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Pontos notáveis de um triângulo
Sadao Massago
Maio de 2010
Sumário
1
Conceitos preliminares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Incentro
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
Circuncentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4
Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
Hortocentro
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
Exincentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
7
Consideração nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1 Conceitos preliminares
Para demonstrar e entender os pontos notáveis de um triângulo, diversos conceitos serão necessários.
A mediatriz de um segmento é a reta que passa no ponto médio, formando um ângulo reto.
Os pontos da mediatriz é equidistante dos extremos do segmento. Reciprocamente, se uma reta
passa em dois pontos equidistantes dos extremos, será a mediatriz. Note que um destes pontos
pode ser o ponto médio.
A bissetriz de um ângulo é a semi reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. Os
pontos da bissetriz é equidistante dos lados do ângulo. Reciprocamente, uma reta que passa em
dois pontos equidistantes dos lados de um ângulo determina a bissetriz.
Note que um destes
pontos pode ser a vértice.
Um quadrilátero com lados opostos paralelos é denominado de paralelogramos e temos que
Teorema 1.
Dado um quadrilátero, são equivalentes
1.
É um paralelogramo
2.
Os lados opostos são congruentes
3.
ângulos opostos são congruentes
4.
Os diagonais cruzam o outro no ponto médio
5.
Tem um par de lados opostos paralelos e congruentes.
Num triângulo, o segmento que liga os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado,
medindo metade do terceiro lado. Reciprocamente, uma reta que passa no ponto médio de um
dos lados, paralela ao outro lado também passa no ponto médio de terceiro lado.
Lembrando também que uma reta que passa num ponto do círculo é tangente ao círculo se, e
somente se formar ângulo reto com o raio correspondente.
1
2 Incentro
Antes do teorema, prove o seguinte exercício
Exercício 1. Dado um triângulo, duas bissetrizes cruzam no interior do triângulo.
Teorema 2.
As bissetrizes (dos ângulos) de um triângulo intercepta em um único ponto no seu
interior na qual é equidistante dos seus lados.
Demonstração. Considere o triângulo
4ABC
e bissetriz de
interior do triângulo (exercício 1) que denotaremos por
Como
O
bissetriz de
está sobre a bissetriz de
∠C
O
de forma que
∠B ,
AB
e
AC
AO. Como AO divide o ângulo
AC , será bissetriz de ∠BAC .
e
∠C .
Então eles cruzam no
(Figura 1).
AB
ele é equidistante de
é equidistante de
lados. Agora considere
equidistante de
O
∠B
BC .
∠BAC
e
e
BC . Mas também está na
O é equidistante aos três
Assim,
e passa no ponto (fora da vértice)
A
F
D
O
C
E
B
Figura 1: O incentro
O círculo com centro em
Como
OM , ON
e
OP
O
que passa num dos pontos entre
D, E
e
F
passa em todos outros.
são raios deste círculo e são ortogonais aos lados do triângulo, o círculo
tangencia todos os lados do triângulo. O círculo que tangencia todos os lados de um polígono é
denominado de círculo inscrito. Logo, a intersecção das bissetrizes determina o centro do círculo
inscrito de um triângulo.
3 Circuncentro
Antes do teorema, prove o exercício seguinte.
Exercício 2. Dadas duas retas concorrentes, as retas ortogonais a elas também são concorrentes.
Teorema 3 (circunentro).
As mediatrizes (dos lados) de um triângulo intercepta em um único
ponto na qual é equidistante dos seus vértices.
Demonstração. Dado
4ABC
M, N e P , pontos médios dos lados AB, BC e AC respectivaAB e BC cruzam (exercício 2), denotaremos este ponto por O
com
mente. Como as mediatrizes de
(Figura 2).
O está na mediatriz de AB , é equidistante de A e B , tendo OA = OB . Analogamente,
OB = OC e consequentemente, O é equidistante dos vértices.
Agora considere a reta passando pelo P e O . Como P é o ponto médio e O é equidistante
de A e C , a reta é mediatriz do lado AC . Portanto, todas as mediatrizes cruzam em O que é
Como
equidistante dos vértices.
2
A
P
M
O
B
N
C
Figura 2: O circuncentro
Um círculo com centro no circuncentro que passa em um dos vértices, passa em todos os
outros vértices. O círculo que passa em todos os vértices de um polígono é chamado de círculo
circunscrito.
A intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo é o centro do círculo
circunscrito.
4 Baricentro
Antes do teorema, prove o exercício seguinte.
Exercício 3. Mostre que as medianas de um triângulo são concorrentes, cruzando no interior do
triângulo.
