -2
3º) Calcular o argumento do número complexo z = -2 +
2√3.i
Números Complexos
Forma algébrica: z = a + bi
cos
b
a
│z
│
θ
a
a
z
z . cos
b
z
sen
b
z .sen
z
z . cos
z .sen
z
z . cos
i.sen
Números Complexos
Exemplos
1º) Colocar o número complexo z = 1 + i na forma
trigonométrica.
z
1
z . cos
z
45o
2
i.sen
12 12
z
2
45o
1
z
2. cos 45
o
i.sen45
o
Números Complexos
Exemplos
2º) Escreva na forma trigonométrica o número
complexo z = – 2i.
z
z
-2
z . cos
2. cos 270o
i.sen
i.sen270o
Números Complexos
Escrever o número z = −1 −√3.i na forma
trigonométrica.
Números Complexos
Consideremos os números complexos não nulos:
z1 = │z1│.(cos θ1 + i.sen θ1)
z2 = │z2│.(cos θ2 + i sen θ2)
z1.z2 = │z1│.│z2│[cos (θ1+θ2)+ i.sen (θ1+θ2)]
No produto de dois números complexos _______________
multiplicam-se
os módulos e ___________
somam-se os argumentos.
Números Complexos
Exemplo
Calcular o produto dos números complexos
z = 2.(cos 50°+ i.sen 50°) e
w = 3.(cos 20°+ i.sen 20°).
z.w =
6.(cos 70°+ i.sen 70°)
Números Complexos
Consideremos os números complexos não nulos:
z1 = │z1│.(cos θ1 + i.sen θ1)
z2 = │z2│.(cos θ2 + i sen θ2)
z1
z2
z1
. cos
z2
1
2
i.sen
1
2
dividem-se os
Na divisão de dois números complexos ___________
módulos e _____________
diminuem-se os argumentos.
Números Complexos
Considere o número complexos não nulos:
z = │z│.(cos θ + i.sen θ)
zn
n
z . cos nθ
i.sen nθ
Na potência de um número complexo faz-se a mesma
potência do ________
multiplica-se o expoente pelo
módulo e _____________
argumento.
Números Complexos
Exemplo:
Calcule o valor de (1+i)10
Números Complexos
FIM