Teorema 4.
Mediana de um triângulo intercepta em um único ponto no seu interior, dividindo
a mediana no ponto
2/3
da vértice correspondente.
Demonstração. Seja dado
respectivamente. Seja
AG
e seja
H,
G,
4ABC
e considere os pontos médios
a intersecção das medianas
um ponto no prolongamento de
AG
BE
e
E
e
F
dos lados
AC
e
AB
CF (exercício 3). Agora considere
AG = GH (Figura 3).
de forma que
A
F
E
G
B
C
H
Figura 3: O baricentro
F e G são pontos médios dos lados AB e AH de 4ABH , temos que F G é paralelo
1
a BH e F G = BH . Da mesma forma, como G e E são ponto médios dos lados AH e AC de
2
4AHC , GE é paralelo a CH e GE = 21 CH .
Como GC e paralelo a BC e BG é paralelo a CH , o quadrilátero GBHC é um paralelogramo
1
1
1
1
e consequentemente, BH = GC e HC = BG. Logo, F G = BH = GC e GE = HC = BG.
2
2
2
2
Como
3
Agora note que o prolongamento de
AG
passa no ponto médio de
BC ,
GBHC e paraleGD = 12 GH = 21 AG.
pois
logramo e diagonais dos paralelogramos cortam outro no meio. Além disso,
Logo, todas as medianas cruzam no mesmo ponto (que é numa distância
2
das vértices cor3
respondentes).
O baricentro é o centro de massa. Se o triângulo apresentar densidade uniforme, qualquer reta
que passa no baricentro divide o triângulo em dois momentos iguais, signicando que se pendular
o triângulo neste ponto, ele cará na posição horizontal. Não confundir momento com a massa.
O triângulo determinado pela reta paralela a um dos lados passando pelo baricentro tem a área
1
4
do original e não o .
9
2
5 Hortocentro
Teorema 5.
O prolongamento das alturas de um triângulo intercepta em um único ponto.
Demonstração. Considere as retas paralelas aos lados, passando pelos vértices opostos. Estas
retas não são paralelas dois a dois, pois os lados dos triângulos não são paralelos dois a dois. Logo
D, E e F , as intersecções
AC , BC e AB , BC e AC respectivamente, podemos considerar
4DEF . Então temos que DE , EF e F D são paralelos aos lados BA, CB e AB respectivamente
estas retas cruzam dois a dois, formando um triângulo. Considerando
das retas paralelas a
AB
e
(Figura 4).
4ABC . Como AF é paralelo a BC , ∠ABC = ∠BAF
por ser alternos internos. Da mesma forma, BF ser paralelo a AC implica que ∠BAC = ∠ABF .
Como BC é comum, pelo critério ALA, 4BAF e 4ABC são congruentes. Da mesma forma,
podemos mostrar que 4CEA e 4DCB também são congruentes a 4ABC . Assim, F A = AE ,
F B = BD e EC = CD. Logo, o prolongamento das alturas de 4ABC são mediatrizes de 4DEF
Veremos que
4BAF
é congruente a
e eles interceptam, pelo Teorema 3.
F
E
A
M
P
O
B
N
C
D
Figura 4: O hortocentro
6 Exincentro
Exercício 4. Dado um triângulo, a bissetriz de um ângulo e bissetriz de um dos ângulos externos
não adjacentes interceptam.
Teorema 6.
A bissetriz de um triângulo e a bissetriz dos ângulos externos não adjacentes inter-
ceptam em um único ponto na qual é equidistante dos prolongamentos dos seus lados.
4
Idéia da demonstração. A demonstração é similar ao caso do incentro (Teorema 2) e é deixado
como exercício (Figura 1).
D
A
O
E
C
B
F
Figura 5: O exincentro
O exincentro é o centro do círculo que tangencia um lado e o prolongamento de outros dois
lados.
7 Consideração nal
O incentro, circuncentro e baricentro costumam ser chamados de três pontos notáveis de um
triângulo.
Os três pontos notáveis mais o hortocentro e o exincentro é denominado de cinco
pontos notáveis de um triângulo.
Ainda existem outras propriedades interessantes do triângulo tais como a reta de Euler e o
círculo de nove pontos que não foram discutidos aqui.
Referências
[1] Toyo, Takami, Kika-kogi (zen-pen) (Curso de geometria, parte 1 de 2), seção
editoral da Universidade de Saneda, Japão, ano não especicado.
[2] Rezende, Eliane Q. F. e Queiroz, Maria L. B de, Geometria Euclidiana plana e
construções geométricas, Editora UNICAMP, 2000.
5